La relation
X„ — ixXn-i-^ X„, = o,
où n désigne un nombre entier au moins égal à 2, permet, quand on se donne Heux polynômes Xo, Xj, de trouver successivement les polynômes
Xj=:2a:Xi — Xq, Xj=2a7Xj — Xj, X4 = ...,
qui la vérifient identiquement.
On supposera dans ce qui suitXo= i, X| = x.
Former explicitement les polynômes X,, X^, X4, X».
Montrer que X^ est un polynôme de degré /i, ne contenant que des termes «lont le degré est pair ou impair suivant que n est pair ou impair.
Trouver pour X^ le coefficient de xf* et celui de x^"^.
Quelle est la valeur du polynôme X^ pour a? = i et x = — 1 ?
Montrer que X^, quand on y remplace x par cosa, devient égal à cos/ia. T. o
l3o CHAPITRE II.
37. Trouver tous les polynômes /(a;), de degré /i, qui satisfont identiquement à la relation
oiif{x),f'{x) désignent les dérivées, première et seconde, def(x).
On posera/(a?) = Aoar^-H Ajar^-i-h. . .-I- Art. En remplaçant, dans la relation précédente /(a;), /'(a?), /'(a:), par leurs expressions développées et eo écrivant que, dans le premier membre, les coefficients de a*", r*»-*, ...,x«-/', ... sont nuls, on aura tout ce qu'il faut pour montrer que A|, Aj, A», ... sont nuls et pour déterminer Af, A^, A«, ... au moyen de A©; le polynôme /(ji est ainsi déterminé à un facteur constant près.
Montrer que, si Ton prend Ao= -i"-*, le polynôme /(x) n'est autre cho<e que le polynôme X^ de l'exercice précédent.
38. Ordonner, suivant la puissance de x, le polynôme que l'on obtient en prenant la dérivée /i* de (x* — !)« et en divisant le résultat par le produit 9.4- . .2/1 des n premiers nombres pairs. En désignant ce polynôme par P«(^j, montrer que Ton a identiquement en x
nP„(x) — (2/1 -h l)xPn-l{^) -H (/l — l)Pn-i(^) = O, (l — X^)PJt(x) — ^xP'n(x) H- /l(/l 4- l)P«(ar) = O.
La première de ces relations permet de calculer successivement les polynômes P], Psî ï\» ...1 quand on suppose Po=i, Pi=|^*— 4".
Dans la seconde, P',^(x)^ ^n(^) désignent les dérivées première et seconde de P„(x), Tout polynôme /(a:) qui vérifie identiquement la relation
(, — x^)f''{x) — ixf'(x) -4- n{n H- \)f{x) = o
est de la forme kPn{x)^ en désignant par A une constante. Quelle est la valeur de Pn{^) pour a» = i, pour x = — i?
39. Combien y a-l-il de termes, en supposant qu'il n'en manque aucun, dans un polynôme homogène du /i'^"** degré, à deux, trois ou quatre variables? Dans un polynôme non homogène? Combien dans un polynôme non homogène de degré /i, à trois variables, y a-t-il de termes où l'une des variables entre au degré/?? On suppose toujours qu'aucun terme ne manque.
Âfy, Soit/(aro, a:,, ..., Xn-\) un polynôme réduit à n variables; soit ^ on nombre naturel supérieur au degré du polynôme /(xq^ a^i, ..., x«-i) paf rapport à l'une quelconque des variables; dans ce polynôme on remplace respectivement (>) a^o, ^i, . . ., a:,, x„-i par x, x^, x8\ . . ., ar«*"*; soit F(J)
(») Dans xs*, xi\ ...,5^' et ^ sont les exposants de la puissance à laquelle 00 élève x'f le carré, ou le cube de x^ se représentent par (j?î)'= x'», (arf)' = x"'.
POLYNOMES. l3l
le polynôme en x auquel on parvient ainsi. Montrer, en s'appuyant sur ce qu'un nombre naturel ne peut s'écrire que d'une seule façon dans un système de numération dont la base est g^ qu'à deux termes distincts du polynôme /iXo,X|, ..., Xa-\)t correspondent deux termes distincts du polynôme V{t) et comment, connaissant le polynôme F(a7), on peut retrouver, terme par terme, le polynôme /(a?©, Xx^ . . ., ^«-i).
41. Un polynôme y (a^o, Xx^ ..., <r„--i) ne peut être nul pour toutes les valeurs entières attribuées aux variables sans être identiquement nul.
4i. Un polynôme /(j?oj ^u •••> ^n~\) ne peut être nul pour toutes les valeurs des variables qui satisfont à la condition ©(^o» ^ii • • •> ^/i-i) > o, où ?(^-r», Xx^ .... ^/t-i) désigne un polynôme donné, sans être identiquement nul.
La démonstration des propositions énoncées dans les exercices 41, hti est immédiate quand il s'agit de polynômes à une variable.
L'artifice indiqué dans l'exercice 40 permet, en prenant g assez grand, de ramener à ce cas le cas d'un polynôme à n variables.
43. Montrer que tout polynôme /(-r, y) k deux variables x^ y tel que l'on ait identiquement yi^= o est la somme d'un polynôme en x, et d'un polynôme en/.
44. Déterminer le polynôme le plus général /(^jj^) homogène en x,y^ du degré /*, tel que l'on ait identiquement en x^ y
Même question, en supprimant la condition relati>e à l'homogénéité.
DIVISION DES POLYNOMES.
