Mettre les déterminants

b -hx

I sina tanga I sin6 tang6 I sine tangc

I sma cosa I sin6 cos6 1 sine cosc

sous forme d'un produit de trois facteurs s'annulant respectivement quand on suppose b = c^ r == a^ a = h.

Montrer» en s'appuyant sur Tidentité à laquelle on est conduit en considé-

rant le dernier déterminant que, si a, p, y sont trois nombres dont la somme est nulle, on a

sin a -h sin

a . . Y inB-*-sinYH~4 sm - sin -î-sui — =o.

149. La trigonométrie fournit, entre les éléments d'un triangle, les relations

a = b cosC -h c cosB, b = c cos A. -4- a cos C, c = a cos B H- 6 cos A ;

quelle relation doit-il y avoir entre A, B, C pour que les égalités précédentes, regardées comme des équations linéaires en a, 6, c, admettent une solution autre quea = o, 6 = 0, c = o?

i50. Montrer que les relations

entraînent, en désignant par À le déterminant

et par A, B, . . ., C* ses mineurs, les relations

A = Aa, A'= A a', A'= ^a\

rî'2 =

C =Ac, C'=Ac', C'= Ac',

A=dii,

bc -h b'c' -+■ b'c' = o, ca -h c'a' H- c'a" = o, a6 H- a' 6' H- a'b'= o,

inversement les six dernières relations entraînent celles qui précèdent. On peut prendre comme point de départ le fait que les trois équations

aa-f-6 b -h ce =1, a' a ~t- b' b -h c' c = o^

4l4 CHAPITRE X.

traitées comme des équations du premier degré dont les inconnues seraient a, 6, c et dont les coefficients seraient les éléments du déterminant A, entraînent les relations

aA = A, 6A = B, cA = C.

151. D'un tableau rectangulaire de np éléments rangés dans p lignes et n colonnes, combien peut-on tirer de déterminants d'ordre r. en désignant par r un nombre au plus égal au plus petit des nombres n^ p?