En supposant que les n-^p nombres

ai, ai, ..., a«, «i, «j, ..., %p soient distincts et en posant

/( a; ; = ( ar — a , ) ( a: — a t ) . . . ( x — a „ ) , <p(a:) = (ar — a, ;( J7 — «,) . . . (57 — ttp ),

montrer qu'il existe un système de polynômes ¥{x) et 4>(ar), et un seul, dont le premier soit de degré inférieur à n et le second de degré inférieur àjo, tels que Ton ait identiquement

montrer qu'on peut obtenir ces polynômes en décomposant la fraction -5 — — : — en fractions simples.

71. En regardant x, ai, a^, «i, a^ comme des variables et en posant

/(x) = (a7 — a,)(j7 — a,), <p(:r) = (a; — a,)(a7 — a,), A=(ai — a,)(ai — a,)(a,— a,)(a,— a,),

il existe des polynômes F(a?), 4>(a?), en x, ai, a,, a,, a,, du premier degré en a?, tels que Ton ait identiquement, en a?, ai, at, «i, a^,

F(a:)ç(ar)-h ^{x)f(x) = A.

Cet énoncé se généralise facilement : la démonstration générale peut se faire au moyen de l'exercice précédent et d'une identité établie au n' 68.

DBS FRACTIONa RATIONNELLES. I9Ô