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cos h i sin = cos — ; h i sin — r- >
en sorte que la racine n'*™" considérée sera aussi une racine /i"^"® de l'unité, n! étant moindre que n. Considérée comme racine /i''^"« elle est d'ailleurs primitive puisque k' est premier à n' , Par exemple, — i est une racine quatrième de l'unité, c'en est aussi une racine carrée ; ce n'est pas une racine quatrième primitive, i est une racine /i'*"® de l'unité, quel que soit /i >> i, ce n'est jamais une racine primitive.
102. Si l'on multiplie les deux racines /i'*"«* de l'unité dont les
arguments sont . , le produit aura une valeur absolue égale
à I , comme les deux facteurs, et son argument sera la somme -^
des arguments des deux facteurs, c'est une autre racine /i'*""' de l'unité.
Le produit de deux racines /i'*™" est une racine n^^^^] en particulier, le produit de deux racines conjuguées est i. Le produit d'autant de racines /i**"»«* de l'unité que Ton veut est une racine /i'*"*de l'unité.
Les puissances d'une racine /i**™° sont aussi des racines /i**™" de l'unité.
En particulier, si l'on élève à la puissance r la racine d'argu-
ment -^— > on trouvera la racine d'argument ; on obtiendra donc
toutes les racines /i'^™" de l'unité en élevant aux puissances o, i, 2, . . ., /i — i la racine d'argument — '-»
Si, plus généralement, on élève à la puissance r la racine d'argument j on trouve une racine d argument ; dans cet argument, on peut remplacer kr par le reste obtenu en divisant kr par n\.
256 CUAPITRE VI.
or, si Ton considère la suite de nombres
obtenus en remplaçant dans Ar, /• par o, i, -2, . . ., /i — i; lesi rectos
de la division de ces nombres par /?, seront dans un certain ordre
les nombres o, 1,2, ...,/i — i, en supposant que ^ soit premier à /i.
C'est-à-dire que, en supposant k premier à /i, les n valeurs
de -9 quand on donne à /• les valeurs o, i , 2, . . . , n — 1 , peu>cnl
être regardées comme les arguments des n racines de l'unité. Donc: Lorsque Ton élèxe une racine primitive /i'"'"*^ de l'unité aux puissances o, 1, 2, ..., n — I, on reproduit les n racines /i'^""* de l'unité.
Si Ton multiplie une racine /j'**"*^ de l'unité d'argument — ^ par une
racine ^'^"»« de l'unité, d'argument - — \ on obtient un nombre dont la
valeur absolue est 1 , dont l'argument est '■ — : le produit est
donc une racine (/î/7 )'''"* de l'unité.
Je me borne à énoncer les propositions suivantes, d'ailleurs aisées à démontrer : elles supposent que les nombres naturels /i, p soient premiers entre eux.
En multipliant cbacune des n racines n'^""* distinctes de 1 par chacune des p racines distinctes ^j'^'"" de 1 on obtient les np racines ( wy? )'"""• distinctes de 1.
Le produit d'une racine /*'*"** primitive par une racine/?'^"* primiii\e est une racine (/i/> )'*'"* primitive.
lin multipliant chacune des racines /i'*"*» primitives par chacune des racines/?'^™*' primitives, on trouve toutes les racines [npf*'"^ primitive?.
Le lecteur voit que la recherche des racines n''*"*' de Tunité est liée à certaines propositions d'arithmétique et à la théorie des polygones régulier*. L'étude approfondie de ce problème comporte de très beaux dé\cloppcincntJ que je laisse de côté.
EXERCICES
