II II' II

Ceci posé, si l'on veut étudier, pour les valeurs voisines de o, une fraction rationnelle -g* dont les deux termes sont des polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de x,

A = ao -f- ai J7 -+- aj arî -h . . . , B = 60 -f- 6| ar -+- ôjx» -h . . . ,

dans le second desquels on suppose essentiellement que Ùq ne soit pas nul, on effectuera la division de A par B, au sens du n** o7 ; on trouvera un quotient

Q = Co-i- Cl X -\- CiX^ -{-..,

ordonné par rapport aux puissances croissantes de :r et un reste R dans lequel on pourra mettre en facteur une certaine puissance de x, x^"*"* par exemple, et que l'on pourra écrire sous la forme SiF"+*, en désignant par S un polynôme. Q sera d'un degré au plus égal à /i et l'on

l64 CHAPITRE IV.

aura

A = BQ-hSa7'»-»-»,

puis, pour toutes les valeurs de x qui n'annulent pas B,

Pour les valeurs de x suffisamment voisines de o, la fraction ration-

S nelle tt, dont le dénominateur ne s'annule pas pour jr = o, reste

moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe. Pour ces valeurs le second membre a donc cette forme qui ne diffère que par le dernier terme d'un polynôme de degré /« -h i , sur laquelle on a apppelé l'attention au n" 32 (* ) ; pour a: = o le dernier membre est égal à <:#: pour les valeurs de x voisines de o, il est voisin de c©; pour jc = o, au point de vue de la variation, il se comporte comme le premier de^ termes C\X^ c^x^^ c^x^^ . . ., CnX'^ qui n'a pas un coefficient nul. On a d'ailleurs

''^t: "' = — bi — ' ••••

]^a fraction rationnelle proposée est continue pour J7 :r= o, c est-àdire qu'elle reste aussi voisine qu'on veut de la valeur j^ qu'elle

prend pour x = o, pourvu que x reste suffisamment voisin de o. Les polynômes c©, Cp-I- C| «r, Cq-^ CiX -\- Cj j?^, . . . fournissent des

expressions approchées de la fraction —, et Ton a le moyen de calculer une limite de l'erreur que l'on commet en substituant Tune d'elles à la fraction.

Si l'on considère, par exemple, la fraction

l — 9.Xi-hX^ l — 2X^-¥-X^

on voit d'abord que le dénominateur n'est pas nul si l'on suppose

(») Il résulte de la note du n» 32 que la fraction ^ qc peut se metu^ sous ceUc forme que d'une seule façon, quand on se donne le nombre /i.

DES FB ACTIONS RATIONNELLES. l65

|jr|< l/^; si l'on suppose x plus petit que o,i en valeur absolue,

la fraction

— 2 H- 5^ — 2:r* I — a^*-4- JF*

sera moindre que — ^ '- — r <C 3, en valeur absolue; Terreur

' I — 0,0'2 — OjOOi

commise en remplaçant la fraction proposée par i — x-^-ix'^ sera moindre que o,oo3. Pour j? = o, cette fraction est égale à i, elle est décroissante, puisque — x est décroissant.

Si l'on considère la portion correspondante à de petites abscisses

de la courbe définie par l'équation y= : r> on reconnaît

qu'elle passe par le point de l'axe des y dont l'ordonnée est i , et que la tangente en ce point a pour équation JK = i — x (comme on le voit sans peine par un raisonnement analogue à celui du n"31); la courbe est au-dessus de sa tangente; dans le voisinage du point de contact, elle se confond presque avec la parabole définie par l'équalionj^= i — j; -f- ix^ .

Le cas où le numérateur jde la fraction -rr s'annule pour jc = o, sans

que le dénominateur s'annule, est compris dans ce qui précède; il convient de remarquer alors que la fraction est nulle pour ^ = o, et que c'est le monôme obtenu en divisant le premier terme de A par le premier terme de B qui renseigne sur le signe de la fraction, pour les petites valeurs de x, et sur le sens de la variation.

Ainsi la fraction — j- se comporte, pour x très petit en valeur

absolue, comme r.x^\ elle est croissante pour a? ^ o, du même signe que jr, pour les valeurs de x voisines de o.

Les polynômes -x'^^-x^ j:*, ... sont des expressions approchées de cette fraction.

60. Examinons maintenant le cas où le dénominateur B s'annule pour X = o, et supposons d'abord que le numérateur ne s'annule pas.

En posant comme plus haut A = rto-h «i^ -+- a^x'^-^ .. ., «o devra être supposé différent de o. Au contraire, B commencera par un terme contenant une certaine puissance de x que l'on pourra mettre en facteur; en d'autres termes, on pourra mettre B sous la forme B = B'j?'',

l66 CHAPITRE IV.

OÙ B'=z bo-{- biX -\- b2X^ -+-... est un poljTiome en x qui ne s'annule

pas pour ^ = o.

Je suppose qu'on fasse la division de A par B'en s'arrêtani dès que

le reste est divisible par x''; la partie écrite au quotient sera alors un

polynôme de degré r — i au plus, et Ton parviendra à une identité

de la forme

A = B'Q-r-Sx^

où Q = Co-l-0|X -|-C2.r--h. . .-1-Cr i^'^~' est un polynôme en j. dans lequel le premier terme Co=: t-^ n'est pas nul, et où S est un polynôme en :r ; on en conclura

(on parviendrait d'ailleurs tout aussi bien à cette identité en faisant directement la division de A par B, quitte à introduire des termes de degré négatif, on s'arrête alors dès que le premier terme du reste e^J de degré nul ou positif).

L'égalité précédente suppose que x ne soit pas nul; il est d'ailleur> clair que la fraction proposée' n'a pas de sens pour .t = o; on se propose seulement de reconnaître comment elle se comporte pour des

valeurs de x voisines de o: dans ces conditions, B' n'est pas nul, et,

S pourvu que x reste suffisamment près de o, la fraction rationnelle i^»

dont le dénominateur n'est pas nul pour ar = o, reste aussi voisine

qu'on le veut de la valeur qu'elle prend pour :r = o.

Si Ton pose -• = ^, l'expression

^0 — 7 -i- C| — — - -f- . . . -4- Cr-^i — X' JT^ ^ X

prend la forme

C'est un polynôme en z. de degré r, ordonné suivant les puissances descendantes de :; et ne contenant pas de terme constant.

Quand x est petit en valeur absolue, z est grand en valeur absolue: il en est de même du polynôme P(5), lequel est alors du signe de

son premier terme CqZ''=-^^; il en est de même de la fraction^-

DES FBACTIONS RATIONNELLES. 167

Pourvu que z soit assez grand, en valeur absolue, ou, ce qui revient au même, pourvu que x soit suffisamment voisin de o, la valeur absolue de P(5) est aussi grande qu'on le veut. Il en est de même de

la fraction -^; c'est ce qu'on exprime en disant que cette fraction

devient infinie quand x tend vers o (on dit aussi, plus brièvement, qu'elle est infinie pour x = o).

Quant au signe, tout dépend de la parité de r et du signe de c©.

Supposons r impair; si Cq est positif, la fraction est négative pour X négatif, positive pour x positif; on dit que, x croissant, elle passe, pour or = o, de — oo à 4- oo. Si Co est négatif, elle passe, au contraire, de -|- 00 à — oo.

Lorsque r est pair, la fraction, pour des valeurs de x voisines de o, est du signe de Co, que x soit positif ou négatif. On dit qu'elle passe par -h 00 ou — oo suivant que Co est positif ou négatif.

Considérons, par exemple, la fraction

OU la courbe définie par l'équation y = — jr — •

Lorsque x est très petit en valeur absolue, y est très grand en valeur absolue ; le point de coordonnées x^ y est très près de l'axe des j^, très

Fi, Y

loin de l'axe des x\ la courbe, quand x est voisin de o, offre une disposition analogue à celle qu'indique la figure. Elle présente deux branches infinies, dont on dit qu'elles sont asymptotes à l'axe des y,

l68 CHAPITRE IV.

l'une vers le bas, à gauche de l'axe des y^ l'autre vers le haut, à droite : en disant qu'une branche de courbe est infinie, on entend qu'elle comporte des points dont l'une des coordonnées, au moins, est aussi grande qu'on le veut, en valeur absolue ; en disant qu'une branche infinie est asymptote à une droite, on entend que ses points se rapprochent autant que l'on veut de cette droite, pour\u que leur< coordonnées, ou l'une au moins de leurs coordonnées, soient suffisamment grandes en valeur absolue.

On aura une disposition analogue, dans le cas général, pour le>

valeurs de x voisines de o, si r est impair et si c^ est positif; si r est impair et Cq négatif, la disposition sera celle de la figure ci-dessus.

Fig. II.

Fig. 22.

Si r est pair, on aura Tune ou l'autre des dispositions ci-dessus, suivant que c© est positif ou négatif.

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l(>9

61 . Revenons au cas général et à l'égalité (i) du numéro précédent ;

la différence

Ail I

S est égale à la fraction rationnelle -r;» dont le dénominateur ne s'annule

pas pour :r = o et qui, ainsi, est une fonction continue de x pour X = o. La différence précédente n'a pas, par elle-même, de sens pour X = o, mais il suffit de lui attribuer, pour x = o, là valeur que prend,

S pour X = o, la fraction •^,> pour qu'elle devienne une fonction continue de X, pour x = o.

Ainsi, dans l'exem[)le traité un peu plus haut, la différence

jr^{i — ,v) x^ X' X

égaie (sauf pour x = o) à la fraction — - — > tend vers 2 quand x tend

vers o; si, pour x = o, on lui attribue la valeur 2, elle devient, pour X = Oj une fonction continue de x.

En écrivant

on a décomposé le premier membre en deux parties, dont l'une, le polvnome en - sans terme constant

est la partie de la fraction qui devient infinie quand x tend vers o, dont l'autre partie, dans les mêmes conditions, reste bornée et. tend vers 2. Il est clair que cette partie de la fraction rationnelle qui devient ainsi infinie est la plus importante à considérer pour les valeurs de x \oisines de o; en en substituant la valeur à celle de la fraction, on ne commet qu'une faible erreur relative, et c'est pour cela que j'ai supposé la division de A par B' arrêtée au moment où l'on avait obtenu celle partie. On peut, d'ailleurs, si cela est utile, pousser la division plus loin, de manière à obtenir des expressions de plus en plus rap-

prochées de la fraction. Je n'insiste pas sur ce sujet, qui a été suffisamment éclairci.

Les explications qui précèdent permettent d'énoncer la proposition suivante :

Si, dans la fraction rationnelle ^1 le numérateur est différent

de o pour j: = o, tandis que le dénominateur s'annule pour x=^o. en sorte quil soit dis?isible par x^ (et non par une puissance de x plus élevée), cette fraction devient infinie quand x tend vers o. // existe un polynôme en 5, P(^), de degré r, ne contenant pas de

terme constant, tel que l'expression (le polynôme e/i - j > P ( - 1 soii

la partie de la fraction „ qui devient infinie quand x tend vers o :

la différence jr — P ( - ) s'approche indéfiniment d'un nombre fixe ( * ),

quand x tend vers o, nombre auquel on donne souvent le nom de

vraie valeur, pour x = o, de la différence ^ — P f - j • En attribuant

sa vraie valeur, pour :r == o, à cette différence, elle devient une fouclion continue de x^ pour x =^ o.

Le polynôme P(5), défini plus haut, est le seul polynôme en 5 san>

terme constant, tel que la différence ^^ — ^( ~ ) reste bornée quand j

tend vers o : si, en effet, un autre polynôme P\z), sans terme conslant, jouissait de la même propriété, la diflerence

-œ-iB-'-a)] =-■<•>-'•'='

resterait aussi bornée quand x tendrait vers o, ou quand z deviendrait infini; or cela est impossible si les deux polynômes P'(s) et P(5) ne sont pas identiques.

(*) II suffit, pour plusieurs raisonnements qui suivent, d'observer que ceUc différence reste bornée quand x tend vers o, c'est-à-dire qu'il y a un nombre positif auquel elle reste inférieure, en valeur absolue, pour toutes les valeurs de x, aulrcs que o, qui sont suffisamment voisines de o. Il est à peine utile de dire que, lorsque deui fonctions de x restent bornées, dans certaines conditions, il en est de même de leur somme, de leur difi'érence, de leur produit, et que les mots « reste bornée » s'opposent à l'expression « devient infinie ».

62. Considérons enfin le cas où le numérateur et le dénominateur

de la fraction rationnelle -^ s'annulent pour x = 0', on pourra alors

poser A = A! x^^ B = B'o:'', en désignant par q^ r des nombres naturels, par A', B' des polynômes en x qui ne s'annulent pas pour x = o, La fraction ^ n'a pas de sens pour ^ = o; pour les autres valeurs de X, elle est égale à

A'xi-'' A' A'

suivant que l'on a q> r^ q = r, q <,r. On est ramené aux cas précédemment étudiés : dans les deux premiers cas, la fraction ^ a une vraie valeur pour x = o (nulle si q est plus grand que r), dont elle s'approche indéfiniment quand x tend vers o ; en lui attribuant, pour X = o, cette vraie valeur, elle devient une fonction continue de x^ pour a; =: o. Dans le troisième cas, la fraction augmente indéfiniment en valeur absolue, quand a; tend vers o; il existe un polynôme P(5) de degré r — y, sans terme constant, tel que P( - ) soit la partie de la fraction qui devient infinie pour x = o^ en entendant les choses comme ou a fait plus haut.

63. Supposons maintenant que l'on veuille étudier la fraction -rr pour les valeurs voisines du nombre Xq ; ou remplacera dans les polynômes A, B, X par x^-\- A, et l'on ordonnera suivant les puissances ascendantes de A. On est ramené à étudier une fraction rationnelle en h pour les valeurs de /i = j? — Xq qui sont voisines de o. Les résultats suivants deviennent évidents.

Si Xo n'est pas racine de B, la fraction ^> pour les valeurs de x voisines de x^^ restera voisine de la valeur qu'elle prend ^onv x = Xq ; elle sera une fonction continue de x^ pour x =:Xq. Les méthodes précédentes permettent de reconnaître si elle est croissante ou décroissante pour x=:Xq^ si elle passe par un maximum ou un minimum, quel est son signe quand x est voisin de Xq\ elles permettent aussi de trouver des polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de h ou de x — oto, qui la représentent d'une façon très approchée, pourvu que x soit suffisamment voisin de x^.

Si Xq est une racine de B, d'ordre de multiplicité r, et si x^^ n'est

f72 CHAPITRE IV.

pas racine de A, la fraction devient infinie pour x = :ro, et il existe un polynôme P(5) de degré r, sans terme constant, tel que la différence

tende vers une valeur finie quand x tend vers x^\ il n'existe d'ailleurs qu'un seul polynôme, sans terme constant, qui jouisse de cette propriété.

Si J7o est en même temps racine d'ordre de multiplicité q pour le numérateur A, les choses se passent de la même façon lorsque q est plus petit que r, si ce n'est que le polynôme P(^) n'est plus que du degré r — gr. Si gr est égal à /*, la fraction, quand x tend vers o, tend vers une valeur différente de o; û q est plus grand que /*, elle tend vers o. On peut, dans les différents cas, reconnaître son signe, le sens de sa variation, on peut en former des expressions approchées, etc.

64. Supposons enfin qu'on veuille étudier la fraction lorsque x est 1res grand en valeur absolue. Appelons n et p les degrés respectifs des deux polynômes A et B et écrivons la fraction, en ordonnant ces polynômes suivant les puissances descendantes de x,

on changera J7 en -> et l'on aura

OU, suivant que l'on aura n<.p^ n^^p^ n >/>,

zn- '' ( flto H- ai 5 -»- atj J* -f- . . . )

3"-/M!io^-fi.^-t-fii^*-+-...)'

on est ramené à des cas déjà étudiés, puisque, lorsque :r est très grandi en valeur absolue, z est très voisin de o.

On voit de suite que, si le degré du dénominateur de la fractioii> proposée (en x) est supérieur au degré du numérateur, la fraction tend vers o quand x augmente indéfiniment; sa vraie valeur est o pour

X infini. Son sierne est le siffne de rr ^^"^ ou de z — ^- Si le degrré

du numérateur est égal au degré du dénominateur, la fraction s'approche de ^ quand X augmente indéfiniment en valeur absolue; la

vraie valeur de la fraction est le rapport des coefficients des termes du plus haut degré ; enfin, quand le degré du numérateur l'emporte sur le degré du dénominateur, la fraction augmente indéfiniment, en valeur absolue, quand j? augmente indéfiniment, en valeur absolue;

elle est du signe de ^^x'^~p.

Dans ce dernier cas, il convient d'effectuer la division du numérateur par le dénominateur au sens du n" 51 ; on a alors A = BQ -+- R,. R étant un polynôme de degré moindre que B; on peut écrire encore-

et, d'après ce qu'on vient de dire, jj tend vers o quand x augmenteindéfiniment, en sorte que le polynôme Q, pour x très grand, est une expression approchée de ^« C'est le seul polynôme dont la différence avec ~ tende vers o quand x augmente indéfiniment en valeur absolue.

Considérons, par exemple, la fraction

Y — z= x^'-JrX — IH ,

et la courbe définie par cette équation, y s'obtient en ajoutant àv

X* -\- X — I la quantité ^-^ qui est, en valeur absolue, très petite

pour X très grand, qui est, d'ailleurs, du même signe que x, La' courbe, quand x est très grand, en valeur absolue, est très voisine de la parabole dont l'équation e^l y z= x- -{- x — 1 , un peu au-dessus-

pour jo positif, un peu au-dessous pour x négatif; on dit que la courbe est asymptote à la parabole. Je laisse au lecteur le soin de la construire.

On obtiendrait une droite pour asymptote si le degré du numérateur était égal, ou supérieur d'une unité, au degré du dénominateur.

65. Décomposition en éléments simples. — Considérons une fraction rationnelle de la forme

où le numérateur /(^) est un polynôme quelconque, pouvant même se réduire à une constante, où a, 6, . . ., / sont des nombres distincts et a, p, . . ., X des nombres naturels; en sorte que a est une racine du dénominateur d'ordre de multiplicité a, b une racine d'ordre de multiplicité p, etc. Pour abréger, je désignerai le dénominateur par o(wr). Quoique cela ne soit pas indispensable, je supposerai, afin de simplifier un peu ce qui suit, qu'aucun des nombres a, 6, . . ., / n'annule f{x).

On a vu qu'à la racine a de ç(^), par exemple, correspondait un polynôme en 5, sans terme constant, qui, lorsqu'on y regarde z

comme égal à » constitue la partie de la fraction qui de\ienl

infinie quand x s'approche de a, la différence entre la fraction et ce polynôme restant bornée : il est le seul à jouir de cette propriété. Ce polynôme est de degré a si l'on suppose que a n'est pas racine

de f{x) : après qu'on y a remplacé z par , il est de la forme

At

{x — aj* (.r — a)^

où Ao, Al, . . ., Aot i sont des constantes que l'on a appris à calculer, et dont la première Aq n'est pas nulle ; je désignerai cette expression

par Pa l __ )' C'est la partie de la fraction qui devient infinie quand X s'approche de a.

Aux autres racines b^ c, .,,, t de x correspondent de même des

expressions

obtenues en remplaçant z par t> > • • •> j dans des poly-

nomes P^(:;), Pc('2), ..., P/(5), dont les degrés sont respectivement 3, V, . . ., X, et qui, tous, manquent de termes constants. Chacune de ces expressions est la partie de la fraction rationnelle donnée qui devient infinie quand x s'approche de la racine de ç(^) qui lui correspond .

Si le numérateur f{x) est de degré supérieur ou égal au degré a-j-^-l-. ..-+- X de ç(:r), il existe un polynôme E(a:), la partie entière de la fraction rationnelle, que l'on obtient en prenant le quotient de la division de f{x) par o(^), dont la valeur, quand x augmente indéfiniment, s'approche autant qu'on le veut de la valeur de la fraction proposée : c'est le seul polynôme qui jouisse de cette propriété. Quand le degré de /(x) est inférieur au degré de f{x)j ce polynôme E(x) doit être regardé comme identiquement nul.

Mon objet est maintenant de montrer que la fraction proposée est égale, pour toutes les valeurs de x^ à

f(x) ' Cette forme de la fraction "^4 — :» si l'on en admet pour un instant la

«p(ar) ^

légitimité, met bien en évidence la façon dont elle se comporte quand x s'approche d'une des valeurs a^ b^ , . .^ l qui annulent son dénominateur, ou lorsque x devient infini. Lorsque x, par exemple,

s'approche de a, les parties autres que Pa l 1 restent bornées.

Lorsque x augmente indéfiniment, c'est la partie E(^) qui devient infinie; les autres parties deviennent nulles ou, plutôt, tendent vers o. 11 est bien clair, par ce qui précède, que la fraction proposée ne peut être mise sous une pareille forme que d'une seule façon.

On va établir la légitimité de ce mode de décomposition en expliquant en même temps le procédé le plus pratique pour le réaliser.

Je rappelle d'abord que, pour obtenir Pal ) > on procède

comme il suit : en posant x= a -\' h et

on a

<p(ar) (J7 — a)aç,(j:) /i*ç,(a -+- /i ) *

On efl'ectiie la division de f{a + h) par Çi (« -+- A), en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de h et en s'arr^tant dt*s que le reste est divisible par A*; Topéraiion même conduit à une idenliié de la forme

où R(A) est un polynôme en // ; en divisant les deux membres par A*, on obtient (*)

f(a^h) ^ Aq Ai . Ag-i R(A)

A*<pi(a-i-A) h* h»-^'^" h <?i(aH-A)*

En remettant dans cette identité x — a à la place de h et en désignant par/, (^) ce que devient R(A), on obtient

On opère sur la fraction*^^— — -» relativement à la racine b de 91 (-^^^ comme on a opéré sur la fraction —. — relativement à la racine tf de ç(^), cest-à-dire qu'on cherche la partie de *^^-^ — • qui devienl infinie quand x s'approche de b : c'est certainement Pà(-^^\' puisque, la différence -^-^ — P^ ( ' j restant bornée quand jr s'ap-

(') On peut tout aussi bien parvenir A cctlc dernière identité en cffctluanl là division de /(«-+-/*) par /*«9, (a -+- /*), les deux polynômes étant ordooucs par rapport aux puissances croissantes de h : on introduit alors au quotient des po'*sanccs négatives de A, et l'on s'arrête dés que le reste commence par un terme en * dont l'exposant est égal ou supérieur à 2.

proche de 6, il en est de même, en vertu de l'identité (i), de la différence

Or il n'y a qu'un seul polynôme en ^> sans terme constant, dont

la diirérence avec'9 puisse rester bornée quand x .s'approche de b.

Le calcul de la partie de — qui devient infinie quand x s'approche de />, conduira donc à une identité analogue à l'identité (i)

fil5}-pj__i\

«pi(xj \x — bj .92(^)

f (x) On continue de la même façon: on détermine la partie de* ^^; qui

devient infinie quand x s'approcKe de c ; c'est Pc ( j » etc.

Finalement, en supposant qu'il y ait /• nombres a, i, ...,/, on

arrive à une fraction -r-^ — r^f dont le dénominateur n'aura plus

(x — ly- ^

qu'une seule racine distincte : on la traitera de la même façon; mais Jes calculs sont ici particulièrement simples : on ordonne fr{jc) suivant les puissances de ^ — /; les premiers termes, de degré inférieur

à A, donneront en divisant par [x — /)^ les termes de P/ ( -. j , les

termes suivants, s'il y en a, divisés par {x — /)^, fourniront un polynôme en X, que je désignerai par E( j:), et l'on obtiendra l'identité

en ajoutant membre à membre les identités (i), (2), . . ., (3), on arrive à l'identité

«' {S-!=-.(^)*".(îi-.)---'(î^,) -■=<-'■

En vertu d'une remarque déjà faite, le polynôme E(:r) ne peut différer de la partie entière de la fraction proposée, puisque la différence entre ' / et E(.r ) tend vers o quand x devient infini. T. ,3

Si le de^é de f{x) est égal ou supérieur à celui de ©(^), il e>t commode de commencer par déterminer cette partie entière E(2?) en divisant, au sens du n° 51, f{x) par ©(^), ce qui conduit, en désignant par Y{^) le reste, à l'identité

on opère ensuite, pour trouver P^ f U P^ f — i r "' ^"'^ '*

fraction > plus simple que la fraction '— — :: le résultat est le

même, toujours pour la même raison; la différence

restant bornée quand x s'approche de a, il en est de même de la diffé-

F(x) D / I \ rence l\i ( )>

<f{x) ''\x~aj

F( x^ Mettre la fraclion rationnelle ^ sous la forme (4)? c'est ce qu'on

appelle la décomposer en éléments simples : ces éléments simples sont, d'une part, les termes du poljnome E(jc) et, d'autre part, les

termes des parties fractionnaires P^ ( j> P^ ( — ZThr '"* ^

chacun de ces termes, formé d'une fraction dont le numérateur est

une constante et le dénominateur une puissance de x — a, x — 6,

on donne le nom de fraction simple, La puissance la plus élevée à laquelle est élevé chacun de ces binômes est l'ordre de multiplicité de la racine correspondante dans o{x)^ à supposer, comme on l'a fait, que cette racine n'annule pasy(j'). Si l'on supprime celte restriction et si a, par exemple, était une racine de /(a:), d'ordre de multiplicité a'<^a, la partie de la fraction qui devient infinie quand x s'ap-

proche de a commencerait par un terme de la forme • -r-ir-y au

lieu de commencer par un terme de la forme ; r-; et, lors même

qu'on n'aurait pas supprimé d'abord le facteur commun à /{x) et à o(x)j les calculs pourraient s'effectuer de la façon même que l'on a expliquée.

Soit, par exemple, à effectuer la décomposition de la fraction

x^{x — i)n^ — '^) On a ici = 0, 6 = 1, c = 2, a = 3, ^ = 2, y = 1. II nV a pas de partie entière. Pour déterminer la partie P© ( - )> qui devient infinie pour a: = o, on

doit diviser, en ordonnant suivant les puissances croissantes, i — x^ -^ x^ par — 2 -H 5 a? —\x^-^x^\ on s'arrête dès que le reste est divisible par x^ et Ton parvient ainsi à Tidentité

ou, en divisant par x^^

, , c o 0(37 — 42^-Vi3ir«)

1 — ar'-HxS II 5 I i3 I 8^ ' ^

x^{x — 1)2(37 — 2) 1 x^ 4 ar* 8 a? {x — i)^{x — 2)

On va maintenant, en partant de la fraction qui figure à la fin du second membre, déterminer la partie P| ( )> qui devient infinie pour a? = u

Faisons abstraction, pour un instant, du facteur ^; on pose, dans la fraction

37 — 42ar-f- i3j:'

ar = I -T- /i, et Ton ordonne par rapport aux puissances croissantes de /i, elle devient

on effectue la division, en s*arrétant dès que le reste est divisible par A*; on parvient ainsi à Tidentitc

8—16/1 -H i3/iî 5/,i

en divisant par /i*, remettant x — i à la place de h et multipliant par -, on

trouve

il n'y a pas lieu d'aller plus loin, puisque la dernière fraction est sous la forme

l80 CHAPITRE IV.

voulue, el l'on a

Il 5 I i3 T I

a a-' 4 07* Sx (2 — I)* X — i Sx — 2

66. Il convient de s'arrêter sur le cas où, a, b, c^ ...j /étant toujours des nombres distincts, on a aflfaire à une fraction de la forme

o(x) (x— a)ix — b),..{x — i)^

les nombres que Ton désignait dans le numéro précédent par ot, ^, Y, . . ., X étant tous égaux à i. Dans ce cas, le polynôme en — -— que

Ton désignait par P^ ( ) se réduit à la fraction simple '^ > Le

polynôme que l'on désignait par C3| (x) se réduit à

Ao est le premier terme du quotient de la division des polynômes (en A) /(a -h A), 0|(« + A), ordonnés suivant les puissances croissantes de A, polynômes dont les premiers termes sont respectivement /(a) et çi (a), en sorte que l'on a

A =/l^ = Zll> .

le nombre ?«(«) est la valeur, pour x = a, de la dérivée o'(:r) du polynôme o{x) : on a, en effet, 'f (^) = {x — a) '^, (x) et, par suite,

en n'écrivant pas les termes A-, A', ... ; on voit bien que le coefficient de A dans le développement de <^(rt-4-A), ordonné suivant les puissances croissantes de A, c'est-à-dire (n" 33) la valeur, pour x = aj de la dérivée de o(x), est '^, (a). On peut donc écrire aussi :

Comme le même raisonnement s'applique aux autres racines //,

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l8l

c. . . . , A", l de ç(^), on peut écrire, en désignant par E{x) la partie entière de la fraction • , \

67. En multipliant par ^(x) les deux membres de cette identité, elle devient

(ar — a)(x — c)... (a: — /)

(ar — a)(ir — b) . . .(x — A*) (/-.«)(/ — 6). ..(/ — A:)

■4- (ar — a)(ar — 6)... (a: — /)E(x);

cette formule, qui joue un rôle considérable dans diverses questions d'ordre pratique ou théorique, est connue sous le nom de formule d* interpolation de Lagrange, il ne faut pas oublier que le polynôme E(a:) doit être regardé comme identiquement nul quand le degré de f (^) dépasse celui de f{x).

Elle fournit immédiatement la solution du problème suivant : Etant donnés /* nombres distincts a, b^ . , . , l^ déterminer tous les polynômes en x qui prennent des valeurs prescrites A, B, ..., L pour x = aj x = b^ ..,^x = L

Si Ton pose, en effet, o(x) = (x — a){x — b)...{x — /), et si Ton désigne par /(x) un des polynômes cherchés, on devra avoir

l82 CHAPITRE IV.

et, par suite,

(x— a)(jr — c)...(3r— /) "^ (/; — a)(6-c)...(6-/) '^••'

(ar— a)(:r — c)...(ar — k) ^, ^ / ^ -^ S/-aM/-c)...(/-X-) -^^(">'?<")-

Le raisonnement même montre que le polynôme cherché /{x) doit nécessairement avoir la forme qu'exprime le second ou le troisième membre de cette égalité, et la forme même du troisième membre montre eflTectivement qu'il prend les valeurs A, B, . . ., L quand on y fait a: = a, 6, . . . , /. Pour œ = a^ par exemple, le polynôme qui multiplie A se réduit à i, les polynômes qui multiplient B, ..., L s'annulent, ainsi que o(x)^ et cela quel que soit le polynôme E{x). Ce dernier peut donc être choisi arbitrairement.

Le produit E(x)o(j:), quand E(x) n'est pas identiquement nul. €St de degré au moins égal à n ; son terme du plus haut degré ne peut être détruit par les termes du second membre de l'identité (2) qui précèdent E(a:)«p(x), termes qui sont au plus du degré n — i.

Si donc on impose kf{x) la condition d'être de degré inférieur à n, Vj{x) doit être identiquement nul, en sorte qu'il y a un seul polynôme g{x)^ de degré inférieur à /i, qui prenne des valeurs prescrites A, B, . . ., L pour X = a, 6, ... , /, à savoir le polynôme

{x-'a)(x-c),.Ax — l) -^ (b-a){b-c),,,ib-^l)'^"'

un polynôme quelconque qui prend ces valeurs prescrites est de la forme g{x) -f- E{x) cp(x), le polynôme E{x) étant arbitraire.

Au reste, on reconnaît directement que si les deux polynômes ^(xl /{x) prennent l'un et l'autre les valeurs prescrites A, B, ..., ^^ pour x = a,b, ..,Jy leur différence /(x) — g{x) doit être divisible

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l83

par;p(x) (n^SS); si lespoljnonies/(j?) et ^(^) doivent être de degré inférieur à /i, cette diflerence doit être identiquement nulle : on voit ainsi que le problème consistant à trouver un polynôme de degré inférieur à n qui prenne les n valeurs prescrites A, B, . . . , L pour les n valeurs distinctes a, 6, . . . , / de ;z* ne peut admettre qu'une solution, solution qui est évidemment fournie par la formule (3), et que tous les polynômes, de degré quelconque, qui prennent ces valeurs prescrites, se déduisent de l'un d'eux comme on l'a expliqué.

Le problème de V interpolation consiste, en général, à trouver une fonction qui prenne des valeurs prescrites pour des valeurs données de la variable. C'est un problème capital pour les sciences d'observation, où la loi d'un phénomène ne peut jamais être obtenue que par un nombre fini d'expériences : une série d'expériences, par lesquelles on cherche à reconnaître comment une variable y dépend d'une variable x^ fournit un tableau de nombres où figurent les valeurs jKm ^2î --'^yn àey qui correspondent aux valeurs Xi^ x-y, . . . , Xn de x. Si l'on a déterminé une fonction g{x)^ par exemple, comme tout à l'heure, un polynôme, qui pour x = a^i, :r,, ..., Xn prend des valeurs /lî^'iî • • -î y Ht on admet que cette fonction g{x) fournira les valeurs Ae y pour les valeurs de x qui ne s'écartent pas trop des nombres x^^

Xj, Xni soit que ces valeurs soient comprises entre le plus petit

et le plus grand des nombres x^t x^^ ...5 x^ (interpolation proprement dite), soit qu'elles dépassent un peu, en dessus ou en dessous, le plus petit ou le plus grand de ces nombres (extrapolation).

On a vu, par la théorie précédente, comment, lors même qu'on se borne à des polynômes, le problème posé est indéterminé : il en est de même, d'ailleurs, du problème qui consiste à trouver une loi : deux lois d'un même phénomène, exprimées par des formules difl*érentes, sont également vraies, lorsque les diflférences entre les nombres que fournissent ces formules sont de l'ordre de grandeur des erreurs d'observation. Parmi ces lois, on choisira celle qui est susceptible de l'expression la plus simple. Ce dernier mot aurait d'ailleurs besoin d'être précisé. S'il s'agit, par exemple, de deux polynômes, il est naturel de choisir celui des deux qui est de moindre degré.

Le lecteur, enfin, ne peut manquer de se demander s'il est VTai que deux fonctions qui prennent les valeurs prescrites pour x = X|, x^f . . .y Xfi aient toujours des valeurs voisines quand x n'est pas égal à l'un de ces nombres, et sous quelles conditions cela est

l84 CHAPITRE IV.

vrai. Je me borne à soulever ces questions qui ont fait l'objet d'un grand nombre de travaux.

C8. La formule (i) du numéro précédent, qui suppose seulemenl que les nombres a, 6, . . . , / soient distincts, fournit une suite d'identités en égalant dans les deux membres les coefficients d'une même puissance de x; je me borne à celle qui provient de l'identification des termes en x'*"*, lorsque le polynôme /(^) est de degré inférieur à n, et que, par conséquent, le polynôme E (a:) est identiquement nul;

les coefficients de ^r""* dans les polynômes — — -y -^ — j» ..., ,

étant évidemment égaux à i, on voit que, dans le second membre, le coefficient de x"~* est la somme

/(£)^/(A).^ , fil) .

cette somme, lorsque le polynôme /(^) est de degré inférieur à /r, est donc égale au coefficient de x^~^ dans/(;r) ; elle est nulle en particulier quand /(a:) est de degré inférieur à n — i; en prenant f(^x) = x'*, où /' est l'un des nombres o, i , 2, . . . , n — i , on a

«'• br Ir

pour /' = 0, 1, 2, .

. . , n — 2, et, pour r = n — i ,

T:7:r-T-+- -77-rT -^ • • • -^ -tttt =>.

et cela, quels que soient les n nombres distincts a, 6, ...,/.

§ 3. - FONCTION HOMOGRAPHIQUE.

69. Je terminerai ce Chapitre par l'étude de la plus simple des fonctions rationnelles, à savoir la fraction

^ ax -\- b ^^ a'x-^b''

où a, 6, a', b' sont des constantes et dont les termes sont du premier

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l85

degré en x. Elle joue un rôle considérable tant en Algèbre qu'en Géométrie.

En faisant la division du numérateur par le dénominateur (n"* 51 , 64) et en posant, pour abréger,

a'b — ab' b'

on la met sous la forme

a Ci b — ab' ci 3

C'est l'application, à ce cas simple, de la méthode de décomposition en éléments simples exposée plus haut. Sur cette forme, la façon dont y varie avec x apparaît de suite.

Le binôme x — a croît depuis — oo jusqu'à + oo quand x croît de — 00 à -h 00. Il s'annule pour a: = a ; pour cette seule valeur de x^ y n'est pas une fonction continue de x. Quand x croît de — oo à une

valeur a — e, un peu plus petite que a, — — - décroît de o ( * ) jusqu'au nombre très grand en valeur absolue, quand x traverse la valeur a, passe de — oo à + oo ; quand x croît de a + e à + oo,

décroît encore de - iusqu'à o. La fraction — ^-— varie dans le

r — CL s "^ * X — a

même sens que — -— > ou dans le sens contraire, suivant que p est

positif ou négatif : la partie constante — n'influe pas sur le sens de la variation. Par conséquent :

Lorsque x croît de — oo à -f- oo, la fonction —, j^ croît toujours,

ou décroît toujours, suivant que ab' — a' b est positif ou négatif: dans le premier cas, elle croît de -r à -j-oo, puis de — oo à -7; elle

passe de -i- 00 à — 00 quand x traverse la valeur ,\ dans le second

cas, elle décroît de — à — 00, puis de -j- 00 à —,; elle passe de — oo

(*) C'est une façon de parler pour dire que, lorsque x est très grand en valeur absolue, est très petit en valeur absolue.

à 4- <» quand x traverse la valeur ? • Les variations de cette fonction sont figurées ci-dessous ; la courbe est asymptote aux deux pa-

valeurs différentes de x correspondent toujours deux valeurs dilTê-

j ax -i- b rentes de

rallèles aux axes dont les équations sont yz=^,x = -,• A deux

Fig. o3.

Fig. 24.

Tout ceci suppose que ^ = a'6 — ab' n'est pas nul ; dans le cas où ^ serait nul, — ; jp serait toujours égal à -7> et ainsi ne dépendrait

pas de X : toutefois, pour x = ;> la fraction proposée n'a pas de

sens, et -7 n'est la valeur de cette fraction que par convention ('). Lorsque les variables Xj y sont liées par la relation

ax -+- b et que ^ n'est pas nul, on dit que y est une fonction homographique

( ' ) Quand ^ devient de plus en plus petit, en valeur absolue, la courbe se rapprinrhc de plus en plus de ses asymptotes; jusqu'à se confondre avec elles pour ^ — 0.

de X, OU encore que la valeur de y est la valeur de a? à laquelle elle correspond, transformée par l'homographie que déterminent les Dombres a, 6, a', 6'.

Lne des propriétés les plus importantes des fonctions homographiques apparaît sous la forme, précédemment obtenue, de l'équalion qui lie x et y,

a fJ

En désignant par ^i, X2j ^3, ^4 quatre valeurs distinctes de x, P^^ yti y^i y^i y s l^^ valeurs correspondantes de y^ qui sont aussi différentes entre elles, on a évidemment

Yx -.Yz , .Yi — .Yz __ J-i — y^ . 3^t— ^3 .

yi—y^ yt—yi. x^ — x^ xt—x,,

on désigne sous le nom de rapport anharmonique des quatre nombres X|, x^, ^3, ^4 rangés dans l'ordre qu'on vient d'écrire, la quantité

^i — ^3 . 3^1—^3 (J7| — XaX^Ta— 3^4) a?! — J*4 * a?j — 0^4 (^1 — Xi^)(X^ — x^)

et Ton exprime la propriété précédente en disant que, quandy est une fonction homographique de x, le rapport anharmonique de quatre valeurs de x est égal au rapport anharmonique des valeurs correspondantes de y, La proposition subsiste, comme il est aisé de le voir, dans le cas où a' est nul, qui échappe à la démonstration précédente. L'intérêt de cette propriété consiste en ce qu'elle ne dépend que de la forme de la relation entre x et jk, nullement des valeurs particulières des coefficients a, 6, a', b' , Elle caractérise d'ailleurs la correspondance homographique : en d'autres termes, si à chaque valeur de x correspond une valeur de y^ de façon que le rapport anharmonique de quatre valeurs quelconques de x soit toujours égal au rapport anharmonique des valeurs correspondantes de^, ^ est une fonction homographique de X.

l88 CHAPITRE IV.

Cela résulte de ce que, si Ton considère trois valeurs fixes dex, à savoir Xi, Xj, ^3 et les valeurs correspondantes yt, y 2^ J's de y^ on doit avoir, entre une valeur quelconque de x et la valeur correspondante de^, la relation

(y—yt)(y\—yz) ^ (^ — ^t)(^i — ^1) iy—y2)(yi—yt) (^ — ^s){^i — ^1)'

qui, résolue par rapport à y, permet d'exprimer j^ en fonction dex

sous la forme

aa: -{- b

La démonstration même que Ton vient de faire prouve que, si l'on se donne trois couples de nombres correspondants (xi, j^i), {^tyi)j (xz^ yz)j tels que les nombres ^i, X2^ ^3 soient distincts, ainsi que les nombres j^i , y 2, y^y il existe une fonction homographique de x, et une seule, celle-là même qu'on vient de déterminer, qui prend les valeurs y,, ^'27^3 pour x = j;,, Xa, x,.

Au lieu de dire que j^ est une fonction homographique de x quand/ s'exprime au moyen de x par la formule

^ ax ■+■ b y- a'x^b''

où a, 6, a', b' sont des constantes, on dit souvent que les deux variables x^ y se correspondent homographiquement lorsqu'elles sont liées par une équation de la forme

\xy -\- Ba? -f- Gj -i- D = o,

où A, B, C, D sont des constantes ( * ) dont quelques-unes peuvent d'ailleurs être nulles : cette équation, qui est du premier degré, soit

(') Il est bien entendu qu'on a affaire à la même fonction homographique quaid on remplace les coefficients a, 6, a\ b' par des coefficients proportionnels, qo'oo a affaire à la même correspondance homographique quand on remplace les coefficients A» B, C, D par des coefficients proportionnels. Je laisse au lecteur le soin de démofttrtr

que les deux fractions ^^^-^, J|^"^ ^ ne peuvent être égales pour loaies 1»

valeurs de x sans que les coefficients a, {l, a', ?' soient proportionnels aux coefficients a, 6, a', b' .

par rapport à y^ soit par rapport à x^ détermine Tune des variables, lorsqu'on se donne Tautre. On en tire

•^"" A:r-+-C' ^"" Ay-hH '

Chacune des deux variables est bien une fonction homographique de Tautre; mais, sauf le cas où Ton aurait B = C, chacune d'elles n'est pas la même fonction de l'autre. Si l'on a B =C, la relation est dite involuttve.

Dans le cas où l'on aurait BC — AD = o, qui correspond au cas où Ton aurait, avec les notations antérieures, ab' — a'b = Oj la correspondance homographique est dite impropre. Dans ce cas, l'équation d'homographie qui, lorsque A n'est pas nul, peut toujours s'écrire

4 f( Ax -h C) (A^ -i- B ) -4- AD — BC 1 = o, A

se réduit à (Ax -{-C)(A.y -\- B) =z o. Elle est vérifiée en prenant

G B x=: — — et^ quelconque, ou en prenant j' = clx quelconque,

elle ne peut être vérifiée autrement : A une valeur quelconque de j?,

autre que -j correspond la valeur unique de y^ y =^ — Â' ^ '^

(] valeur — -^ de j: correspond une valeur quelconcpie de y. A une

valeur quelconque de y, autre que r-> correspond la valeur unique

4e x^ X = — — ; à la valeur — — de ^ correspond une valeur quelconque de X. Ces résultats sont d'ailleurs conformes à ceux que l'on a obtenus en étudiant la fonction homographique , ' ., lorsque ab' — a'b est nul.

Dans le cas où l'on a à la fois AD — BC = o, A = o ; il faut que B, ou C, soit nul; l'une des variables disparaît de l'équation d'homographie, et peut être supposée quelconque, l'autre variable est déterminée.

Si Ton écarte les homographies impropres, on voit que la valeur de l'une des variables est déterminée par l'équation d'homographie quand on se donne l'autre et qu'à deux valeurs distinctes d'une variable correspondent deux valeurs distinctes de l'autre : afin d'éviter

igO CHAPITRE IV.

les exceptions résultant de la discontinuité, il est commode de dire, lorsque A n'est pas nul, que la -valeur oo de j* correspond à la va-

leur — — de ;r, que la valeur — -r-de j^ correspond à la valeur x de i*.

Les valeurs de Tune ou de l'autre des variables qui correspondent â la valeur infinie de l'autre sont égales dans le cas d'une relation involutive et seulement dans ce cas. Lorsque A est nul, les valeurs correspondantes de X, y deviennent infinies en même temps. De même, lorsque D est nul, les valeurs correspondantes de x^ y deviennent nulles en même temps.

Si la variable z est une fonction homographique de la variable/, si cette variable y est une fonction homographique de x, à chaque valeur de x correspond une valeur de y^ à celle-là une valeur de z, qui ainsi correspond à la valeur de x, La variable z est une fonction homographique de x^ car des égalités

nx ■

résulte Tégalité

ax -h b

{na -\'^a')x -^-ih -\-^h'

on n'a pas à craindre que la dernière homographie soit impropre lorsque les deux homographies proposées sont propres, puisque, alors, à deux valeurs distinctes de x correspondent deux valeurs distinctes de^, auxquelles correspondent deux valeurs distinctes de z.

On peut dire encore que deux variables sont liées homographiquement entre elles quand chacune d'elles est liée homographiquenienl à une troisième : ainsi, dans la démonstration précédente, les \ariables x et z sont liées homographiquement entre elles, parce qu'elles sont liées homographiquement ky.

Plus généralement, si chacune des variables a:,,, J7«|, ...,jrj, Jt est une fonction homographique (propre) de celle qui la suit, la première Xn est une fonction homographique (propre) de Xk. Le théorème général résulte évidemment de celui qu'on a démontré.

Un cas particulier est le suivant : si deux variables sont des fonctions homographiques de deux variables qui sont liées homograpbi-

quement, les deux premières variables sont elles-inême liées homographiquenient.

Lorsque dans Téqualion d'homographie

A xy -4-Bx-+-C/H-D = o,

on suppose x =.y^ on obtient l'équation du second degré Aar5-4-(B -+.C)x-hD = 0,

dont les racines s'appellent les éléments doubles de l'homographie.

Lorsque A est nul, il n'y a plus qu'un élément double, qui disparaît lui-même si B-|-Cest nul ainsi que A, auquel cas la différence x — y est constante. Conformément à des propriétés bien connues des équations du second et du premier degré, on dit, lorsque A est nul, qu'un des éléments doubles est infini, lorsque A et B + C sont nuls que les deux éléments doubles sont infinis.

Supposons que les racines de l'équation du second degré soient réelles et distinctes; désignons-les par a, P; soient x^ x' deux valeurs de la première variable, y,^ les valeurs correspondantes de la seconde : le rapport anharmonique des quatre nombres x^ x\ a, jâ doit être égal au rapport anharmonique des quatre nombres r, y', a, jâ: c'està-dire qu'on doit avoir

X — IX — a .y " ^ , y — *

ou encore

celle relation doit subsister en laissant x', y' constants et en faisant \arier les nombres x^ y, que l'on suppose toujours vérifier Téquation d'homographie; d'où la conclusion suivante :

Le rapport anharmonique de deux nombres correspondants et des deux éléments doubles est constant.

It)'i

EXERCICES

liL On ilttnno uno sphère, un dianiètrt^ de cette sphère et un point M sur ce \\\i\\\\^{w\ Ou luone un plan perpoiuîiriilaire au «lianiètre qui renconln' U sphère <^\n\tUU un ivjvh* i T. •. Si»ienl N' le \olume de I3 plus petite dos «loui partie^ dauN Ion^uoIIo^ la >phèiv e*l d'OompoM-e par le plan ^èca^l et \ 1»^ wdume du eAue a\aul le point M pour > »muiet et le eercle (C t pour base: "D

deuitU\do la liuùte \ei> la^|ueïle t'^vA !e rapport — quand le plan sécant tend

«^ de\enir tau;:vMU à la <i Soi\'«

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DES FRACTIONS RATIONNELLES. IqS

H en est de même, plus généralement, de Texpression (n* 65)

si Pa(-), PftC^), ..., ^i(^) désignent des polynômes en z, sans terme constant, ne contenant que des termes de degré impair, à coefficients positifs.