Dans l'identité

(a: -f- 1) (a? -+- 2) (a? H- 3) — a7(j: -h i) ( j: H- -2) = 3(a:*-h 3a: -f- 2), on remplace a? successivement par i, a, 3, .../> et l'on ajoute les p égalités

POLYNOMES. 127

ainsi obtenues. Déduire du résultat la formule

uù Si désigne la somme des carrés des p premiers nombres naturels. Celte même formule peut se déduire, d'une façon analogue, de Tidentité

(ar-t-i)'— a?' = 3a:*-»-3iF-hi.

Montrer que p est la racine cubique, à une unité près, de 3Sj. Montrer que la somme des cubes des/? premiers nombres naturels est

28. Si l'on pose Fo(a:) = i, Fi(a^) = x et, en désignant par n un nombre naturel quelconque,

F„(ar) = x(x -^ i) , , . (x -h n — 1), on a, quels que soient x et a,

Fn(x -4- «; = es Fo(a) F„(x) -t- G'f F,(a) F^.jCj-) h- . . . -t- C;; Fp{a) Fn-p(x) -H . . . + C;S F„(a) Fo(a^).

On constate que cette identité est vraie pour /i = 1; on démontre que, si elle e>l vraie pour le nombre naturel n, elle est vraie pour le nombre suivant n -+- i, ce qui résulte sans peine de l'identité

Fp{a) F„-p{x) (a -+- a? -h /i) = F^^-i (a) Vn-,»{^)

'^Fp(a)Fn~p^i{x).