Si l'on pose

(x -\- 1) (x -h '1) . , . {x -h n — i) = 37»-* -h AiX"-^-{- . . .

on a

{x -+- !)«-+- Al {x -h i)«-< -h . . . -f- A„-, ( jr -h i) = (a: -4- /i) (ar^-i-t- Aiar«-*H- ... -h A;^,).

Déduire de là les égalités Cn A,

CJ H- C«i} A, -f- Cjîil A, -H ... 4- €?-''+« Ap, = (/?-!) Ap,,

Exprimer Ai, Aj, A3 au moyen de /t.

Montrer, en supposant que n soit un nombre premier impair, que les nombres entiers Ai, A|, ..., A„i sont divisibles par n ainsi que kn-\-\-i\ dans les mêmes conditions, si x est un nombre entier non divisible par n, ar'»— * — i est divisible par n.

31. En conservant aux lettres A,, Aj, . . ., A„| la signification de l'exercice précédent et en désignant en général par S,, la somme des H'""*' puissances des p premiers nombres naturels, on a

S i.A Q ^ uA ^-4-nA (/>-M)(/>H-2)...(/?-h/i)-~i.'a.3.../i On-.|-f-Ai3rt i-f-...-hA«j&,H-/>A„-i= •

32. En conservant les mêmes notations que dans rexercice précédent, montrer que l'on a

GîS«,-4- G?S„,H- . . . -h CS i S,-h/> = (/> -M)«— /?«.

Calculer St, S3, S^ en partant soit de cette relation, soit de la relation analogue indiquée dans Texercice précédent.

33. Ordonner, suivant les puissances croissantes ou décroissantes de :r, le carré du polynôme n-a7-+-a?*-i- . . .-hdp'*. Quel est, dans le développement, le plus grand coefficient numérique ?

34. Trouver un polynôme /(a?) tel que l'on ait identiquement, en désignant par/'(a7) la dérivée de/(a:),

On reconnaît aisément que le polynôme /(a:) ne peut être d'un degré supérieur à n. On applique ensuite la méthode des coefficients indéterminés, c'est-à-dire qu'on pose f{x) = AqH- Aïo: -h Aja7*-t- . . . -4- A^a?» ; en rcmpla-

POLYNOMES. 19.9

çant ensuite, dans réquation (1), /(a:) et/'(x) par leurs expressions développées, et en écrivant que, dans les deux membres, les coefficients d'une même puissance de x sont égaux, on trouve les relations

Ao— Ai = o, A, — 2Ai = o, ..., A;,i — /iA„ = o, A„ =

qui permettent de déterminer les coefficients A^, A|, . . ., A».