Soit a un nombre positif moindre que i, on a
Soient A la plus grande des valeurs absolues des coefficients du polynôme f{x), x' la valeur absolue de x^ B un nombre positif quelconque : la
valeur absolue de /(a?) est moindre que jy si x est moindre que 1 ; elle
est moindre que B, si Ton a ir'< -: r:*
La valeur absolue de x^/{x) est moindre que B si l'on a .—B-h /B(B-h4A)
^< ^TX
19. Pour quelles valeurs de x la courbe (G), définie par l'équation (n** 31) y = 3 — àx -h ^x^-h 5 x' -f- a:*, est-elle au-dessus ou au-dessous de la tangente au point de la courbe située
POLYNOMES. 1*25
sur Taxe des j^, au-dessus ou au-dessous de la parabole définie par l'équation
Déterminer la tangente à la courbe (G) aux points d*abscisses i et 4*
âO. Déterminer un nombre positif a tel que, si la valeur absolue de x est supérieure à a, la valeur absolue du polynôme 3 — aa?-H 4^' — Sar'-f- x^ soit plus grande que looo.
21. Si un polynôme /(a?) a tous ses coeffîcients positifs, sa valeur augmente avec celle de Xy quand x est positif. S'il ne contient que des termes de degré impair, sa valeur augmente avec celle de x, quel que soit a:; s'il ne contient que des termes de degré pair sa valeur diminue quand x augmente en restant négatif.
Si le nombre A est positif, la valeur de l'expression {x-\- A)« — x"^ augmente avec celle de x quand x est positif.
22. Si un polynôme f{x)^ de degré n, est positif ainsi que ses n dérivées, pour j; = a, sa valeur va en croissant avec celle de x^ quand x est plus grand que a : cette valeur, quand x est plus grand que a, reste donc toujours positive.
23. II est souvent commode d'introduire en avant des coefficients d'un polynôme de degré n les coefficients numériques Gf , Cf , . . . , CJ de la puissance /i^'-*'"* d'un binôme; d'écrire, par exemple, les polynômes du deuxième et du troisième degré sous les formes
ax^ -4- 2 6x H- c, ax^ ■+■ 3 bx^ h- 3 ex -4- d,
et le polynôme du /i**"* degré sous la forme
f{x) = a^x^-h Cîaiar'»-»-+- Cjaja7«-»-4- . . . -t- Cjan,
oùao, ai, . . ., an sont des constantes.
Montrer que l'on a, en désignant pSiTf^P^(x) la dérivée />'*""' de/(ar),
Y~-^ = O^iaoX'^P-^- Cl'PuiX-^-P-i H- C'i-PatX^^-P-^-i- ...-+- C'izf* an-p).
24. En conservant les notations de l'exercice précédent, soit a la plus grande des valeurs absolues des constantes ao, ai, . . ., a^; soient a:' et h' les valeurs absolues de x et de A, on a
1/(07) I è a(^H- i)'S [^^^ ^ CJM^'^ i)-P, |/(ar -h A) — /(a?) I ^ a[(a7'-+- A'-f- i)«— (3?'-+- !)«].
laô CHAPITRE 11^
Si Ton suppose que la valeur absolue de x reste inférieure au nombre positif A, le second membre de la dernière inégalité est plus petit que
a[(A-i-/i'-hi)« — (A + i)"].
Dans les mêmes conditions on aura, en désignant par s un nombre positif
quelconque,
si Ton a
23. Soit a la plus grande des valeurs absolues des constantes ai, aj, . . ., an dans le polynôme
f{x) = a:" -h G'/ a, :r«-> -H G? a,x«-»-+- ... -h G» a;, ; on a, pour toutes les valeurs positives de x,
le polynôme /(a:) est positif pour toutes les valeurs de x qui vérifient l'inégalité
