Si Ton pose

(jr-+-i)(x-+-'2). ..(xH- n — :) = ^«-^-H AjX"-«-h .. .

on a

(JT H- i)«-h A, (x H- i)«-i -+-... -h A„-, (a; -+- 1) = (x-^-n) (a7«-» -+- A, a?«-« -i- . . . -h A„-i ).

Déduire de là les égalités r,'» — A.

C? -h C«r } A, -+- G«rî A, -4- . . . -t- C;-"-'» Ap, = (/> - I) A^„

Exprimer Ai, Aj, As au moyen de /i.

Montrer, en supposant que n soit un nombre premier impair, que les nombre* entiers Ai, Aj, ..., A^-j sont divisibles par n ainsi que An i4-i; dans le< mêmes conditions, si x est un nombre entier non divisible par n, jr«-' — i esl divisible par n.

31. En conservant aux lettres Aj, Aj, ..., A„-i la signification de lexercice précédent et en désignant en général p&r Sr la somme des r'*"** puissances des p premiers nombres naturels, on a

32. En conservant les mêmes notations que dans Texercice précédent, montrer que l'on a

CîS„,-4- C?S„-,^- . . . -t- C;{i S, -4-/7 = (/? -f- !)«—/>«.

Calculer Sj, S3, S^ en partant soit de cette relation, soit de la relation analogue indiquée dans Texercice précédent. :

33. Ordonner, suivant les puissances croissantes ou décroissantes de x, If carré du polynôme i-hx -hx^-\- * . .-h x^. Quel est, dans le développement, le plus grand coefficient numérique ? 1

3i. Trouver un polynôme /(a:) tel que Ton ait identiquement, en désignant par /'(a?) la dérivée def(x)j

(0 /ix)-/-(x)= ^"

On reconnaît aisément que le polynôme /(a;) ne peut être d*un degré supérieur à n. On applique ensuite la méthode des coefficients indéterminés, c'est-à-dire qu'on pose f{x) = Ag-h A,a? 4- kix^-h ... -h knX'^', en rempla-

POLYNOMES. 19.9

çant ensuite, dans l*ëquation (i), /(«) et /'(a:) par leurs expressions développées, et en écrivant que, dans les deux membres, les coefficients d'une même poissance de x sont égaux, on trouve les relations

A» — A| = o, Al — 2Aj = o, ..., Afl| — /iAft = o, Ait =

.2.3... n qui permettent de déterminer les coefficients Ao, At, . . ., A^.