i — 3) (ai — 2)(/i — i)AiA«a
La dérivée p**"« {p <C n) du polynôme /(^), définie de la même
POLYNOMES. 101
façon, de proche en proche, serait
-f-2.3.4...(/>-4-i)Ap+ia:-F 3..1.5. • (/? -h i)\p+iX^-h. , . -h(n—p -4-i)(n— -/?-4-2). ..(/i — i)nXnOP"-P]
c'est un polynôme de degré n — p; ses termes proviennent des monômes de/(x) dont le degré est au moins égal kp. La dérivée (n — iy*™« est du premier degré; elle est
y(«-i)(>p) = 1 .2.3. . . (ai — i)A,i i-t- 2.3.4. . >nknx.
La dérivée n**™* de/{x) est, toujours d'après la même règle,
elle ne contient plus x, sa dérivée, ainsi que les dérivées suivantes du poljnome f{x)^ si l'on voulait les considérer, devraient être regardées comme nulles; un polynôme du n'*"* degré n'a que n dérivées (non identiquement nulles) ; par exemple si Ton prend
les dérivées successives seront
f\x) =— 5-h2ixî— 5ir*-t-48a:«,
/'{x) =z ^'IX 20373+- 240^7*,
f'"{x) = 42 — 6037» 4- gGoar', /■"(a7)=— 12037 + 288037*, f^(x) = — 1204-576037, /''(3r)=576o.
Dans le polynôme /(^), le premier coefficient est Ao, de même dans les polynômes f {x), f"{x)^ . . ., f^P^x)^ . . ., f^'^^{x) ordonnés suivant les puissances ascendantes de ^,les premiers coefficients, ou les valeurs de ces polynômes, pour ^ = o, sont les coefficients Ai, A2, ..., A;,, ..., Art, du polynôme /(-p), respectivement multipliés parles facteurs numériques 1, 1.2, ..., 1.2.../?, ..., 1.2.../?; en d'autres termes, on a
lors donc que Ton connaît les valeurs, pour x = o, d'un polynôme et de ses dérivées, on connaît, par cela même, les coefficients de ce polynôme.
42. Cette remarque, et celle qu'on a faite plus haut, relativement à la dérivée du polynôme /(a + .r ), dérivée qui s'obtient en remplaçant X par a-\- Xy dans la dérivée f\x) du polynôme /(x), va nous permettre de résoudre immédiatement la question posée au n° 3o :
Etant donnés un polynôme
f{x) = Ao-h Ai37H-...-f- A«ar«,
et un nombre a, trouver les coefficients Bq, B,, ..., B„ du polynôme
obtenu en remplaçant, dans le polynôme f{x)^ x par a -{- x et en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x.
Ces coefficients sont hes valeurs pour x = o An polynôme /(a 4-^) et de ses dérivées ; on a vu au n" 40 que la dérivée /'{a -f- x) de ce polynôme s'obtenait en remplaçant x par a -\- x dans la dérivée f[x) àef{x)] la dérivée ief^a-^x) s'obtiendra de même en remplaçant X par a-\- X dans la dérivée /^'(x) de f'{x)^
Les dérivées successives du polynôme /(a-^x) sont f'{a-^x)^ f"{a-\- x)^ , , ,^f^"\a-^ x)] leurs valeurs, pour x = o, sont les valeurs /'(fl), /''(a), . . .,/^"^(^) q^c prennent les dérivées successives f{x)^f'{x)^ ..,,f^{x)à\i polynôme /(a:) quand on y remplace x par a, on a donc
et, par suite,
POLYNOMES. I03
Dans celte formule, les lettres a et x désignent des nombres quelconques. Elle restera vraie si l'on remplace les lettres par d'autres; en particulier, si l'on remplace a par x et x par à elle s'écrit alors
Si l'on reprend les notations du n" 40, on voit que les polynômes Po(jc), P|(a:), ..., P/;(^), ..., P//(^) de la formule (i) de ce numéro ne sont autre chose que les polynômes
On voit apparaître en dénominateur, dans ces expressions, les produits tels que 1.2.../? des p premiers nombres naturels : ces produits figurent dans beaucoup de formules, et il est commode d'avoir une manière abrégée de les énoncer et de les écrire : une des habitudes les plus répandues consiste à Sippeler facto rie lie p le produit i.2.../> desp premiers nombres naturels et de le désigner par la notation/?!. Par convention, le symbole i ! désigne la même chose que i ; enfin, par une autre convention, qui ne sera justifiée que plus loin, on pose aussi o ! = I .
Voici, à titre d'exemple, une application de la formule précédente : On a donné plus haut les expressions des six dérivées du polynôme
/(x) = 4 — 5a?-t- yx^— x^-h Sar^;
les valeurs, pour a7 = i, de ce polynôme et de ses dérivées, respectivement divisées par i î, 2!, . . ., 6!, sont i3, 59, i3i , 187, 92, 8 : on a donc
4 — 5(i-h-r)-F 7(i-f-J?)'— (n-x)5-h 8(1 4-:r)6 = i3 -h 5937-1- i3ia:*-H 1 ^y x^ -^ ^ix^ -h ^yx'^-h Sa?*;
ainsi qu'on pourrait d'ailleurs le trouver par un calcul direct ne comportant que des additions ou des multiplications de polynômes : ce dernier mode de calcul permet de prévoir que les coefficients du résultat sont des nombres entiers.
43. Formule du binôme. — On peut appliquer la formule qui donne le développement de /(a -h x) au développement de (a-^x)";
le polynôme y(^) est alors le monôme x", dont les dérivées successives sont
nx«-*, n(n — i)^«-*, ..., n(n — i). . .(n —p -hi)x'*-Pj n(n — i)...i
et l'on a, par conséquent, en vertu de la formule (i) du numéro précédent,
H ^ a'^-PxP -h ... H ar».
Cette formule est connue sous l'appellation, un peu impropre, de formule du binôme. Je vais m'y arrêter un instant, en raison de son importance.
Il me sera commode d'y regarder les lettres a et x comme y désignant des variables ; à ce point de vue, a-{- x^ (a -{- .r )" sont des polynômes à deux variables; a -^^ x est un polynôme homogène du premier degré ; le produit de deux ou plusieurs polynômes homogènes étant évidemment un polynôme homogène dont le degré est la somme des degrés des facteurs, on peut prévoir que le développement do {a-\- xY sera un polynôme homogène du degré /?, qui ne pourra pa> contenir d'autres monômes que les monômes du degré n
multipliés par certains coefficients numériques; ces monômes, d'après la formule (i), figurent tous dans le développement; il yen a /i + I ; chacun d'eux contient autant de facteurs x qu'il y a de termes avant lui, autant de facteurs a qu'il y a de termes après lui.
Les coefficients numériques doivent être évidemment entiers, puisque {a + xY est le produit de n facteurs égaux à a -^ x. Dans le second membre de la formule (i), le coefficient de a^'PxP^ à
savoir
n{n — \). . An — /?-4-i) 1 . -2 . . .y?
est le quotient par le produit des p premiers nombres naturels du
POLYNOMES. lo5
produit de/? nombres naturels consécutifs dont le plus grand est n et le plus petit n — p + i, d'où ce théorème d'Arithmétique :
Le produit de p nombres naturels consécutifs est divisible par le produit des/? premiers nombres naturels.
Les coefficients numériques des monômes qui figurent dans le second membre de l'égalité (i) sont respectivement
ils se retrouvent dans un assea grand nombre de formules et on les désigne souvent par les symboles
CJ désignant (*), en général, le coefficient du monôme a'*~PxP^ ou le (/> H- ly*"» coefficient numérique, celui qui en a /? avant lui. Il est à peine utile de dire que la lettre n qui figure en haut dans le symbole ai n'est pas un exposant, mais un indice, destiné à rappeler la puissance à laquelle on élève le binôme a + .r. On a C2=C"= i. Avec cette notation l'identité (i) s'écrit
(a4-x)«= Cya«-i-Cïa«-iar-f-...-t- C^a^-z'x/'-t-. . .-h C"^'*;
en y échangeant les lettres a et x^ elle devient
{x -+- a)« = CJj7«-4- G7ar'*-»a -h. . .-f- G^ar«-/'a/'-+-. . .-r- C;[a«;
les deux premiers membres sont identiques ; il doit en être de même des seconds, qui doivent donc être les mêmes, terme par terme ; on en conclut C'J= Q, Cî= Q,, C«= C^^^, . . ., et, d'une façon générale, C^= C2^; cette dernière égalité, en recourant à la définition des symboles qui y figurent, s'écrit
n(n — t)...(/i — /?-f-i) ri(n — i). . .(/? h- i)^
(') On emploie aussi, avec le môme sens, les notations {n )^ ( )•
Io6 CHAPITRE 11.
elle devient évidente, en réduisant les. deux membres au même dénominateur; C^ et Qî^ se présentent alors sous la forme
(2; i.^i.„^^ i,i...p><i,i,.,{n-p) " pl{n-p)\
Cette formule s'applique même dans le cas où p est égal à o ou à /î, si Ton convient de poser o ! = i .
La forme primitive de G^, savoir
n(n — i)...(/i — jo-i-i) n(n — r)...(7i— ^-4-2) n — p -h i 1,1. ,.p "" 1.2. ..(/> — !) p
montre que l'on a
(3) C« = C«.fLll^;
d'où un moyen simple pour le calcul des coefficients numériques : le premier est i , le deuxième est /?, le troisième s'obtient en multipliant n par > le suivant en multipliant le résultat par — - — > le
suivant en multipliant le résultat par — ; — ? • • •; par exemple, si l'on
prend /i = 10, les deux premiers coefficients sont i, 10, les suivants s'obtiennent en multipliant successivement par |, j, {, |, |, y, |» f, -n;; ils sont 45, 120, 210, 262, 210, 120, 45, 10, I : on a donc
(a -h xy^= a*o-f- loa^x -h 45a* 37*4- iioa'^x^-h 'iioa^x^-h ^5ia^x* 4- 2ioa^a7« 4- I20a'a77-h i^a^x^-^ ioaa?'-4- ar*o.
On vérifie, sur cet exemple, ce fait que les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux, en sorte qu'il suffit pour les avoir tous d'en calculer la moitié.
C.^ est plus grand que le coefficient précédent, égal à ce coefficient
P plus petit que i, ou suivant que Ton a
ou plus petit, suivant que est plus grand que i, égal à i,
On doit distinguer deux cas, suivant que n est pair ou impair.
SI n est pair, il y a un nombre impair de termes dans le dévelop-
POLYNOMES. 107
pemenl : il y a donc un terme au milieu, qui en a - avant lui, - après
lui. Tant que p est inférieur ou égal à -> le coefficient du terme qui
en a/? avant lui est plus grand que le coefficient précédent; les coefficients vont en augmentant jusqu'au coefficient du terme du milieu, qui est le plus grand'; ils diminuent ensuite, en reprenant les mêmes valeurs, en ordre inverse; c'est ce qu'on observe dans les développements
Si n est impair, il y a un nombre pair de termes dans le développement, il y a deux termes au milieu dont l'un a termes
avant lui, dont l'autre a termes après lui. Jusqu'au premier de
CCS termes, les coefficients vont en augmentant; le second est égal au
premier, puisqu'il y a précisément termes avant ce premier,
puis les coefficients suivants vont en diminuant, c'est ce qu'on observe sur les développements
(a -h x)^= a' -4- 3 a* 37 -+- 3aa7«-f- ar».
(a -f-a7)5= a5-+- iya^x -h loa^ x^ -h 10 a^ x^ -h 5«a?*-i-a?5.
Si l'on multiplie par a -]- x les* deux membres de la formule
(a-f-ar)'»= C'^a^-^- G? a"-*a: -h. . .-f- Gja«--Pa7/'-H. . .-h C,'ia7«,
on trouve
(a + a7)«+»= Cîa«+»-f-(G'»-+-GS)a«a7-f-...4-(G«-+-G«,)rt«-/'+ij7/'-+-...;
comme on doit avoir d'ailleurs
(a -f- x)"-*-^ = Gg+ * a«+i -h C1^ ' «« 37 h- . . . -+- G^+» ««-a»-»-! a-ZM- . . . ; on voit qu'on a, en général, pour/? = 1, 2, . . ., /?, U) G;+» = GJ-f-G{;i;
formule qui donne une règle simple pour déduire le développement
de (a -i- a?)""*"* du développement de (a-h^)", et pour obtenir les coefficients numériques dans les puissances successives du binôme, lesquels figurent dans les lignes du triangle de Pascal :
lO
A partir de la seconde ligne, chaque élément, autre que le premier et le dernier, toujours égaux à i , est la somme de deux éléments consécutifs de la ligne supérieure, à savoir l'élément qui est placé sur l.i même verticale, et celui qui précède cet élément.
Si, dans la formule (i), on fait successivement a = i, :r = i, puis a = i , x=z — I , on trouve
o = CJ - Cî-^ C3-f-. . .+ (- \)pC''p-^, ..-+-(- O^C»,
la somme des coefficients est égale à 2" ; la somme des coefficients de rang pair est égale à la somme des coefficients de rang impair; chacune de ces sommes est égale à la moitié de la somme totale, c'eslà-dire à 2"~*.
§ 6. - POLYNOMES A PLUSIEURS VARIABLES.
44. En ce qui concerne la continuité, la méthode suivie pour les polynômes à une variable s'étend sans peine aux polynômes à plusieurs variables; c'est ce que je vais expliquer sommairement dans le cas de deux variables.
Supposons qu'un polynôme à deux variables /(^, j^) soit ordonné de la façon suivante : on écrit d'abord le terme constant, s'il y en a un, puis, s'il y en a, les termes du premier degré en x^ y, puis les termes du second degré, puis les termes du troisième degré, etc. Quant aux termes d'un même degré, qui forment un groupe homogène, on pourra, pour y mettre de l'ordre, les ordonner par rapport aux puissances ascendantes de l'une des variables, aux puissances
POLYNOMES. 109
descendantes de l'autre variable : J'écris ci-dessous un poljnome du cinquième degré ordonné de cette manière,
3 4- ix—y-^x^ — y^-^-x^-^ x^y — a?«-+-^7* — y^\
les groupes homogènes dont j'ai parlé plus haut, et qui sont respectivement des degrés o, i, 2, 3, 5, sont
3, ix — y, x^ — y^j x^ -^ x*y, — x^-\-xy^ — y^ :
les termes du quatrième degré font défaut.
Si Ton ne considère que des nombres j:, y dont les valeurs absolues soient, au plus, égales à i , la valeur absolue du polynôme est, au plus, égale à la somme de ses coefficients, pris en valeur absolue.
Un polynôme homogène en x, jk? de degré/?, dans lequel J7, y sont moindres en valeur absolue qu'un nombre positif a, est plus petit en valeur absolue que la somme de ses coefficients multipliée par olP.
Par exemple, dans le polynôme en x, y précédemment écrit, si les ^a^iables x, y sont plus petites en valeur absolue que le nombre positif a, les groupes du premier, du second, du troisième, du cinquième degré ont des valeurs qui restent respectivement moindres que 3a, 2a-, 2a', 3 a*.
Le lecteur doit se rendre compte que, d'une façon générale, si les variables sont suffisamment petites en valeur absolue, le groupe des termes du premier degré est plus petit que le groupe des termes du second degré, celui-ci que le groupe du troisième degré, etc. Toutefois, il n'en est pas toujours ainsi : si l'on suppose, dans l'exemple précédent, que x soit égal à y, l'ensemble des termes du second degré sera nul et aura ainsi une valeur absolue moindre que celle des termes du premier degré, si petits que soient x et y en valeur absolue. Il y a là une difl'érence essentielle avec les polynômes à une variable.
Un polynôme en x, y est nul pour x = o^ y=^o lorsqu'il ne contient pas de terme constant, il n'est nul que dans ce cas.
Quand un polynôme /(Xj y) ne contient pas de terme constant, sa valeur reste aussi voisine de o que l'on veut, pourvu que x^ y restent suffisamment voisins de o.
Par exemple, si x, y sont assujettis a être moindres en valeur absolue que r^, le polynôme
aa: — y -hx* — y^-h x^-^x^y — x^-\-xy^ — y^
no CHAPITRE 11.
est moindre en valeur absolue que
et, par conséquent, si l'on suppose ri<C i, moindre que lor, ; si l'on veut que le polynôme reste plus petit que e, il suffira de prendre rj< —
Pour des valeurs de x, y voisines de o, un polynôme en x, y reste voisin de la valeur qu'il prend pour x = o, y =zOj à savoir de la valeur (nulle ou non) de son terme constant. D'une façon précise, quelque petit que soit le nombre positif e, on peut assigner un nombre positif 7j tel que les conditions | j? | << vi, | J" | <C t^j entraînent Tinégalilé I /(x, y) — /(o, o) I < 6. Dans cette inégalité, /(o, o) désigne la valeur que prend le polynôme pour x = o^ y = o, La proposition est évidente puisque le polynôme /(^, y) — /(o, o) ne contient pas de terme constant.
C'est ce que l'on exprime en disant qu'un polynôme est une fonction continue de x^ y pour :c = o, j^ = o.
Quand le terme constant n'est pas nul, on peut assigner un nombre positif a, tel que si x, y sont moindres en valeur absolue que a, le polynôme ne soit pas nul et soit du signe de son terme constant.
Si maintenant on veut étndier un polynôme /(^yy) pour les valeurs de x^y respectivement voisines des nombres a, 6, on posera
or = a -h ht y = b -\- kt
et l'on transformera le polynôme en un polynôme à deux variables A, /-, qui ne devront prendre que des valeurs voisines de o. Le terme constant du nouveau polynôme sera la valeur qu'il doit |>rendre pour A = o, A' = o, c'est-à-dire /(a, b).
Un polynôme fi^oc^y) est une fonction continue de x, y pour X •=' a^ y ■='b. Voici, au juste, ce qu'il faut entendre par là ; quelque petit que soit le nombre positif e, on peut lui faire correspondre un nombre positif t; tel que les conditions
entraînent l'inégalité
\nx,y)^f^a,h)\<z.
POLYNOMES. 1 r 1
4S. Un polynôme à plusieurs variables, par exemple un polynôme fi^^yj^) ^ trois \ariables ^, y^ z, donne naissance à des dérivées partie lies, prises par rapport à ces diverses variables. On peut, si l'on veut, l'ordonner par rapport à x, le considérer comme un polynôme en X, et prendre sa dérivée, par rapport à x, d'après la règle du n® 35. On pourra l'ordonner par rapport à y^ le regarder comme un polynôme dont la variable s'a-ppellerait y et appliquer la même règle, pour obtenir la dérivée par rapport à y. De même, pour la dérivée
partielle par rapport à 5, Au reste, il n'est nullement nécessaire
d'ordonner, comme je viens de le dire, le polynôme successi\ement par rapport à chacune des variables, puisque, en vertu d'une remarque antérieure, on peut appliquer la règle relative à la formation de la dérivée d'un polynôme à une variable sans avoir réduit ce polynôme.
Le polynôme proposé, s'il a trois variables, sera formé d'une somme de monômes dont chacun sera de la forme \x^y?zy, ol^ P, y étant des nombres entiers, positifs ou nuls : ce terme fournira dans les dérivées partielles, prises respectivement par rapport à x,j) , -s, des termes qui seront respectivement égaux à
pour avoir Tune des dérivées partielles, la déri\ée par rapport à x, par exemple, on fera la somme de tous les termes analogues à (i\.x^~*y?z^^ déduits de chaque monôme.
11 est à peine utile d'observer que si a était nul, si la variable x ne figurait pas effectivement dans le monôme considéré, celui-ci n'introduirait aucun terme dans la dérivée partielle prise par rapport a x.
Les dérivées prises par rapport k x, y^ z du polynôme /{x, y^ z) dont on vient d'expliquer la formation se désignent respectivement
Si l'on a, par exemple,
fi^i^i^) = 3 -h 2x-^y -hx* — z^-^ 3j'*-3, on aura
Les dérivées du monôme Ax^y^zf^ qui est du degré a + p -t- y, sont évidemment du degré a + ^ -H y — i , si aucun des exposants a, ,S, y n'est nul; si quelqu'un dçs exposants est nul, une des dérivées
partielles est identiquement nulle; on déduit de là facilement que, si un polynôme est de degré n, ses dérivées partielles sont au plus de degré n — i .
La définition des dérivées partielles d'un polynôme à plusieurs variables peut être rattachée à la définition de la dérivée d'un polynôme à une seule variable.
Je continue de raisonner sur un polynôme fi^x^y^z) à trois variables x^ y^ z. Je suppose que, dans ce polynôme, on remplace x, X, z respectivement par x -\- h^ y + f^i 5 + /; on peut développer chaque terme, et réduire ensuite le polynôme comme si a?, yj z étaient les constantes et A, A", / les variables; c'est-à-dire qu'on réunit ensemble les termes qui contiennent un même monôme en A, X:, 1 : on parvient ainsi à une identité de la forme
(0 /(^-H/t,r-^^, z^l)=z N-+.PAH-QX--f-R/-h...,
où N, P, Q, R, ... sont des polynômes en x^ y^ z qui ne contiennent pas A, A', /; les termes non écrits contiendraient des monômes en A, A', /qui seraient du deuxième, du troisième, . . . degré. Cette identité, devant avoir lieu quels que soient A, /:, /, a lieu pour A = o. À" = o, / = o, ce qui montre que N n'est autre chose que le polynôme f{x^y^z) lui-même; elle doit avoir lieu, quel que soit A, quand on suppose A* = o, Z = o; il en résulte que P est le coefficient de A, dans le développement, ordonné suivant les puissances croissantes de A, du polynôme y(a: + A, j', z) obtenu en remplaçant x par x -\- A, dans le polynôme f{,x^y^z) : P est donc, par définition, la dérivée partielle dn polynôme /{^^ y, z) prise par rapport à jc; de même Q et R sont les dérivées partielles du même polynôme prises par rapport à y et k z.
Ainsi les dérivées partielles d'un polynôme /{x^y^z) sont les coefficients respectifs des termes du premier degré en A, A*, / dans le développement du polynôme en A, A', / obtenu en remplaçant dans /(.r, y, z) x, y, z par x -\- h, y-\- k, z -h L
Si l'on désigne par a, 6, c des nombres quelconques, et si l'on remplace, dans l'identité (î), x^y^ z respectivement par a -f- a:, b-\-y^ c -\- z^ on voit apparaître immédiatement la proposition suivante :
Les dérivées partielles du polynôme /(a-|-x, b-^y, c -^ z) par rapport à x^ y, z s'obtiennent en remplaçant dans les dérivées par-
POLYNOMES. Il3
lielles fj:j fy, /i du polynôme /(x, y^ z) x, y, 5 para + :r, 6 +y,
46. Les dérivées partielles f'j^^fyt f'^ du polynôme /(^, y^z) sont dites du premier ordre\ /j, /j, /^ sont des polynômes en x^ y^ z, admettant eux-mêmes des dérivées partielles par rapport à a?, y, 5 : ces dérivées partielles sont dites les dérivées partielles du second ordre de/(x,y, z) : elles engendreront à leur tour des dérivées partielles du troisième ordre, etc.
Si le polynôme /(x, y^ z) est du degré /i, ses dérivées partielles du premier ordre sont au plus de degré n — i , ses dérivées partielles du second ordre sont au plus du degré n — 2, . . ,; ses dérivées partielles du (n — iy*™« ordre sont au plus du premier degré; quelques-unes de ces dérivées peuvent d'ailleurs être des constantes ou être identiquement nulles ; en tous cas les dérivées partielles du /i'^"« ordre sont certainement des constantes, dont quelques-unes peuvent être nulles; les dérivées partielles d'ordre n -+- 1 sont identiquement nulles ainsi que toutes celles d'ordre supérieur à //.
I^ dérivée partielle /^^ du premier ordre, admet trois dérivées partielles prises respectivement par rapport k x, y, z; on les désigne respectivement par
Jxxi Jxyi fxz'
Les dérivées partielles de f^j prises respectivement par rapport à x, jj z se désigneront de même par
fyxi fyyi Jyz-t
les dérivées partielles de/j par rapporta ^, y^ z se désigneront enfin par
Six. fiy. n^
Il semble donc qu'un polynôme à trois variables admette neuf dérivées partielles du deuxième ordre, vingt-sept du troisième, etc. Toutefois, tous les polynômes que l'on obtient ainsi ne sont pas distincts : par exemple, les deux polynômes /^^ et /^^ sont identiques.
En d'autres termes, on peut, dans une dérivée seconde, intervertir l'ordre dans lequel on prend les dérivées.
Comme la dérivée d'un polynôme s'obtient en faisant la somme des T. 8
Il4 CHAPITRE II.
dérivées de ses termes, il suffit évidemment de constater la vérité de la proposition énoncée sur un terme A^r^^P^T du polynôme ou, si Ton veut, sur un polynôme réduit à ce terme.
La dérivée partielle prise par rapport à x est aAa?*~*^?.3T; la dérivée partielle de ce résultat, par rapport à y, est a^A57*~*^'P~*-3T; on serait arrivé évidemment au même résultat en prenant d'abord la dérivée partielle par rapport à jk? et la dérivée partielle du résultat par rapport à a?. On a donc/;^=/;^,/;^=/;^, ....
Il n'y a, pour un polynôme en x^ y^ 5, que six dérivées partielles du second ordre, que l'on peut désigner par
yx«» Jy^t Jz*i Jyzt Jzx^ Jxyi
en donnant respectivement à/^,, /^,, /J, le même sens qu'ày^^j^., /^^, /T;. Si l'on considère, par exemple, le polynôme homogène du second degré à trois variables x, y^ z,
o(x, y, z) = aa:*-+- a y^-h a' 5' -h ibyz ■+- -ib' zx -\- ^b'sry,
on aura
«&i,= '2{ax -hby-^b'z),
o'y = 2(6'j7-+- a'^-h bz)j cpl = i{b'x -+- by -h a* -s),
o;. = 26, <Pcx = a b\ ^"^y = 2 b".
Une dérivée partielle p^^'^^ du polynôme /{x^ y^ ^) sera définie quand on dira par rapport à quelles variables on doit successivement prendre chacune des dérivées : pour que l'on ait affaire à une dérivée z?*^"*^, il faut que l'on prenne p dérivées; mais peu importe l'ordre dans lequel se prennent ces dérivées, pourvu que l'on prenne toujours le nombre indiqué de fois la dérivée par rapport à x, par rapport à y^ etc. Le théorème relatif à la possibilité d'intervertir l'ordre de deux dérivées s'étend en effet absolument comme le théorème relatif à l'interversion des facteurs dans un produit. La démonstration comporte les étapes suivantes :
Dans une dérivée partielle quelconque, on peut intervertir l'ordre dans lequel on prend les deux premières dérivées, Tordre dans lequel on prend les deux dernières, l'ordre dans lequel on prend deux déri-
POLYNOMES. Il3
vées consécutives quelconques, Tordre dans lequel on prend les di- \ erses dérivées.
De celte proposition résulte la notation pour désigner une dérivée ^'*™*^ ; on la représentera par un symbole tel que
OÙ a, ^, Y sont des entiers positifs ou nuls dont la somme est/?; supposons d'abord qu'aucun des nombres a, p, v ne soit nul. On devra partir de/{Xjy, z)^ prendre la dérivée par rapport à x, la dérivée du résultat par rapport ù x, etc., et ainsi de suite a fois. On forme ainsi successivement les polynômes
XI y a«ï Jjc*^ • • • » yjc* i
on part du dernier, on en prend la dérivée par rapport à y, la déri- \ée du résultat par rapport à y^ etc., et ainsi de suite P de fois; on forme ainsi les polynômes
on prend ensuite les dérivées par rapport à 5, et l'on forme les polynômes
dont le dernier est celui que l'on cherche.
Si a était nul, le symbole /j.«^,p,T7 o\x l'on devrait alors avoir ^ -+- y = /?, aurait, par définition, le même sens que XpsTî etc.
47. Cherchons la valeur, pour a: = o, jk = o, 3 = 0, de la dérivée />'*■" d'un monôme Aa?*^P-3Y, où a, p, Y sont des nombres entiers positifs ou nuls; il est clair que, si l'on doit prendre la dérivée par rapport à x plus de a fois, ou la dérivée par rapport à y plus de pfois, etc., le résultat sera identiquement nul; si l'on doit prendre la dérivée par rapport à x moins de a fois, il restera dans le résultat un ou plusieurs facteurs x\ ce résultat sera donc nul pour j? = o.
Si donc aucun des nombres a, P, y n'est égal à o, la seule dérivée du monôme \x^y^z"( qui ne soit pas nulle pour a; = o, j^ = 0,^=0 s'obtient en prenant a fois la dérivée par rapport à a:, p fois la déri-
Il6 CHAPITRE II.
vée par rapport à j^, y fols par rapport à 5 ; sa valeur est
si a était nul sans que ,3, y le fussent, la dérivée devrait être prise P fois par rapport à j^, y fois par rapport à z; elle serait
P(P — i)...ixy(y-i)...ix A.
On peut la représenter dans tous les cas, avec les conventions expliquées au n** 43 par le symbole a! p! y! A.
Un polynôme réduit /(x, jKi ^) est la somme de monômes tels que Ax^y?zy^ tous distincts. Il résulte de la remarque précédente que la dérivée d'ordre cl -\- ^ -\- y de ce polynôme, que Ton est convenu de représenter par le symbole /^.î "5 ^/'^\ même dans le cas où Fundes nombres entiers a, p, y est nul, se réduit pour x =■ o^ ^==o, -5 = à a ! P ! Y ! A ; inversement le coefficient numérique du monôme x^y^z^ qui figure dans le polynôme s'obtient en divisant par a! p! y! la dérivée /^Î^^t^^^ dans laquelle on a remplacé x, j^, z par o.
48. Je vais appliquer cette règle à la recherche des coefficients du développement du polynôme (x -\-y -\- z)''^ n étant un nombre naturel. Ce polynôme en x, y^ z est évidemment homogène et du degré n ; quand il est développé, il est la somme de termes de la forme x^y^zy, où a, p, y sont des entiers positifs ou nuls, dont la somme est égale à n, multipliés par des coefficients numériques que l'on détermine par la règle précédente.
Les dérivées premières de (x -\- y -[- z)'^ , par rapport à x, y^ z, s'obtiennent par la règle d'après laquelle la dérivée de (x-t-a)", quand a est une constante, est égale à /i(a: -|-a)"~*. Ces trois dérivées partielles du premier ordre sont égales à n(x-i-y-\-z)'*~*^ les dérivées secondes sont de même toutes égales à n (n — i )(x -\-y + -s)""", etc. ; toutes les dérivées /i**"*«'« sont égales à n(/i — i)(/2 — 2)...i == /i! Le coefficient de x^y^z"( est donc égal à
aipÎYÎ'
et le développement du polynôme (^ + y + 5)" est égal à la somme
POLYNOMES.
(le tous les monômes distincts de la forme
que l'on peut former en prenant pour a, p, y des nombres entiers positifs ou nuls dont la somme soit égale à n.
Si, par exemple, n est égal à 2, la somme des nombres a 4- p -h y (levant être égale à 2, Tun de ces nombres peut être égal à 2, les deux autres étant nuls; deux des nombres peuvent être égaux à un, Tautre étant nul.
Autrement dit, il peut y avoir, dans le développement, des termes enz^, en^^, en 5^, enyz^enzx^ en x/; il ne peut y en avoir d'autres. Le coefficient numérique des termes en a;^,^^, 5^ est égal à -^ — f-^ = i;
le coefficient numérique des termes en ^5, 2J7, o;^ est égal à ^ ', = 2. On a
(x -^ y -\- zy — X' -\- y^ -\- 3*^- lyz -^ izx -\- ixy.
Si Ton suppose n = 3, on reconnaît de même qu'il doit y avoir, dans le développement, des termes en x^^y^^ z^ dont le coefficient est I, des termes eny^z^ ^^J^ x^z^ z^x, x^y, y^x dont le coefficient est 3; un terme en xyz dont le coefficient est (). On a donc
(a:-+-^-+--5)'= a:»-h j^»-f-z5-+- Zy^z -^Zz^y -^ Sz^x ^ Zx^z -+- Zx^y -+- Zy^x -+- &xyz.
Le lecteur reconnaîtra sans peine que la méthode donnée pour obtenir le développement de (a? + y -f-;;)" s'applique au développement de la puissance /i'*"® de la somme d'autant de variables que l'on veut; il pourra aussi retrouver par cette voie la formule
^1 ^ TTT"^ (n — 1)! i! "^(n-ïV.-i! ■^C/i-3)!3î "^"'"^ 7\
qui résulte d'ailleurs des formules (i) et (2) du n'* 43.
49. Enfin, si l'on désigne para, 6, c trois nombres quelconques, la même méthode s'applique à trouver le développement du polynôme en x^yj z^f(a -\r x, b -^ y^ c -\- z), obtenu en remplaçant les variables ar, j, ;; par a-\- x, b -^ y^ c -\' z dans le polynôme /(a:, y^ z).
Le coefficient du terme en x"^ y^z'^ s'obtiendra en divisant par
Il8 CHAPITRE II.
a! ^! y! la valeur pour a? = o, j^= o, ;; = o de la dérivée d'ordre a + ? -H Y du polynôme /(a -\- x, b -\- y^ c -\- z) prise a fois par rapport k X, p fois par rapport à j^, y fois par rapport à z. Or, en vertu d'une remarque antérieurement faite pour les dérivées du premier ordre, et qui s'étend de suite aux dérivées d'ordre quelconque, cette dérivée se déduit de la dérivée /^.5 "5 ^y^^^ en y remplaçant x, j-, z respectivement par a-{- x^ b -\- y^ c -^ z. Sa valeur pour ;r = o, ^ = o, z = o s'obtiendra donc en remplaçant, dans cette même expression /iV^^^^ ' ^*»^'» ^ para, 6, c; on convient de représenter le résultai par le symbole
Avec cette notation, on voit que le coefficient du terme en x^y^z'i s'écrit
a! 6! vwa^^f^
et le terme lui-même peut s'écrire
le développement cherché est la somme de tous les termes distincts de cette forme qui ne sont pas identiquement nuls.
11 est clair que l'on n'aura pas à écrire de termes pour lesquels a + p + y dépasse le degré n du polynôme f{x^ y^ z),
La règle précédente ne s'applique pas au terme indépendant de x^ y, z, mais on sait déjà que ce terme, qui peut s'obtenir simplement en remplaçante, j', z par o dans /(a + a?, 6 -hy, c -h z) est/(a,6,c').
11 est naturel de grouper ensemble tous les termes qui ont le même degré p^n en x^y^ z : ces termes sont de la forme (i), en supposant 0L-\- ^4- Y==/?.
En supposant/) = i , leur ensemble est
^^'^/aî/ô^/c^^signent les valeurs de /[.,/^,/^ quand on y remplacer, y^ z respectivement par a, b^ c; c'est, à part la différence des notations, une observation qui a déjà été faite au n° 4S ; l'ensemble des termes du second degré est
|(^«/;;.-i- j^ViW 5«/c.-4- 27V6C-+- 2-^/mH- î^^/âft)»
POLYNOMES. 119
<^ù /Ji, /fct, y^«, ff^c-i fcat fab représentent respectivement les valeurs des dérivées secondes y^,,, //,, /J., /^,, /J^., /^^ quand on 3' remplace x^ /, -3 par a y h^ c\ cet ensemble pourrait s'écrire symboliquement
à la condition de remplacer, dans le développement de ce carré, effectué par la règle donnée dans le numéro précédent,
Ua)\ (fiY. ifc)\ nfc. fcfà. fan
par
y««ï yi«î Jc*^ flo fcat fab'
Cette observation est générale, comme on le reconnaît en se reportant à la règle pour obtenir le développement de la puissance/?**"** d'une somme de trois termes; Tenserable des termes du ^'«"•^ degré en X, y, z peut s'écrire symboliquement
en supposant que l'on a d'abord effectué le développement de la puissance /)**"*, puis que l'on y a remplacé le terme
où a + ^ -I- Y est égal à /?, par
on est enfin parvenu à la formule symbolique
(^) /(« -\-or,b-\- y,c -^z)=/(a, b, c) -h ar/i-h ^/i+ z/;.
' ^^fa-^yn^^fiy
' i^/L+yn+^fcr-
Cette formule, avec des modifications insignifiantes, s'applique à des polynômes à autant de variables que Ton veut.
Si on l'applique, par exemple, au polynôme du second degré à deux variables
f{x^y) = Aa7«-f- aBarj^-f- Cy^-^ il>x h- aEj^-h F, dans lequel on a
/i=a(Aa7-hB>^-+-D) /;= 2(Ba:-h C j^-h E), /;, = 2A, /;^=aB, /;.= 2C,
on aura, symboliquement,
et, d'une façon explicite,
fia^x,b^y)z=f{a,b)'^xfi-^yf'i,^\(x^fa*^ixyfah-^y^fb^) = /(«i *) -H aa?(Aa -4- B^» -h D) -4- 2^(Ba -h G^n- E) -h A a?* -4- -2 B 37^ -4- G^';
on voit, par cette formule, que l'ensemble des termes du second degré est le même dans le polynôme
f{a-\-x,b->r y) = A(a7-Ha)*-h2B(a7-4-a)(^-HÔ)-i-G(j^-f-6)* -h2D(a7-4-a)-h2E(j^-4- 6)-+-F,
que dans le polynome/(a7, y) : cela était aisé à prévoir, les termes du second degré dans le développement dey(a + a?, 6 + y) proviennent des termes du second degré de /(^, y). Or, quand on développe A(a?4-«)2, le seul terme du second degré est évidemment ^.x^] quand on développe 2B (x -h a) (y -\- b) ^ le seul terme du second degré est aBxj^, etc. Ce résultat est général : si /(^, j), 5) est un polynôme du degré n, l'ensemble des termes du degré n dans le développement du polynôme /(a -{- x, b -\- y, c -\- z) est identique à l'ensemble des termes du degré n dans /(a:, j', ;;).
La formule (2) s'applique sans modification à un polynôme homogène du /i*^*"* degré.
Je vais l'appliquer au polynôme homogène du second degré
9{^y yy ^)= ax*-h a'y^-\- a' z^ -\- *ibyz -^^b'zx -^ 'ib'xy^
POLTTYOMBS. 121
en y remplaçant toutefois les lettres a^ 6, c par Xq^ y^^ Zq et en remplaçant x^ y y z par kx^ ky, kz : elle donne alors pour l'expression de <p(xo -h kx, yo 4- ky^ Zo-hkz)
9(^0, ro, -50)-+- ^'(^?x«-^r?r.^- ^9z,) k*
-+- - (^^9xi-^y^9yi-^ ^'?'ia-^ ^r^?;.s.^- 2^?î..r„-^ ^^r?.;,,-.)»
ou y^^, ç^^, . . ., ol-^y^ désignent ce que deviennent les dérivées partielles ©;, ©^, . . ., o'j.y. quand on y remplace x, y, z par Xo, y^, z^.
On adonné au n** 41 les valeurs de ces dérivées; en remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs, on obtient l'identité
( 9{xQ->rkT,yQ-^kyyZ^'\rkz)
\ =?(^o,7o,^o)4-X:(arcp;^-f-^9;^-h^?lJ-hA:»?(a?,^,5);
au reste, que l'ensemble des termes du second degré en x^y^ z dans le développement de ^{x^-^- kx^ yo + f^y^ ZQ-^kz), soit égal à /*o(x, r, 5), c'est ce qu'on pouvait prévoir par le raisonnement utilisé à la fin du précédent numéro.
L'identité (i) a lieu quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres Xo^ yo^ Zq, x, y^ z : supposons qu'on prenne Xo = Xjyo=yy Zo=z, Le premier membre «p [07(1 -+- k)yy{i -f- A"), 5(1 + A*)] s'obtient en remplaçant, dans le polynôme homogène ç(^, r, 5), x^ y^ z par x{i -u A), y(i 4- A:), 5(1 + A) ; chacun des monômes qui constituent ^{x,y, z) se trouve alors multiplié par(i + A:)^, en sorte que le premier membre de notre identité n'est autre chose que (j)(j7,y, ^)(i -\- k)-; elle devient donc
cette dernière identité doit avoir lieu quel que soit le nombre A:; si donc on ordonne suivant les puissances de A", les coefficients d'une même puissance de k doivent être les mêmes dans les deux membres. La comparaison des termes indépendants de k et des termes en A^ n'apprend rien : la comparaison des termes en k donne l'identité
qui se vérifie immédiatement en remplaçant o^, <p^, o^ par leurs expressions développées.
Le même mode de raisonnement s'applique à un polynôme homogène /(^,^', 5) de degré n et conduit, comme le lecteur n'aura aucune peine à le voir, à l'identité symbolique
(3) (:r/i ^yf;.^zfL)P= n(/i - i)(/i 2) . . . (/i — /? -+- i)/(:r, y. z),
où p est l'un quelconque des nombres i, a, .. ., n. En particulier, pour /> = I, on obtient l'identité suivante, qui est une généralisation immédiate de l'identité (2),
(4 ) ^fx-^yf'y-^ ^f'z = ^A^^ y> ^).
En raison de l'importance de cette identité, j'en indique une autre démonstration :
Elle se vérifie de suite en prenant pour f{oc^y^ z) un monôme du degré /?, ^.x^y^z^^ dont les dérivées sont respectivement
aAj:«-'^'P;5r, pAa7«^P-»^Y, YAa7*^P>sY-», en sorte que le premier membre se réduit à
comme un polynôme homogène /(j:,j^, z) est la somme de pareils monômes la proposition est évidente.
Le lecteur reconnaîtra sans peine que si un polynôme /(a:, j^, z) vérifie l'identité (4) il est homogène et de degré n; il suffit, pour cela, de décomposer le polynôme en groupes homogènes.
Revenons à l'identité (i) relative à un polynôme homogène du second degi*é ; le premier membre s'obtient en remplaçant dans
x^ y^ z par
Xfi-¥kx, y^-\-ky, 5oH- X'«,
ou, ce qui revient au même, par
ou encore, en multipliant chacun des monômes qui constituent
POLYNOMES. 19.3
ç(x, ^', 3) par k^ et en y remplaçant ensuite j:,^, z par
^0 Vo ^0
'^T' ^-^-k' -'+T' en d'autres termes, le premier membre peut s'écrire
mais en vertu de l'identité (i) elle-même, dans laquelle on remplace k par j[, X, j>', z par 2:0,^0? -0 el ^oî^o? -0 par x, JK? -, on a
ridentité (i) peut donc s'écrire sous la forme
On en conclut, en comparant les termes en A", que l'on a identiquement, quels que soient j:, ^, z^ ^ojJKoj ^oj
Ce résultat, qui a une grande importance en Géométrie analytique, se vérifie d'ailleurs immédiatement en remplaçant (p!^, o' , o^ parleurs expressions explicites ; le premier membre devient alors
il peut s'écrire
2axQX-^ la'yoy -hia'z^z -h 'ibiyoz-i- Zqjt)
•4- ib'{zoX'^xoz)-h 'ib''{xoy-i-yox);
sous cette forme, on reconnaît de suite que ce polynôme en x, y, 5, ^o»/oî Zo reste le même quand on échange les lettres x, JK? ^ et ^o> ^Oî 2o« Cette même forme, d'ailleurs, met de suite en évidence ridentité ( 2), en supposant a^o =rzx, yo=y^ ^0= ^-
L'identité (5) est spéciale aux polynômes homogènes du second degré ; elle est toutefois un cas particulier d'identités concernant les poîynomes homogènes du /i*^"* degré, qui se démontrent par la même méthode qui nous a conduits à l'identité (5) et que je me contente de transcrire. On a pour les valeurs i, 2, ..., n — i du nombre/?
(6) y (^/;.+r/;.+ ■»/;.)"= (7r=]?yT (^••^* +r./; +^0/^)»-".
où les puissances ont le caractère symbolique sur lequel on a insisté à plusieurs reprises.
On a encore
EXERCICES
