Soit maintenant

/(i) = Ao^- A,5 -f- As^'-h. . .H- A,;5^S

un polynôme en 5, ordonné suivant les puissances ascendantes de :, que Ton veut étudier pour les valeurs de z voisines de o. Désignons par p la valeur absolue de :; et par ao, ai, ..., <7„ les valeurs absolues des coefficients Ao, A,, Aa, ..., A„ : La valeur absolue de /(s)

sera au plus égale au nombre ao + «i p -h . . . 4- ^«p"? aw nombre So = rto-|- «I -h. . .4- ^//, si est inférieur ou égal à 1. L'expression «oH-^ipH-««- est un polynôme en p à coefficients réels et positifs; on sait comment elle varie avec p.

Si, en particulier, les premiers termes du polynôme y(5) manquent, si ce polynôme commence par le terme \pZP^ on pourra Técrire

Supposons p inférieur ou égal à 1 , la valeur absolue du polynôme qui multiplie z" sera au plus égale à S;,= rt;,-f- rt/»+i H- . . . 4- ««; la valeur absolue du polynôme proposé sera au plus égale à S^p/»; si Ton veut qu'elle reste inférieure à un nombre positif s, arbitrairement donné, il suffira de prendre

Revenons au polynôme

f(z)= Ao-h A,^-f- A,5*4-...,

en supposant toujours qu'on ne considère que des valeurs de z voisines de o; de même que dans le cas où il ne s'agit que de variables réelles, les expressions

Ao, Ao— A,5, Ao-^- A,5-i- Ajs», ...

constituent des expressions approchées de /(:;). Considérons par exemple la dernière : la différence f{z) — ( Ao + A, :; 4- Aj:?'"^) n'est autre chose que le polynôme, commençant par un terme en 5^,

Ajc'-H Av;;*H-...H- A^s",

dont la valeur absolue, pourvu qu'on ait |5|^i, est au plus égale à Sjp', et reste inférieure à s si l'on suppose p < i/-^ • Notons encore que le polynôme f{z) pourra être mis sous la forme

f(z) ^ AoM-A,5^ \tZ^-\- Mz\ M étant un polynôme en z dont on sait que la valeur absolue, pourvu

266 CHAPITBE VII.

que la valeur absolue de z reste inférieure à un nombre positif fixe, reste elle-même inférieure à un nombre positif fixe que l'on sait calculer.

En particulier, pourvu que z soit suffisamment voisin de o, la différence entre /(5) et A© est petite en valeur absolue : le point /cl est aussi voisin qu'on le veut du point Ao, avec lequel il se confond quand z est nul, pourvu que le point z soit suffisamment voisin du point O : c'est ce qu'on exprime en disant que le polynôme /(-) esl une fonction continue de -s, pour z = o. Pourvu que p soit moindre

que -^y on a

|/(5)-Ao|<£,

et le point /(z) reste à l'intérieur d'un cercle décrit du point V^ comme centre avec un rajon égal à s. Supposons que A© ne soitpa> nul; on a pu alors choisir e < a© ; dans ces conditions le point est extérieur au cercle de rayon e décrit de A© comme centre; le point /( 3) ne peut donc venir au point O : En d'autres termes, s'il y a un terme constant dans un polynôme, ce polynôme ne peut s'annuler lorsque la valeur absolue de z reste inférieure à un nombre positif que l'on sait fixer.

Un polynôme, dont tous les coefficients ne sont pas nuls et qui s'annule pour 5 = 0, ne peut être nul pour les valeurs de z suffisamment voisines de o.

Un polynôme, dont tous les coefficients ne sont pas nuls, ne peut être nul pour toutes les valeurs de z. Deux polynômes ne peuvent prendre les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de z sans être identiques terme à terme (n° 33).

106. Je vais maintenant montrer que si un polynôme /(s) conlieni un terme constant Aq, on peut trouver des valeurs de 5, aussi voisines de o qu'on le veut, telles que, pour ces valeurs, on ait

l/(^)|<|Ao|.

Cette proposition nous sera utile un peu plus loin.

Par hypothèse, le polynôme, ordonné suivant les puissances ascendantes de Zy commence par un terme constant A©; il peut manquer ensuite plusieurs termes; je suppose que le premier terme (non nul

qui suive Aq soJl ApZP;le polynôme peut se réduire à ces deux termes et avoir la forme x\q-|- S^pZP\ s'il y a d'autres termes, on pourra dans

Fig. 35.

tous ces termes mettre zP^^ ^ au moins, en facteur et écrire le polynôme sous la forme

Z = Ao-f- A,,5/'-4-M5/'+';

je ne considérerai que des valeurs de z telles que l'on ait |w | < i ; alors la valeur absolue du polynôme M restera inférieure à un nombre positif fixe m, à la somme des valeurs absolues de ses termes, par exemple. Je continuerai de désigner par ««? ^/i? ? I^s valeurs absolues des coefficients Aq, A^ et de la variable :;. Quand z est petit en valeur absolue, les expressions

Ao, Zi= Ao-f- \pZi'

constituent des expressions approchées de Z. Lorsqu'on donne à z

une valeur numérique, la valeur absolue de la différence entre les

deux nombres Z, et Ao, la distance entre les deux points Z» et Ao

est égale à UpOP] on peut la supposer moindre que ao', il suffit de

P / — prendre pour cela o << 1/—; l'erreur commise en substituant Z» à Z,

rVsl-à-dire MzP'^*, est moindre en valeur absolue que mpP'^^; en <rautres termes, la distance entre les deux points Z, et Z est moindre que /wp/^'; on peut la supposer moindre que OpoP; il suffit de

prendre p < — ^j je supposerai p inférieur au plus petit des nombres

positifs

d'ailleurs aussi petit qu'on le voudra.

Supposons que le point z décrive, dans le sens direct, un cercle de rayon p, et dont le centre soit le point O : le point Z, décrira /i foi>. dans le sens direct, un cercle (C) dont le centre sera le point A^ d dont le rayon appP sera moindre que a», en sorte que le point sera certainement extérieur au cercle (C).

Soit K le point du cercle (C) situé entre O et A„ sur la droite qui joint ces deux points. Quand le point Z, est en K (il y passe/? fois . le point Z, dont la distance au point Z, est toujours moindre que 1** rayon de (C), se trouve alors à l'intérieur d'un cercle décrit de K comme centre avec un rayon moindre que le rayon de (C) : ce cercle, de centre K, sera donc intérieur au cercle décrit du point O comme centre avec un rayon égal à Gq', cela revient à dire c[ue le point/ est à une distance du point O moindre que Oq, ou que la valeur absolue du nombre Z est moindre que Uq^ lorsque le point z estdan> l'une des p positions pour lesquelles Z| est en K.