DE LA VARIABLE

ol. La division des polynômes à une variable peut être considérée de plusieurs points de vue; du premier de ces points de vue l'opération, parfaitement déterminée, est analogue à l'opération de la division arithmétique au sens de la théorie des nombres entiers.

Etant donnés deux polynômes en x^ A et B, dont on appellera le premier dividende et le second diviseur, on se propose de trouver deux polynômes Q et R, dont le second soit de degré inférieur au degré de B, et tels que l'on ait identiquement

(0 A = BQ-4-R;

DIVISION DES POLYNOUBS. l35

le polynôme Q s'appelle le quotient, le polynôme R s'appelle le reste.

Si, par exemple, on avait

A = 3jr»— 2X^-4-5^7»— 7ir* -h 8 J7 — I, B = x»,

on satisferait évidemment à l'identité A = BQ -h R en prenant

Q = 3a?*— 2J?4-5, R = — 7a7«-h8ar — I.

La règle pour diviser un polynôme quelconque de degré n par un monôme xP de degré inférieur ou é^al à n est évidente.

Comme on le verra, le problème général que l'on a posé admet toujours une solution et une seule. Suivant l'ordre des questions auxquelles on a affaire, c'est le quotient, ou le reste, qui importe le plus.

L'analogie de cette opération avec la division des nombres entiers est évidente : on verra, d'ailleurs, qu'elle conduit à une théorie de la divisibilité des polynômes qui suit pas à pas la théorie de la divisibilité des nombres entiers.

Je supposerai le problème résolu et les polynômes A, B, Q, R ordonnés suivant les puissances descendantes de x.

11 importe d'abord de remarquer que, si le polynôme Q n'est pas identiquement nul, le terme du plus haut degré dans le produit BQ, terme qui s'obtient en multipliant les deux premiers termes de B et de Q, est de degré au moins égal au degré de B et ne peut, par conséquent, se réduire avec aucun terme de R : on voit alors que le produit des deux premiers termes de B et de Q doit être identique au premier terme de A.

Lorsque A est de degré inférieur à B, il ne peut pas y avoir de polynôme Q contenant effectivement x^ ou même se réduisant à une constante non nulle pour lequel l'identité (i) puisse avoir lieu, puisque, autrement, le polynôme BQ, et, par suite, le polynôme BQ-f-R, serait de degré supérieur à A : la seule solution du problème posé est évidemment Q = o, R = A. Il faut, pour l'admettre, convenir de regarder o comme un polynôme (identiquement nul).

Je suppose maintenant que A soit de degré n supérieur ou égal au degré /> de B.

Le produit du premier terme de B par le premier terme de Q étant identique au premier terme de A, le premier terme de Q

l36 CHAPITRE III.

s'obtiendra en divisant, comme on Ta expliqué dans le n" oO, le premier terme de A par le premier terme de B. En désignant le moDome quotient par y^, et par Q^ le polynôme qu'il faudrait ajouter à q^ pour reproduire Q, on devra avoir identiquement

A = B(^o-i-Qi)-+-R, A — B^o=BQi-t-R;

comme R est toujours de degré inférieur à B, la détermination de Qi est ramenée à la division du polynôme A| = A — By© P^^r B- Dans le polynôme A|, ordonné suivant les puissances descendantes de x, ne figure plus de terme de degré n : si ce polynôme est de degré inférieur au degré de B, l'opération est terminée, on a Q, = o, R = A,, Q = ^0. Si A| est de degré supérieur au degré de B, on déterminera le premier terme q^ de Qi de la même façon, et l'on aura

Qi = ^1 -+- Qi, A, - By, = BQ,-4- R = A,.

On continuera de même jusqu'à ce qu'on parvienne à un polynôme Ar qui soit de degré inférieur à B, ce qui ne manquera pas d'arriver, puisque les degrés des polynômes A, A|, A2, ..., Ar vont en diminuant d'une unité, au moins, à chaque fois.

D'ailleurs, d'après la façon même dont on a opéré, on a identiquement

A, =By, -hA|,

Ar-i= B^r-l-H Ar,

et, par suite, en ajoutant,

A = B(^o-H ^1-+-- • -H ^/-i) -H Ar,

et cette identité montre bien, puisque Ar est de degré inférieur au degré de B, qu'on est parvenu à la solution du problème posé, que le polynôme 5^0-4- 7i -i-« • •+ ^r-i est le quotient Q, et le polynôme Ar le reste R, que l'on cherche.

Chacun des termes du polynôme Q a été déterminé d'une façon nécessaire, le polynôme Q étant déterminé, le polynôme R = A — BQ est lui-même déterminé ; on voit bien que le problème ne peut admettre qu'une solution.

DIVISION DBS POLYNOMES. 13/

Le degré du quotient Q, dont le premier terme s'obtient en divisant le premier terme de A par le premier terme de B, est toujours égal à la différence entre les degrés de A et de B, sauf dans le cas où le degré de A serait inférieur au degré de B et où, alors, Q serait identiquement nul.

La règle pour faire la division résulte des explications précédentes.

On écrit sur une même ligne horizontale le dividende à gauche, le diviseur à droite en les séparant par un trait vertical ; ces deux polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x ; on trace une barre horizontale sous le diviseur, pour le séparer du quotient que l'on écrira au-dessous de cette barre.

Le premier terme du quotient s'obtient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur : ce terme étant écrit, on écrit au-dessous du dividende les produits, changés de signe, des termes du diviseur par le terme obtenu au quotient, en ayant soin de placer chaque produit partiel au-dessous du terme du diviseur qui a le même degré. On écrit la somme du dividende et des termes écrits au-dessous de lui : cette somme est le premier reste partiel. Il convient d'avoir séparé ce reste partiel des deux lignes qui le précèdent en plaçant au-dessous de ces lignes un trait horizontal.

Le second terme du quotient s'obtient en divisant le premier terme du reste partiel par le premier terme du diviseur; au-dessous du reste partiel, on écrit les produits, tous changés de signe, des termes du diviseur par le second terme du quotient, et l'on ajoute au premier reste partiel ; la somme est le second reste partiel, qui fournira le troisième terme du quotient, etc.

On continue de la même façon, en s'arrétant quand on ne peut plus continuer, c'est-à-dire quand le premier terme du reste partiel auquel on est parvenu est de degré inférieur au diviseur. L'opération est alors terminée : le quotient est formé par l'ensemble des termes obtenus, le reste est le dernier reste partiel.

Il convient de remarquer que, chaque fois qu'on a obtenu un reste partiel, le dividende est égal au produit du diviseur par le polynôme écrit au quotient, plus le reste partiel. La différence entre le degré du reste partiel et le degré du diviseur est moindre que le degré du dernier terme écrit au quotient.

Le lecteur pourra suivre cette règle sur l'opération écrite

l38 CHAPITRE III.

ci-dessous, que je crois inutile de détailler davantage.

3jr« — çtx^ -h x^ — X I 2x^—5x-^- 3

— ix^-^ x' — -a?' — X

ar» —

Quand le reste de l'opération est nul, on dit que la division se fail exactement, que le polynôme dividende est divisible par le polynôme diviseur, ou encore que le polynôme diviseur divise (exactement) le polynôme dividende. Le dividende est alors identiquement égal au produit du diviseur par le quotient (•).

S'il en est ainsi, le dernier terme du dividende doit être égal au produit du dernier terme du diviseur par le dernier terme du quotient. Si donc on est amené à écrire au quotient un terme de degré moindre que le degré du quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur, ou un terme qui soit précisément de ce degré, mais qui ne soit pas égal au quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur, on est sûr que ropération ne pourra se faire exactement; par exemple, dans Topération écrite plus haut, dès qu'on a écrit au quotient le terme — ^, et non — j*^* on est certain que la division ne se fera pas exactement.

Lors même que la division de A par B ne se fait pas exactemenU il peut être utile de mettre le polynôme A sous la forme BQ H- R, ou, ce qui revient au même, la fraction -^ sous la forme Q H" ï>'

(*) Quand le polynôme A est divisible par le polynôme B, on dit que B est «■ diviseur de A. J'écarterai, dans ce Chapitre, cette forme de langage qui pourrail créer des confusions.

DIVISION DBS POLYNOMES. iSg

On a souvent à calculer la valeur numérique que prend le polynôme A pour une valeur de x qui annule un autre polynôme B ; au lieu de substituer cette valeur dans A, il est plus commode, surtout si elle est irrationnelle, de la substituer dans R, ce qui donne le même résultat, et est plus aisé. Le lecteur s'en rendra compte en pensant au cas où B est du second degré et où R est, par conséquent, au plus du premier degré.

D'un autre côté, on verra plus tard que pour les valeurs de x^ qui

sont très grandes en valeur absolue, la valeur de la fraction -^ est très

petite, en sorte que la valeur de -^ est à peu près égale à celle de Q^ dont le calcul est plus facile.

Enfin, les notions qui précèdent conduisent à des propositions qui sont l'extension manifeste, aux polynômes, de théorèmes bien connus d'Arithmétique, concernant les nombres entiers.

32. Quand on multiplie le dividende A et le diviseur B par un même polynôme C, le quotient Q n'est pas changé et le reste R est multiplié par le polynôme C. En d'autres termes, le quotient de la division de AC par BC est Q, comme celui de A par B, et le reste est RC.

L'identité A = BQ-f-R entraîne, en effet, AC = BCQ-|-RC et cette dernière identité, où le degré du polynôme RC est moindre que le degré du polynôme BC, permet d'affirmer que Q et RC sont le quotient et le reste de la division de AC par BC.

Quand le dividende A et le diviseur B sont divisibles par le diviseur C, le reste R de la division de A par B est aussi divisible par C; quand on divise le dividende A et le diviseur B par C, le quotient Q n'est pas changé et le reste est divisé par C.

Puisque C divise exactement A et B, par hypothèse, soient A' et B' les quotients, on aura identiquement A = A'C, B = B'C, et l'identité A = BQ -h R pourra s'écrire

A'C = B'CQ 4- R, R = (A- B'Q)C;

•a dernière forme montre bien que R est divisible par C et que le quotient de la division est le polynôme R'= A'— B'Q ; cette identité, qui sert de définition au polynôme R', peut s'écrire A'= B'Q -f- R';

l4o CHAPITRE lit.

le degré de R', égal au degré de R diminué du degré de C, esl inférieur au degré de B', qui esl égal au degré de B diminué du degré de C; Q et R' sont donc bien le quotient el le reste de la division de A' par B'.

Remarquons en passant que le polynôme C peut se réduire à une constante (non nulle) ; la division est toujours possible. Si l'on prend pour cette constante C le coefficient de la plus haute puissance de jc dans B, on ramènera la division proposée à une autre dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de x^ dans le diviseur, sera l'unité, ce qui peut être commode. On peut d'ailleurs se borner à diviser tous les coefficients du diviseur par le premier, sans loucher au dividende : le quotient est alors multiplié parle premier coefficient et le resle n'est pas changé.

On ne change pas le reste d'une division quand on ajoute (') au dividende un multiple du diviseur :

L'identité A = BQ -f- R implique en effet l'identité

A-hBC = B(Q-f-C)-f-R,

où C esl un polynôme quelconque, et cette dernière identité montre que le quotient de la division de A -h BC par B esl Q -h C, et que le reste esl R, puisque le degré de R esl inférieur au degré de B.

Si le dividende est une somme ou un produit de deux polynome>. le reste de la division par un polynôme quelconque n'est pas changé. quand on ajoute un multiple du diviseur à l'un des termes de la somme ou à l'un des facteurs du produit. C'est une conséquence immédiate du théorème précédent. On voit ensuite qu'on peut aussi bien, sans changer le resle, ajouter aux deux termes de la somme, ou aux deux facteurs du produit, tels multiples du diviseur que l'on veut, puis que le théorème s'étend au cas où le dividende est une somme ou un produit d'autant de polynômes que l'on %eut, ou encore une somme dont les termes seraient des produits de polynômes : on peut, sans changer le reste, ajouter un multiple du diviseur à l'un quelconque de ces polynômes et, en particulier, remplacer chacun d'eux par son propre resle, dont il ne diffère que par un multiple du diviseur.

(*) li est inutile dédire ou qu'on retranche, puisque la soustraclioD peut toujours èlre regardée comme une addition.

DIVISION DES POLYNOMES. l4l

En particulier, si les deux termes d'une somme sont divisibles par un polynôme, il en est de même de la somme. Si un polynôme divise une somme et Tune de ses parties, le reste de la division de la somme et de Tautre partie seront les mêmes, puisque, lorsqu'on ne s'occupe que du reste, on peut supprimer la première partie. Si un polynôme divise une somme et l'une de ses parties, il divise l'autre. Tout multiple d'un multiple du diviseur est un multiple de ce diviseur, etc.

On voit combien toute cette théorie ressemble à la théorie de la divisibilité, en Arithmétique : on verra plus tard que l'analogie s'étend très loin.

53. Les remarques précédentes permettent, dans bien des cas, de simplifier la recherche du reste dans une division.

Si, par exemple, le diviseur est x — a, on remarquera d'abord que le reste de la division de x par x — a est a, puis qu'on ne change pas le reste de la division par x — a d'un polynôme quelconque en remplaçant, dans chacun des monômes qui constituent le polynôme, chacun des facteurs x par son reste a, c'est-à-dire en remplaçant x par a dans le polynôme ; le résultat que l'on obtient ainsi est de degré o, inférieur au degré i du diviseur ; c'est donc le reste cherché.

Supposons que le diviseur soit a:* — i, a étant un nombre naturel quelconque; le reste de la division de x^ par x^ — i est i ; on en conclut que le reste de la division par x^ — i d'un monôme x"^ est jr"', en désignant par a' le reste de la division du nombre entier n par a ; car, si le quotient de cette division est y, on aura

ar^ = (a7a)'r.x«', /i = ay -f- a',

et l'on peut, sans changer le reste dans la division de {x^yt.x^' par xf^ — I , remplacer x^ par i ; le résultat x^^ est de degré inférieur au degré du diviseur. Le reste de la division d'un polynôme par x^ — i s obtient en remplaçant, dans chacun des monômes qui constituent le dividende, l'exposant de x par le reste que l'on trouve en divisant cet exposant par a. En appliquant celte règle au cas où le dividende est x" — I, on reconnaît que la condition nécessaire et suffisante pour que x'^ — i soit exactement divisible par x^ — i est que le nombre naturel n soit divisible par a.

Soit encore à chercher le reste de la division par x^-^ i d'un poly-

l42 CHAPITRE 111.

nome A; on verra au Chapitre VI Fintérét de ce reste. Dans chacun des monômes axP qui constituent A, il est permis, quand on ne se préoccupe que du reste, de remplacer tels facteurs que Ton veut par leurs restes : suivant que p est pair ou impair, est de la forme ik ou 2A -h I, on peut regarder xP comme le produit de k facteurs j-, ou de A* 4- I facteurs dont Tun eslx et dont les autres sont égaux à x-; puisque — 1 est précisément le reste de la division de x^ par x^-^-x, on remplace chacuQ des facteurs x^ par — 1 , c'est-à-dire xP par (— 1 1* ou par ( — i)^^, ou eucore xP par 1, x, — i, — x^ suivant que /> est un multiple de 4? un multiple de 4 augmenté de i, de 2 ou de 3; le reste ne sera pas changé ; mais, après cette opération faite sur tous les termes de A, on obtient un résultat qui est au plus du premier degré en x\ c'est le reste cherché.

L'opération que l'on vient de décrire s'appelle remplacer xpar — 1 dans A. La signification qu'il faut donner à ces mois esl suffisamment éclaircie par ce qui précède.

Si l'on considère, par exemple, le polynôme

'jx^ — 8ar*-+-ir* — 7.x^ — jp*4- 1,

on voit que le reste de la division par x^ -|- i est

— 7 — 8ar-*-H-2a:*-l-i-^i = — 4— C x.

On observera, en passant, que si l'on considère la suite des puissances successives de x

xo=i, Xy x^, x*^ x^, ar», ..., les restes de la division par x^-i-if à savoir

se reproduisent périodiquement de quatre en quatre : cela résulte aussi de ce que x* — i = (^2 — ,)(^2|,^ ^^^ divisible par jr^-+-«* en sorte que le reste de la division par x^ -h i de x* est 1 , d'où il suit que les restes de la division par x^ -h i sont les mêmes pour x^ el xP^^^=xP.xK

54. Division par x — a. — Il convient de s'arrêter sur le cas où le diviseur est du premier degré en x : s'il est égal à a j; 4- ^, on peut)

DIVISION DES POLYNOMES. l43

en vertu d'une remarque précédente, le remplacer par a: -h - ou

parx — a : on vient de voir comment on obtenait le reste de la division d*un poljnome par x — a', on va retrouver ce résultat et montrer aussi comment on obtient le quotient.

Soit/(j:) = Ao^c"-!- A, x"~* -j-, . .-h A„ le poljnome proposé, que Ton veut diviser par x — a.

On a vu, au n" 51, comment, lorsque a est nul, le quotient et le reste s'obtiennent immédiatement. On ramène le cas général à celui-là en ordonnant le polynôme par rapport aux puissances de x — a; il s'écrit alors

on voit de suite que le quotient est

a; ( jr — a)'»-» 4- a; (a? — a )«-» -4- ...-+- A,;.,

el que le reste est A^,, c'est-à-dire la valeur /{a) que le polynôme prend pour x = a : la condition nécessaire et suffisante pour qu'un poljnorae soit divisible par x — a est qu'il s'annule quand on y remplace x par a.

La valeur du reste s'aperçoit aussi bien sur Tidentité fondamentale

où Q^{x) désigne le quotient de la division du polynôme /(x) par X — a et R le reste. Ce reste, en effet, doit être de degré o, puisque le diviseur est du premier degré; il ne contient pas x effectivement, c'est une constante, dont la valeur /{a) s'obtient en remplaçant x para dans l'identité précédente. Au fond, ce raisonnement ne diffère pas de celui qu'on a fait au n" 35.

Quoique le procédé précédent fournisse l'expression du quotient et du reste, il y a lieu d'appliquer une autre méthode, ne fût-ce que pour avoir le quotient ordonné suivant les puissances de x et non de j: — a.

Le lecteur pourra, sans difficulté, appliquer simplement la règle de la division, il retrouvera ainsi les résultats que je vais obtenir par la raélhode des coejficients indéterminés.

l44 CHAPITRE III.

Le quotient doit être du (n — i )>«•»« degré; désignons-le par

et désignons le reste (une constante) par B^. B©, B,, ..., B^^,, B^ sont des coefficients qu'il faut déterminer. On y arrive en écrivant que le produit du quotient par x — a, augmenté de B», est identique terme à terme au dividende Aox" -1- A| x"~* -f- • ■ . H- A„i j: -\- \„. On trouvera ainsi, en égalant à chaque coefficient de ce dividende, le coefficient de la même puissance de x dans le produit,

Bu= Ao, Bq a — B i = A j , B,a— B, =A„

Brt irt — B„i r^ A«>.,, B/t-i « — B« = A„ ;

CCS égalités peuvent être regardées comme des équations qui permettent de déterminer successivement Bq, B,, . . ., B„, et B„; on en

tire

Bo = Ao,

Bi= Boa -+- A|,

B) := Bt a -h Aj,

B/i-i = Brt ia -+- A«t, ^n = B/i-1 a -h Art ;

on en tirerait, tout aussi bien, en général,

B,.= Aoa''-hAia'— *-*-...-+- A;.. 1 a -4- A^,

/• étant Tun quelconque des indices i, 2, ..., /i; mais cette formule, quoique plus explicite, est moins avantageuse dans la pratique que les formules précédentes, qui permettent le calcul successif des quantités Bo, B^, ..., B„| et B„, dont chacune s'obtient en mullipliant la précédente par a, et en ajoutant le coefficient correspondant du dividende.

Soit, par exemple, à diviser par x — 3 le polynôme

aar* — 3a:* -h 07* — 7.

DIVISION DES POLYNOMES. 14^

J'écris la suite des coefficients, en remplaçant par des zéros ceux qui manquent

et je ti'ouve successivement, en appliquant la règle précédente, les coefficients du quotient

et le reste i38 X 3 — 7 = 407.

En appliquant ce procédé, le reste doit- être égal à la valeur du dividende pour x = a] c'est la meilleure manière pour calculer la valeur exacte d'un polynôme pour une valeur donnée de la variable.

Pour reconnaître si un polynôme est divisible par x-h «, ou pour faire la division d'un polynôme par ^ -h «, on n'aura qu'à changer a en — a dans les raisonnements ou les calculs qui précèdent.

x" — a" est toujours divisible par a: — a; le quotient est égal à

x" -{- a" = x'^ — a''-f-2a" n'est pas divisible para: — a, le quotient est le même polynôme qu'on vient d'écrire et le reste est 2a". j»n — ^n est divisible par x + a quand n est pair et n'est pas divisible quand n est impair; dans les deux cas le quotient est

et, dans le second cas, le reste est — 2 a".

x*^ + a" est divisible par x-\-a quand n est impair et ne l'est pas quand n est pair; le quotient est, dans les deux cas, le polynôme que l'on vient d'écrire et, dans le second cas, le reste est 2 a''.

Si un polynôme est divisible séparément par les binômes x — a, x — 6, . . ., j: — /, où a, 6, . . ., l sont des nombres distincts, il est divisible par le produit {^x — a){x — b) , . ,{x — l) de ces binômes.

Il suffit de remarquer que le polynôme s'annule alors pour les nombres différents a, 6, . . ., /; dès lors la proposition a été démontrée, sous une forme plus complète, au n** 38.

5o. Cas où les coefficients sont entiers. — Le cas où, dans une division, le dividende et le diviseur sont des polynômes à coefficients entiers, offre un intérêt particulier. On a alors à sa disposition un T. ,0

l46 CHAPITRE III.

théorème qui permet souvent de reconnaître, sans la pousser jusqu'au bout, qu'une division ne peut s'effectuer exactement, et qui est d'ailleurs très utile quand on veut chercher quels sont les polynômes à coefficients entiers qui divisent exactement un polynôme à coefficients entiers. Je vais m'arrêter un instant sur ce sujet, où le lemuie suivant, relatif à la théorie de la multiplication de deux polynômes, est fondamental :

Le plus grand commun diviseur des coefficients du produit (réduit) de deux polynômes (réduits) P, Q, à coefficients entiers, est égal au produit du plus grand commun diviseur des coefficients du polynôme P et du plus grand commun diviseur des coefficients du pohnome Q.

Dans ce numéro, je désignerai sous le nom àt polynôme primitif, un polynôme à coefficients entiers, dont les coefficients n'ont \n^ d'autre commun diviseur que i .

Je commencerai par établir la proposition sui\ante : Le produit de deux polynômes primitifs P, Q est un polynôme primitif.

Supposons, en effet, que les coefficients du produit (réduit) l\) aient un diviseur commun autre que i; ce diviseur admettra un diviseur premier a qui divisera aussi tous les termes du produit PQ. Posons

en désignant par P^ l'ensemble des termes de P dont les coefficients sont divisibles par a, par Qi l'ensemble des termes de Q dont ie^ coefficients sont divisibles par a; au contraire, aucun terme de Pj, ni de Qa, n'est di\isible par a. Il y a certainement des termes dans Pj et dans Q2, car s'il n'y avait pas de termes dans P2, par exemple, c'est que tous les coefficients du polynôme P seraient divisibles para: le polynôme P ne sera^it pas primitif.

D'ailleurs, on a identiquement

PQ = PiQi4-PiQs-f-P,Q,H-P,Q,;

tous les coefficients des termes de P|Qi, PiQa- P2Q1 sont évidemment divisibles par a; si tous les coefficients du produit réduit PQ sont divisibles par a, c'est qu'il en est de même des coefficients du produit réduit P2Q2, puisque chacun de ces coefficients, augmenté peut-être d'un multiple entier de a, provenant des autres produib partiels, fournit un coefficient de PQ. Or, le coefficient du premier

DIVISION DES POLYNOMES. iSj

terme de P2Q2, ordonné suivant les puissances descendantes de x, est le produit des deux premiers coefficients de P2 et de Q2, ordonnés de même : aucun de ces coefficients n'est divisible par le nombre premier cl; leur produit n'est pas divisible par a. Les coefficients du produit PQ ne peuvent être tous divisibles par un nombre premier a, ni, par conséquent, par aucun nombre entier, autre que i. Le produit PQ est primitif.

La proposition générale se déduit immédiatement du cas particulier qu'on vient d'établir.

Soient P, Q deux polynômes à coefficients entiers; soient/? et g les plus grands communs diviseurs respectifs des coefficients de P d'une part, des coefficients de Q d'autre part. En désignant par P' et Q' les deux [polynômes à coefficients entiers que l'on obtient en divisant par p les coefficients de P, par q les coefficients de Q, on aura

P=pP\ Q = yQ', PQ=/>yP'Q';

mais les polynômes P' et Q' sont primitifs, puisque, quand on divise un groupe de nombres entiers par leur plus grand commun diviseur, on obtient comme quotients des nombres entiers qui ont i pour plus grand commun diviseur. Le polynôme P'Q', lorsqu'il est réduit, est primitif, comme on vient de le démontrer : les coefficients ont i pour plus grand commun diviseur, les produits par pq de ces coefficients, ou les coefficients du produit réduit PQ ont donc pq pour plus grand commun diviseur.

Voici maintenant quelques conséquences de ce lemme dans la théorie de la division.

G)nvenons de dire, pour un instant, qu'un polynôme A, à coefficients entiers, est entièrement divisible par un polynôme B à coefficients entiers, s'il existe un polynôme C, à coefficients entiers, tel que l'on ait identiquement A = BC.

Désignons, en supposant qu'il en soit ainsi, par a, 6, c les plus grands communs diviseurs respectifs des coefficients de A, des coefficients de B, des coefficients de C, en sorte qu'on puisse poser

A = aA', B = 6B', C = cC',

en désignant par A', B', C'des polynômes primitifs; l'identité A = BC entraîne l'identité aA'= 6cB'C'; le polynôme (réduit) B'G est primitif comme A'; a est le plus grand commun diviseur des coefficients

l48 CHAPITBB III.

du polynôme aA', bc est le plus grand commun diviseur descoefâcienls du polynôme 6cB'C' qui est identique à a A'; on a donc

a^bc, A'=B'C'.

Ainsi le nombre b divise le nombre a et le polynôme B' divise entièrement le polynôme A'.

Lorsque B est primitif, b est égal à i, B est identique à B' : un polynôme primitif ne peut donc diviser entièrement un polynôme à coefficients entiers, sans diviser entièrement le polynôme primitif que l'on en déduit en divisant tous ses coefficients par leur plus grand commun diviseur.

Lorsque A est primitif, a est égal à i ; les deux nombres naturels b. c, dont le produit est égal à i, sont certainement tous les deux égaux à I . Donc :

Un polynôme primitif ne peut être entièrement divisible par un autre polynôme à coefficients entiers que si ce dernier est primitif. Alors, le quotient, lui aussi, est primitif.

Supposons seulement, en désignant toujours par A et B des polynômes à coefficients entiers, que A soit divisible par B, sans l'être entièrement : le quotient Q sera un polynôme à coefficients rationnels, comme il résulte évidemment de la façon dont se fait la division (*).

(*) Les remarques soÎTantes, qui ne supposent pas que A soit divisible par B, nou^ seront utiles :

Désignons par b^ le premier coefficient de B; dans chaque division partielle, oo 'à à diviser par b^ soit le premier coefficient de A, soit le premier coefficient d'un reste partiel, en sorte qu^il s'introduit, en général, des coefficients fractionnaires dans le quotient : les dénominateurs de ces fractions sont des puissances de b^. De pareils coefficients fractionnaires s'introduisent aussi dans le reste. Mais si, avant de faire la division, on multiplie A par un nombre convenable a, on peut éviter tous les cocficients fractionnaires, tant dans les restes partiels que dans le quotient et le reste final. Observons d'abord que le nombre de divisions partielles est au plus égal ï I^ différence entre le degré de A et le degré de B, augmentée d'une unité: désignons par/» cette différence augmentée de i; multiplions A par bÇ et divisons par B; le premier terme du quotient est entier et divisible par 6f~i : il en est de même de tous les termes du premier reste partiel; le second terme du quotient est entier et divisible par 6f ~~* , ainsi que tous les termes du second reste partiel, etc. Le quotient et le reste ont maintenant tous leurs coefficients entiers. On peut donc prendre a = ^f; d^ailleurs il peut arriver qu'on atteigne le but en prenant pour a un nombre moindre. Dans tous les cas, les restes partiels, le reste final, le quotient de la division de >A par B sont les produits par a des restes partiels, du reste final, du quotient de la division de A par B, comme il résulte de l'opération même.

DIVISION DES POLYNOMES. l49

En réduisant tous les coefficients au même dénominateur y, on voit que Q peut se mettre sous la forme — > où Qi désigne un polynôme à coefficients entiers; Tidenlité A = BQ entraîne grA = BQi : donc B divise entièrement ^'A.

Soit maintenant, comme plus haut, a le plus grand commun diviseur des coefficients de A et soit A = «A'; le polynôme primitif B devant diviser entièrement le polynôme qa\.\ doit diviser entièrement le polynôme primitif A' et, a fortiori^ le polynôme a A' ou A. Donc :

Si un polynôme primitif à coefficients entiers divise un polynôme A à coefficients entiers, les coefficients du quotient doivent être des nombres entiers; si, dans le courant de la division, on est amené à écrire, au quotient, comme coefficient, une fraction irréductible, la division ne peut se faire exactement.

56. Extension de la division. — Revenons au cas général. Quand on a terminé, conformément aux explications données dans le n® 51, la division du polynôme A, de degré a, parle polynôme B, de degré 6, que Ton est parvenu au quotient Q et au reste R, de degré r < 6, on peut, si Ton veut, continuer l'opération, de la même façon, en introduisant au quotient un terme de degré négatif /* — ft, et eu suivant toujours la même règle; le nouveau terme du quotient s'obtient en divisant le premier terme de R par le premier terme du diviseur, le nouveau reste partiel s'obtient en retranchant de R le produit du nouveau terme écrit au quotient par le diviseur, etc. On peut continuer et l'on s'arrête quand on veut : Si l'on désigne par Q' l'expression écrite alors au quotient, et par R' l'expression écrite au reste, on a, toujours identiquement, A=BQ'-|-R', en ce sens que, si l'on fait la multiplication et l'addition indiquée au second membre, comme si Ton avait affaire à de véritables polynômes, on retombe sur A.

Cette identité montre, lorsque B se termine par une constante, non nulle, que R' ne peut être identiquement nul : si, en effet, R' était identiquement nul, le produit du dernier terme de B parle dernier terme de Q' serait de degré négatif, et devrait être identique au dernier terme de A. R' n'étant pas nul, on peut continuer l'opération qui, ainsi, ne se termine jamais.

Je laisse au lecteur le soin de démontrer que l'opération ne peut

fSo CHAPITRE III.

se lentiiner que dans le cas où B est de la forme B'x", B' étant un polynôme qui divise exactement A.

J'ai reproduit ci-dessous une division ainsi continuée.

x^ — aa7*4-3x — I I J7* — Sx

a7'-4-3a7* — X x-^-i -^ 5jr-*-h i3x-*

— j-ï+Sar— 1

— 5j:-f-i5— bx-^

i3ar*

34jr-i — i3ar-2

au moment où elle est ainsi arrêtée, on est parvenu à l'identité

ar«— 2ar«-h 3ar— i =(>«— 3j:4- i)(x -h i -h 5:F-»-h i3a7-«)-+-3î:r-«— i3j-';

je ne veux que faire pressentir ici l'utilité que peuvent présenter de pareils calculs, qui apparaîtra nettement plus tard. De rexemple qu'on vient de traiter, on peut conclure que, pour toutes les valeurs de X qui n'annulent pas x^ — 3 j; -j- i , on a

a:*— 257* -h -h 3a:— I ^ . o . 34a—* — i3ar-«

=;r-hi-H5ar-ï-hi3a:-«H ;

a:*— ia7-+-i a-*— 3a7-f-i

si X est très grand en valeur absolue, on voit sans peine que la fraclion qui figure dans le second membre est très petite en valeur absolue; en sorte que le premier membre aura à peu près la même valeur que l'expression

a? -4- I -h Sx- * ■+■ 1 3.r-«,

plus facile à calculer. Si l'on suppose que la valeur absolue de x soil supérieure à 1000, l'erreur sera moindre que

11 il

io« — 3.10»— I ^ io«'

le premier membre de l'inégalité précédente est, en effet, plus grand que la fraction qu'on veut évaluer, puisque l'on a remplacé le numé-

DIVISION DES POLYNOMES. l5l

râleur par un nombre plus grand, le dénominateur par un nombre plus petit.

Lorsque l'on effectue une division sur les polynômes A, B ordonnés suivant les puissances décroissantes de x^ d'après le procédé que l'on a d'abord expliqué au n° ol et dont on vient de montrer comment il pouvait être poursuivi, on peut s'arrêter quand on veut, soit avant d'être parvenu au reste proprement dit, soit quand on a fini l'opération au sens du n** 51, soit après l'avoir poursuivie, lorsque la division ne peut se faire exactement : dans tous les cas on parvient, au moment où l'on s'arrête, à une identité de la forme A = BQ'"|-R', où les expressions Q' et R' qui figurent respectivement à la place du quotient et du reste sont, soit de véritables polynômes, soit de ces expressions analogues à des polynômes qui contiennent des termes de degré négatif : Q' et R' sont aussi ordonnés suivant les puissances descendantes de x. Dans le cas où l'opération peut se poursuivre indéfiniment, on peut toujours s'arranger pour que le degré du premier terme de R' soit inférieur à tel nombre entier p, positif, nul ou négatif que l'on voudra, inférieur toutefois au degré a de A : imaginons qu'on s'arrête dès que cette circonstance se présente.

Soit toujours b le degré de B. Dans le reste partiel qui précédait R', le premier terme était, par hypothèse, au moins de degré p ; le dernier terme de Q' a été obtenu en divisant par le premier terme de B le premier terme de ce reste partiel : le dernier terme de Q' est donc au moins de degré p — b \ en résumé, si l'on se donne le nombre entier p < a, on peut trouver un polynôme ou une expression analogue R' dont le premier terme soit de degré inférieur à p et un polynôme ou une expression analogue Q' dont le dernier terme soit au moins de degré p — 6, tels que l'on ait identiquement A = BQ' -j- R'.

D'un autre côté, si l'on cherche à déterminer des expressions Q' et R' qui satisfassent à ces diverses conditions, le raisonnement du n* 51 montre que les termes de Q' s'obtiennent les uns après les autres d'une façon nécessaire. Cela est éxident pour le premier terme de Q' dont le produit par le premier terme de B, étant de degré supérieur à p — è-j-6 = p, ne peut se réduire avec aucun terme de R' et doit par conséquent reproduire le premier terme de A; c'est à ce cas qu'on est toujours ramené par le raisonnement du n"» 51, que l'introduction de termes à degré négatif n'infirme en rien. Q' est donc entièrement déterminé, ainsi que R'= A — BQ'.

l52 CHAPITRE III.

Il est aisé de voir que la proposition subsiste quand A est divisible par B, pourvu que l'on ait a > o ^ fe.

Enfin, on voit encore que la division peut se faire de la même façon quand A et B, au lieu d'être des polynômes (* ), sont des expressions contenant des termes de degré négatif. La proposition qu'on vient de démontrer subsiste, en regardant alors «r, b comme les degrés, d'ailleurs positifs ou négatifs, des premiers termes des expressions A, B que l'on suppose toujours ordonnées suivant les puissances descendantes de X.