Résoudre par rapport k x^ y^ z les trois équations
où ^^, (p^, cp^ désignent les dérivées partielles par rapport k x^ y^ z du polynôme homogène et du second degré
ç(a7, K, z) = aj?»-f- a'y^-^- a''z*-h 2byz ■+- ib* zx -h i b'xy.
Si Ton pose
A'= aa' — 6'«, B'= bb' — a'b",
A = aa'a'^ ibb'b" - ab^— a' b'^- a" b'^,
et si l'on désigne par 4> (X, Y, Z) le polynôme en X, Y, Z
AX«-i- A'Y«-+- A'Z«-f- 2 BYZ -h aB'ZX H- 2B'XY,
oa tire des équations (i), dans le cas où A n'est pas nul,
Ax=-<t>x, A V = - <t>'Y, Ai = - <t»z.
Sous la même supposition (A difft^reni de o), montrer que, si l'on regarde X, Y, Z comme représentant les premiers membres des équation^ (i), on a identiquement
139. En conservant les notations de Texercice précédent, on a identiquement en a, a', a', 6, b\ b'
A a = A' A'— B», A ^ = B' B'— AB,
Aa'=:A'A— B». A6' = B'B — AB',
A a' = A A' — B'«, A é»' = BB' — A'B',
A«= AA'A'-i- 2BB'B'— AB«— A'B'«— A-^B'S
A = Aa -H B'6'-h B'6' = B' 6' H- A' a -4- B6 = B'6'-^ B6 -»- AV,
o = B'a -h A' 6' -H B6' = B'é»'-H A'6 -h Ba',
o = B'a -hB6'-i-A'6'=B'6'-h Ba'-HA'6.
Toutes ces identités sont contenues, comme cas particulier, dans celles qu*on a démontrées aux n*" 134 et 135.
Montrer que si a, a', a', 6, 6', b' sont des nombres réels et si A est nul, les quantités A, A', A' sont de même signe et que les égalités
A = o, A -4- A'-H A* = o entraînent
Bésoudre par rapport à a, a\ a*, 6, b\ b* les équations
A =a'a''— ^«, B =b'b''—ab,
A' = aa' — b'*, h' = bb' - a'6',
où l'on regarde A, A', A% B, B', B' comme des données.
140. En désignant par a,, a,,..., a„, 6,, 6,, ..., ô^ des nombres donné* dont les n premiers sont différents de o, on propose de trouver la solution la
éQUATI0N8 nu PREMIER DEGRÉ. 345
plus générale des n équations à n -h i inconnues iTo, X|, Xj, . . ., ar,,
(où r prend les valeurs i, 2, . . . /i).
Après avoir observé que cette solution, si 61, &«,..., ^„ étaient nuls, serait donnée par la formule
Xr= axai'^.arX^^ (r = i, 2, . . . /i),
où x^ reste arbitraire, on changera d'inconnue en posant
Xr = a^at, arXr, (r = 1, 2,.../i).
Les équations proposées prennent alors la forme
àr y, = y^^^—-. (r = l,2,.../l),
d'où Ton déduit sans peine
6| 6j br
yr = y<i-^ 1 h... H ;
la solution la plus générale des équations proposées est donnée par la formule
/ ^1 ^t br \
ar^ = aj a, . . . Or I ^0 H ' h ... h ) •
\ a\ a^a^ ata^. , ,ar/
141. Trouver toutes les valeurs de a?,^, -s, s qui vérifient les trois équations
a.r -h cy -h bz = sz^ ex -h by -\- az = sy^ bx -h ay -r- cz = sz^
où Ton suppose qu'aucun des coefficients a, 6, c n'est nul. En ajoutant ces trois équations on trouve
il faut donc que l'on ait soit 5 = a -+- 6 -h c, soit x -\-y -h -s = o. Dans le premier cas, si — ^" I "+" " '''est pas nul, on satisfait aux équations
en prenant x = y = z; si — hx-+--^st nul, on peut prendre arbitrairement
deux des inconnues a?, y^ z.
Si l'on suppose s différent de a -h 6 -4- c, les trois équations proposées équi-
valent aux équations
(a — b — s)ar-h(c — 6)^ = 0, (c — a)jr-+-(6 — a — «)j^ = o.
On peut satisfaire à ces équations en prenant s quelconque et x, y^ s nuls.» on en supposant
