i si II

pour /i = 4î la figure serait un carré, les quatre racines quatrièmes de 1 seraient i , z, — 1 , — /,

Les résultats précédents, et quelques autres, s'obtiennent encore comme il suit :

Observons d'abord que la valeur absolue d'une racine /i'*"® de l'unité étant toujours égale à 1 , il suffit de s'occuper de Targument

qui est de la forme -'• A cbaque valeur entière de A* correspond

une racine; pour que les deux racines qui correspondent à deux valeurs Ati et A 2 de A' soient égales, il faut et il suffit que la dilTérencc entre les deux arguments soit un nombre entier de fois 2 7r, c'est-

a54 CHAPITRE VI.

à-dire que la différence h* — A i soit un multiple de n ; en particulier, on ne change pas la racine dont l'argument est — -9 quand on remplace /* par le reste de sa division par n ; on obtiendra donc les arguments des racines /i**™" distinctes en remplaçant dans Texpression — ^

k par o, 1 , 2, . . ., n — i , ou par n nombres entiers consécutifs quelconques, ou encore par n valeurs entières A©, Ai, . . ., A"«« qui, divisées par /ï, donnent n restes distincts, à savoir les restes o, 1,2,..., n — I , dans un certain ordre.

Pour qu'une racine n'*"* de l'unilé soit réelle, il f'autel il suffit que

son argument soit un multiple de ir, c'est-à-dire que 2 A soit un

multiple de /i; si l'on donne à A les valeurs o, i, 2, . . ., /i — i, les seules valeurs de A' telles que 2 A* soit divisible par 11 seront A = o, et,

dans le cas où n est pair, A:= — ; à ces valeurs de k correspondent

les arguments o et 7t, auxquels correspondent les nombres i et —1; 1 est toujours une racine /i**"* de l'unité; c'est la seule racine /i^^ réelle si n est impair; si n est pair, — i est une autre racine réelle; il ne peut pas y avoir d'autres racines réelles que 1 et — 1.

Les racines n**"" imaginaires sont conjuguées deux par deux : la

racine dont l'argument est — est conjuguée de la racine dont

l'argument est ; le produit de ces deux racines est i .

101. Une racine /i'**"" de l'unité peut aussi être une racine />•*■* de l'unité; il faut et il suffit pour cela que l'argument -^ — de cette racine

puisse être mis sous la forme > h étant un nombre entier comme A;

ceci exige que l'on ait

on pourra toujours vérifier cette égalité en prenant pour /? et /i des équi-niultiples de n et de A- ; on ne pourra la vérifier autrement si /» et A* sont premiers entre eux; d'où une distinction importante entre les racines n**"®* de l'unité :

La racine cos h 1 sin est dite une racine /i'**"* primiti^'^

lorsque k est premier avec n ; elle ne peut alors élre une racine y>'*"* de Tunité que si p est un multiple de w; en particulier, elle ne peut être une racine ^'^"'« de l'unité pour/? < n,

La racine cos h /sin est une racine n'*™" non primitive

si A^ et /i ne sont pas premiers entre eux ; si l'on désigne par d le plus grand commun diviseur de A* et de /i et si l'on pose k = k' d^ n=z n' d^ on aura