Trouver tous les polynômes de la forme

4l8 CHÀPITAB X.

OU de la forme

axy -h hx -h cy -^ d

qui s'annulent quand on remplace x, y par a^t, y\ ou par ar,, y^ ou par Tj, /,.

164. Dans un déterminant d'ordre /i, dont les lignes et les colonDcs sont numérotées i, a, . . ., /i, on considère le terme dont les facteurs appartienoeni aux cases

(«i, Pi), («î, Pi) (»/.,?/»),

(»/>-Hi P/H-l)î («/>^Jl Pi»-Hî)î •-.? (««1 P/l).

11 résulte de la proposition énoncée dans l'exercice 127 que le coefGcient de ce terme est une puissance de — i dont l'exposant est

A -+- B -4- A' -+- B'-h «i H- Œj H- . . . -f- a^ -h pi H- p, H- . . . -h p^,

en désignant par A, B, A', B' les nombres d'inversion contenus dans les arrangements

(ai, a„...,a^), (P„ pj, . . ., p^),

(«/>-t-i» «A'-^Jî • • -^ a/i)î (Pp-t-i7 P/M-îî . ..1 P«)-

Montrer que la somme de tous les termes du déterminant dont /> facteurs appartiennent à des cases qui se trouvent à la fois dans quelqu'une des lignes numérotées «i, aj, ..., a^,, et dans quelqu'une des colonnes numérotées ^, P„ ..., p,, est égale à

en désignant par P le déterminant qui se déduit du déterminant proposé en supprimant les lignes numérotées a^-j-i, a^-^j, . . ., «n et les colonnes numérotées p/»-Hi, P/M-Î1 • • «î P/iî et par P' le déterminant qui se déduit du proposé en supprimant les lignes numérotées oti^as, . . ., s^ et les colonnes numérotées Si.

165. Soit A un déterminant d'ordre /i, dont les lignes et les colonnes sont numérotées 1,2,..., /i. Supposons qu'on ait rangé sur une même ligne toutes les V = Cj combinaisons des n nombres 1, 2,. . ., n pris p ^ p^ Chacune de ces combinaisons se trouve ainsi avoir un numéro d'ordre. Considérons la a'"* ei la P'^* de ces combinaisons; soient respectivement a et 6 les sommes de ceux des nombres i, 2, . . .., ft qui entrent dans ces dernières combinaisons. Soit«ix.^ le déterminant déduit de A en supprimant toutes les lignes dont les numéros ne figurent pas dans la a'^*"' combinaison et toutes les colonnes dont les numéros ne figurent pas dans la p*''"* combinaison. Soit c-l>a,p le produit par(— i)^"^ du déterminant déduit de A en supprimant au contraire toutes les lignes dont les numéros figurent dans la a'''*"' combinaison et toutes les colonnes dont les numéros figurent dans la p'*^"** combinaison.

On a

en désignant par e un nombre égal à o si a est diiTérent de ^, à i si a = ^. Écrire explicitement ces relations, dans le cas où l'on a /i = 4? /> = ^.

166. On considère deux tableaux (A) et (B) comprenant p lignes et n colonnes, numérotées au moyen des nombres i , 2, . . . , />, d'une part, i , 2, . . . , n de Tautre. Soient, en général, a,.,, et br,s les éléments de ces tableaux qui appartiennent à la r''""* ligne et à la 5'""* colonne, et soit, en désignant par a, p deux des nombres i, 2, . . . , />

Ca.8 = «a,t^P.i^~^a,2^?.J^~ • • • -^- «a,/t ^p,«-

Soit C le déterminant du jo'*"* ordre dans lequel Ca^j est l'élément qui appartient à la a''"* ligne et à la P'*™* colonne. Il résulte du n® i62 que, si l'on a n = p, \e déterminant C est le produit des déterminants A, B que définissent les tableaux (A), (B).

Montrer que G est nul, si l'on a /i </>.

Dans le cas où n est plus grand que />, imaginons que toutes les v = C^ combinaisons des n nombres i, 2, . . ., /i pris p k p soient rangées sur une même ligne et affectées ainsi chacune d'un numéro d'ordre. Désignons en général par Ar, Br les déterminants du /?'*"• ordre qui se déduisent respectivement des tableaux (A), (B) en ne conservant que les colonnes dont les numéros figurent dans la r'*™* combinaison, on a

C = AiB,-+- A,BjH-...-4- AvBy.