DE LA VARIABLE

o7. Deux polynômes A et B étant donnés, au lieu de les ordonner par rapport aux puissances décroissantes de la variable, elde les diviser d'après la règle du n° SI, étendue, si l'on veut, comme on vient de l'expliquer, on peut les ordonner par rapport aux puissances croissantes de la variable et faire la division de manière à obtenir les quotients et les restes partiels ordonnés par rapport aux puissances croissantes de x.

Pour simplifier un peu, je supposerai que le premier terme de B soit une constante.

Le premier terme qu'on écrit au quotient s'obtient en divisant le premier terme de A par le premier terme de B; on retranche ensuite de A le produit par B du terme écrit au quotient ; on obtient ainsi le premier reste partiel, dont le premier terme est de degré supérieur au degré du premier terme de A; le premier terme de ce reste partiel, divisé par le premier terme de B, fournit le second terme qu'on écrit au quotient; on retranche ensuite du reste partiel le produit par B du second terme écrit au quotient; on obtient ainsi le second reste

(*) En se bornant au cas où A, B sont des polynômes, on peut procéder un peu autrement, de façon à éviter, dans le courant de Topération, les termes à exposiols négatifs. On multiplie d'abord A par ar*", m étant un nombre naturel arbitraire, pois on fait la division par B du polynôme Kx"^ par la règle ordinaire, de manière à parvenir à l'identité

Ajr'"= BQi+R,,

où R, commence par un terme de degré inférieur au degré deB; on divise ensuite chaque terme de Q, et de R, par or*". L'analogie avec l'opération d'arithmétique qoi consiste à réduire en fraction décimale une fraction ordinaire est évidente.

DIVISION DES rOLYNOIIES. l53

partiel, et Ton continue de la même façon, aussi longtemps qu'on le veut, pourvu toutefois qu'on ne rencontre pas de reste nul.

Les degrés des premiers ternies des restes partiels vont en augmentant à chaque fois d'une unité au moins, ainsi que les degrés des termes que Ton écrit successivement au quotient : au moment où l'on arrête l'opération, on a, en désignant par Q le polynôme écrit au quotient, par R le polynôme écrit au reste, l'identité A= BQ + R; dans le cas ou l'opération ne se termine pas, on peut s'arranger pour que le degré du premier terme de R dépasse tel nombre entier p que l'on voudra ; imaginons, en supposant toutefois p supérieur au degré a du premier terme de A, que l'on s'arrête dès que cette circonstance se présente ; alors le degré du premier terme du reste partiel qui précédait R était inférieur ou égal à p, il en est donc de même du dernier terme de Q obtenu en divisant le premier terme de ce reste partiel par le premier terme de B, qui est une constante.

On peut donc alors, si l'on se donne le nombre entier p ^ a, trouver deux polynômes Q, R tels que le premier terme de R soit de degré supérieur à p, que le dernier terme de Q soit de degré inférieur ou égal à p, tels enfin que l'on ait identiquement A = BQ H- R. Si l'on se propose maintenant de déterminer les polynômes Q, R satisfaisant à ces diverses conditions, on reconnaît que le problème n'admet qu'une solution : il suffit de reprendre, comme tout à l'heure, le raisonnement du n° 51, mais en faisant porter ce raisonnement sur les termes du plus bas degré au lieu de le faire porter sur les termes du plus haut degré, on voit que les termes de Q se déterminent les uns après les autres, d'une façon nécessaire.

On a reproduit ci-dessous une division effectuée de la façon qu'on vient d'expliquer.

3 — aa7-+- x^ — :r» II— ar-4-2ar*

— 3 -h Sx — 6a7* 3 4 arr — 4ir*— 7^3

X — 5 iF* — x^

— ar-H x^ — ix^

— 4^'— 3ir»

l5i CHAPITRE III.

Au nioinent où Ton s'est arrêlé, le polynôme écrit au quolienl est 3 4- a: — 4^^ — 'j^^ ^^ '^ reste 4-^ -h 1 4 «^'î on a l'identité

'5 — '7.x -h x^ — x^ = (i — a? -h 2:f') (3 -4- ar — 4 j-* — 7^') -+- ^*-h i^x^.

On en conclut, par exemple, que pour toutes les valeurs de x, qui n'annulent pas le diviseur, on a

= 3 -hx — ix* — 7^:»-»-

l X-h2X^ I — X -\- IX*

pour les valeurs de x voisines de o, la fraction qui figure dans le second membre est très petite en valeur absolue, en sorte qu'on commet une faible erreur si, au lieu de calculer le premier uiembn*, on calcule la valeur du polynôme 3-|-x — 4-^^ — 7^'- Si, par exemple, on suppose la valeur absolue x' de x moindre que j^, l'erreur sera moindre que

I 1 lO*

Si l'on divise i par i — x par ce procédé, on parvient à l'identilé

1 = (i -1-07 -h X* -+-...-+-;*.•" )('i — x) H- ar"-^!,

OU, si l'on veut,

= i-h :c 4- a:2 -+- . . . -h ar" H

de même

Il n'est pas inutile de remarquer que si, dans une pareille division^ on veut obtenir les termes qui, dans le quotient, sont de degré inférieur ou égal à /i, on peut, dans le dividende et dans le di\i>eur, négliger les termes de degré supérieur à n, qui n'interviennent pa^ dans l'opération ainsi limitée.

Les polynômes A et B étant ordonnés par rapport aux puissances croissantes de jt, la division de A par B, ellectuée par le procéJ*?

DIVISION DES POLYNOMES. l55

qu'OQ vient d'expliquer, ne se termine (on ne peut trouver un reste nul) que s'il existe un polynôme Q tel que Ton ait A = BQ^ réciproquement, s'il existe un tel polynôme Q, on le trouvera nécessairement parle procédé précédent : le même raisonnement qu'au n° 31 montre que les termes de ce polynôme doivent s'obtenir l'un après l'autre par le procédé qu'on vient d'indiquer, et cela d'une façon nécessaire : Topéralion se terminera quand on sera amené à écrire au quotient un terme dont le degré sera égal à la différence entre les degrés de A et de B : il devra être égal au quotient du dernier terme de A par le dernier terme de B et le reste correspondant doit être nul. Si quelqu'une de ces conditions n'est pas vérifiée, l'opération peut se continuer indéfiniment.

§ 4. - POLYNOMES A PLUSIEURS VARIABLES.

38. Dans tout le cours de ce Chapitre, on a regardé les coefficients du dividende et du diviseur comme des nombres, mais cette supposition n'est pas nécessaire pour effectuer, par exemple, les calculs décrits au n'^ol.

Supposons maintenant que A, B soient des polynômes à 'plusieurs variables; on dira que le polynôme A est divisible par le polynôme B, s'il existe un polynôme C tel que l'on ait identiquement A = BC. La méthode du n" 51 permet toujours de reconnaître s'il en est ainsi, et de trouver le polynôme C.

Plaçons-nous d'abord dans le cas où A, B sont des polynômes à deux variables x^y\ rien n'empêche d'ordonner les polynômes A, B suivant les puissances décroissantes de x, et d'imaginer que C soit ordonné de la même façon; les polynômes A, B, C apparaîtront ainsi comme des polynômes en x dont les coefficients seraient des polynômes en^.

Supposons que l'on ait identiquement A = BC; le coefficient de la plus haute puissance de x dans A doit être identiquement égal au produit des coefficients des plus hautes puissances de x dans B et dans C; le coefficient de la plus haute puissance de x dans C s'obtiendra donc en divisant le coefficient de la plus haute puissance de x dans A, par le coefficient de la plus haute puissance de x dans B : on a à diviser l'un par l'autre deux pclynomes en y^ opération que l'on

l56 CHAPITRE III.

sait faire : la division doit se faire exactement; on obtient ainsi le premier terme de C : c'est le produit du coefficient qu'on vient de calculer par une puissance de x dont l'exposant est la différence de> degrés des plus hautes puissances de x dans A. et dans B. On retranche ensuite de A le produit de B par le premier terme de C, on obtient le reste partiel, sur lequel on raisonne comme sur A. Chaque terme de (^ se détermine ainsi d'une façon nécessaire; à chaque division partielle, la division du polynôme en y qui constitue le coefficient de la plus haute puissance de x^ par le polynôme en y qui constitue le premier coefficient de B, doit se faire exactement. Enfin l'opération doit se terminer avant que l'on ne trouve un reste dont le degré en x soit inférieur au degré de B, en x. Autrement A n'est pas divisible par B. Deux polynômes à deux variables étant donnés, on sait reconnaître si le premier est divisible par le second. Du cas de deux variables, on passe successivement au cas de trois, quatre, . . . , variables.

Dans ce qui suit, je ne suppose plus que le polynôme A soit divisible par le polynôme B. Pour simplifier l'écriture, je raisonnerai sur des polynômes à trois variables x^ y^ z\ mais les raisonnements s'appliqueront sans difficulté quel que soit le nombre des variables.

Quels que soient les polynômes A, B, en x^ y^ 5, on peut toujours les ordonner par rapport aux puissances décroissantes de x\ les coefficients des diverses puissances de x (parmi lesquels on range le terme indépendant de x^ le coefficient de x^) sont des polynômes en v, z\ rien n'empêche de faire sur A et B, regardés comme des polynômes en .r, les calculs indiqués au n** ol ; ces calculs conduiront à une relation de la forme A = BQ -h R, où Q et R auront la fonne de polvnomes en x dont les coefficients seraient, en général, des fractions dont les termes sont des polynômes en y, 3 : les dénominateurs de ces fractions seront, en général, des puissances de ce polynôme en j', z qui est le coefficient de la plus haute puissance de x dans B. Le plus haut degré de x dans R sera inférieur au degré, en j:, du polynôme B. La relation A = BQ + R aura lieu quelles que soient la valeur numérique de x et les valeurs numériques de y^, 5, pour>" que ces dernières n'annulent pas le coefficient de la plus haute puissance de X dans B.

Les calculs se simplifient dans un cas auquel je vais maintenant me limiter, celui où le coefficient de la plus haute puissance de jt. dansR. au lieu d'être un polynôme en^, ^, se réduit à une constante numé-

DIVISION DBS POLYNOMES. 167

rique. Dans ce cas, les calculs n'introduisent en dénominateur aucun polynôme eu y, z et, dans Tidentité A = BQ -|- R, à laquelle on parvient, Q et R sont de véritables polynômes en x, ^, z; les raisonnements du n** SI s'appliquent sans difficulté pour prouver qu'ils sont les seuls polynômes dont le second soit, en x^ de degré inférieur au degré de B qui satisfassent à cette identité : dans ce cas, la condition pour que A soit divisible par B est évidente : R doit être identiquement nul.

Si, en particulier, on suppose que B soit de la forme x — a, « étant un polynôme en y, 5, le polynôme R ne devra plus contenir x^ ce >era un polynôme en y, z et le même raisonnement qu'au n** 53 montre que ce polynôme s'obtient en remplaçant x par a dans A. Si le résultat est identiquement nul en ^, :;, ^.., et seulement dans ce cas, A sera divisible par x — a. Plus particulièrement, la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme A (en jt, j', z) soit divisible par x — y est que le polynôme en ji', 5, . . ., que l'on obtient en remplaçant x par^ dans A, soit identiquement nul.

Supposons que le polynôme A s'annule identiquement quand on remplace x soit par y^ soit par 5, ou encore quand on remplace y par z. Puisqu'il s'annule quand on remplace x par y^ il est divisible par X — y y et l'on peut poser A = (a: — y)^\- en désignant par A| un polynôme en x^ y^ z dont le produit par x — y est identiquement égal à A; si, dans l'identité précédente, on remplace y par 5, le premier membre est identiquement nul ; le produit de ^ — z par Je polynôme A, (en x^ z) que l'on obtient en remplaçant dans A, y par z est donc identiquement nul ; il faut, pour cela, que A', soit identiquement nul et, par suite, que A, soit divisible par y — z\ on peut alors poser A, = (j^ — -s) Aj, A2 étant un polynôme en x, y, 5. Le raisonnement précédent prouve d'ailleurs que A2 s'annule identiquement quand on remplace z par :r; il en résulte que Aj est divisible par z — J7, et que l'on peut poser A2 = (w — ^) A, ; des identités

A = (x— ^)A,, A,= (^ — «)Aj, A,= (5 — x)A3, il résulte qu'on a identiquement

\ = {x — ^) {y^z){z— ar) A,; ainsi A est divisible par le produit {x — y) {y — z){z — x).

D'une façon générale : si un polynôme à n variables devient identiquement nul quand on suppose que deux quelconques de ce> variables soient égales, il est divisible par le produit de toutes les dilTérences entre deux quelconques de ces variables.

EXERCICES

45. Vérifier que, si daas le polyaome ar'-ha?* — ix — i on remplace i par x^ — 2, le polynôme du sixième degré que l'on obtient ainsi est divisible par T^->r x^-^ix — x.

Démontrer que si l'on forme la suite des polynômes

dont chacun s'obtient en remplaçant dans le précédent x par x- — 2, et qu«> l'un divise ces polynômes par x^-i-x^ — 2X — i, les restes se reproduisent périodiquement de trois en trois.

46. Déterminera: 1" de façon que les deux racines de l'équation x- — x-ha = o vérifient la condition a:* — ix^-h x^-\- ix -hi — a* > o; 2* de façon que la plus grande de ces deux racines vérifie seule cette inégalité.

47. Tout polynôme qui prend des valeurs égales quand on y remplace x par les nombres inégaux ^i, as, .,,, a„ est de la forme

Q(jr — a, ) (a- — a, ) . . . (X — a„) -h R,

où R est une constante.

.48. Calculer les valeurs que prend le polynôme

i6x^ — iox*-¥- 5x

quand on y remplace x par une de^ racines de sa dérivée.

JQ. Effectuer la division du polynôme nx'* — ( /i -f- 1 ) j"'» -+- 1 , où n désigne

un nombre naturel, par (x — i)*.

50. Soient A, B, C, P des polynorhes; si l'on divise P par  (au sens du

DIVISIOM DES POLYNOMES. 169

n''5l), puis le quotient par B, puis le quotient par C, on trouvera le même quotient final qu*en divisant V par le produit ABC.

51. Montrer que si P = x^-k- /iix«-* -h ... 4- a^ est un polynôme donné de digré /i, on peut mettre, et cela d'une seule façon, un polynôme quelconque /(x) sous la forme A^-h Aj P -f- AjP^-h . . ., où Aq, Ai, Aj, . . . sont des polynômes en X de dej;ré moindre que n. En supposant que le polynôme /(j?) ait été mis iK»us cette forme, quel est le quotient et quel est le reste de la division de/(x) par P ?

Pour obtenir les polynômes Ao, A|, Aj, ..., on peut procéder comme il suit : partant de l'identité

h) ar" = — aiT^-^ — ajar"-' — ... — a^H-P,

on en conclut, en multipliant par x et en remplaçant, dans le second membre, -r"» par le second membre de l'identité (1),

j.H-hi — (a| — ai)a''«-i-+-(aiaj — a^)x^-^-^ ... -4- Par;

multipliant encore par x et remplaçant toujours x^^ dans le second membre, par — ai x"—^ — aja?'*— * — . . . , . . . , on voit qu*on obtient aisément les expressions de x"^ jr'»H-i, ar«-*-*, ..., puis de /(x) sous la forme désirée. Les calculs se simplifient si l'on veut seulement avoir le reste de la division de f{xy par P; on remplace alors partout P par o; les calculs sont indiqués ci-dessous en supposant P = 3?* — 07-4- i,/(^) = a7* — 2a:*H-3ar* — aj-'-h J?'— 1 ; le signe = >eut dire que les deux, membres que séparent ce signe sont identiques, à ua multiple près de P.

ar« = X — I , ar» s — 1 , a?* = — a?, ar» = — a: h- i , a?* = i ,

f{x)^ I — 2(— a'-Hl)-f-3(— ar) -f-i-j-a:— 1 — i=— 2.

52. Déterminer les coefficients Ai, Aj, A3, . . . d'un polynôme

f{x} = x'*-\- Aia"«-»-h Aja7'*-*-+- . . . -h A„

qui soit exactement divisible par sa dérivée. Le quotient ne peut être que du premier degré; on peut le mettre sous la

forme — (ar-ha): l'identité n

permet ensuite de trouver les coefficients Ai, Aj, ... : on trouve ainsi

/(ar) = (ar-+-a)«.

53. On se donne la suite des nombres ao, «i, a^, .... Montrer qu'un poly-

l6o CHAPITRE 111.

nome donné /(a?) peut se mettre, et cela d*une seule façon, sous la forme

Ao-+-Ai(:r— ao)-hAi(j7 — ao)(j?— «1)4-. . .-+- An(^ — af){x — ax)...(x — a^-xi

où Ao, A|, . . ., Art désignent des constantes et n le degré de f{x) : Ao est le reste de la division de/(x) par x — ao; si/i(a:) est le quotient de cette division, A| est le reste de la division de /i(x) par x — «i, etc.... Ceci ne suppose pas que les nombres ai, as, as, ... soient distincts.

Si Ton se donne les nombres distincts ao, ai, a^, . . ., a„, on peut calculer Ao, Al, ..., An sachant que le polynôme /(ar) est au plus du degré n et connaissant les valeurs qu'il prend pour a? = a©, a^ = «i, ..., :r = a^. En supposant /? < /i, les coefûcients A©, Ai, ..., A^ ne dépendent que de a,. ai, ..., a^ et des valeurs correspondantes du polynôme.

Trouver un polynôme de degré au plus égal à 3 qui prenne la même valeur

que yx pour x = o, jr= -» x = -y x = \.