Quelle relation y a-t-il entre les polynômes

a 6 A \c / a b yL\c /

où a, 6, c, X, }x sont des constantes différentes de o?

Au lieu d'appliquer la méthode développée dans le n** 153, il est plus commode ici d'employer le procédé suivant qu'on généralisera sans peine; on regardera les égalités précédentes comme des équations en x, ^, z et X, Y, Z, T comme des quantités connues; on résoudra trois de ces équations par rapport è x^ y^ z et l'on portera les valeurs trouvées dans la quatrième. Les calculs qui suivent équivalent à ceux qu'on vient de dire.

!-i='*xa-)=^-;(i-)'

(X — fx) — hX — Zh-X-+-ji = o,

(jx — X)--HXfx(Y — T) — X-îi = o, X — Z-HXfx(Y-T) = o.

Résoudre la même question en cherchant cinq nombres a, p, y, o, s tels que l'on ait identiquement, en x, ^, s,

aX -H pY -h yZ -^ ôT -h e = o.

153. Soient Xi, Xj, ..., X^ des formes linéaires en Xi, x^^ ..., Xn» Si l'on connaît, d'une part, la solution la plus générale des équations X| = o, Xj=o, ..., X;,= o et, d'autre part, une solution particulière des équations X| = ai, Xj=a2, ..., X;,= a^, où «1, «21 •••<» »^ sont des nombres donnés, comment pourra-t-on en déduire la solution la plus générale des dernières équations?

DÉTERMINANTS. il5

i54. Si les polynômes Xi, Xj, ..., X^, du premier degré en iCi, x^, ..., X;,, sont de rang r, il ne peut exister plus de /> — r polynômes du premier degré en X|, Xj, . . ., X^, indépendants quand on regarde ces dernières lettres comme figurant des variables, qui s'annulent identiquement quand on remplace Xi, Xj, . . ., Xp par leurs expressions explicites en arj, Xj, . . ., x„.

155. Si X|, Xj, ..., X^ désignent des polynômes du premier degré en x^^ Xj, ..., a7„ et s'il existe q polynômes (et non davantage) du premier degré en Xi, X], ..., Xp, indépendants quand on regarde ces lettres comme figurant des variables, qui s'annulent identiquement lorsqu'on remplace Xi, Xj, . . ., Xp par leurs expressions explicites en Xi, rr», ..., x^ les p polynômes Xj, Xj, . . . , Xp sont de rang p — q.

i56. Si les polynômes Xj, Xj, . . ., Xp, du premier degré en ari, a?j, . . ., ar^, sont de rang r et si l'on peut les exprimer tous au moyen de r polynômes \\y X',, . .., XJ. du premier degré en Xi, ^Tj, ..., Xn par des formules telles que

Xi = a/,! X'i H- a/,, X; -h ... -H a/,,. XV -H ai,r+i ( t = i , -2, . .,/)),

où a/,i, a/,j, .. . sont des coefficients constants, les polynômes X',, Xj, . . ., XJ. sont indépendants.