DE LA VARIABLE

o7. Deux polynômes A et B étant donnés, au lieu de les ordonner par rapport aux puissances décroissantes de la variable, et de les diviser d'après la règle du n° 51, étendue, si l'on veut, comme on vient de l'expliquer, on peut les ordonner par rapport aux puissances croissantes de la variable et faire la division de manière à obtenir les quotients et les restes partiels ordonnés par rapport aux puissances croissantes de x.

Pour simplifier un peu, je supposerai que le premier terme de B soit une constante.

Le premier terme qu'on écrit au quotient s'obtient en divisant le premier terme de A parle premier terme de B; on retranche ensuite de A le produit par B du terme écrit au quotient; on obtient ainsi le premier reste partiel, dont le premier terme est de degré supérieur au degré du premier terme de A; le premier terme de ce reste partiel, divisé par le premier terme de B, fournit le second terme qu'on écrit au quotient; on retranche ensuite du reste partiel le produit par B du second terme écrit au quotient; on obtient ainsi le second reste

(') En se bornant au cas où A, B sont des polynômes, on peut procéder un peu autrement, de façon à éviter, dans le courant de l'opération, les termes à exposants négatifs. On multiplie d^abord A par x'^, m étant un nombre naturel arbitraire, puis on fait la division par B du polynôme A j?* par la régie ordinaire, de manière à par-, venir à l'identité

Aa7«= BQi-+-R,,

où R| commence par un terme de degré inférieur au degré deB; on divise ensuite chaque terme de Q, et de R| par x"". L'analogie avec l'opération d'arithmétique qui consiste à réduire en fraction décimale une fraction ordinaire est évidente.

DIVISION DES POLYNOMES. l53

partiel, et l'on continue de la même façon, aussi longtemps qu'on le veut, pourvu toutefois qu'on ne rencontre pas de reste nul.

Les degrés des premiers termes des restes partiels vont en augmentant à chaque fois d'une unité au moins, ainsi que les degrés des termes que l'on écrit successivement au quolient : au moment où Ton arrête l'opération, on a, en désignant par Q le polynôme écrit au quotient, par R le polynôme écrit au reste, l'identité A = BQ + R; dans le cas ou l'opération ne se termine pas, on peut s'arranger pour que le degré du premier terme de R dépasse tel nombre entier p que Ton voudra; imaginons, en supposant toutefois p supérieur au degré a du premier terme de A, que l'on s'arrête dès que cette circonstance se présente ; alors le degré du premier terme du reste partiel qui précédait R était inférieur ou égal à p, il en est donc de même du dernier terme de Q obtenu en divisant le premier terme de ce reste partiel par le premier terme de B, qui est une constante.

On peut donc alors, si l'on se donne le nombre entier p ]> a, trouver deux polynômes Q, R tels que le premier terme de R soit de degré supérieur à p, que le dernier terme de Q soit de degré inférieur ou égal à p, tels enfin que l'on ait identiquement A= BQ +R. Si l'on se propose maintenant de déterminer les polynômes Q, R satisfaisant à ces diverses conditions, on reconnaît que le problème n'admet qu'une solution : il suffit de reprendre, comme tout à l'heure, le raisonnement du n° 51, mais en faisant porter ce raisonnement sur les termes du plus bas degré au lieu de le faire porter sur les termes du plus haut degré, on voit que les termes de Q se déterminent les uns après les autres, d'une façon nécessaire.

On a reproduit ci-dessous une division effectuée de la façon qu'on vient d'expliquer.

3 — arr-f- a?*— ar»

— 3 H- Bar — 6:r«

X — 5 ar* — r^

— 4^*— 3iF»

-f- 'JX^—'jX^

l54 CHAPITRE III.

Au moment où l'on s'est arrêté, le poljnome écrit an quotient est 3 + x — ^x^ — 'jX^ et le reste ^x -\- \/\x^\ oh^l l'identité

J — IX -\- X^ — X^ = (\-~ X -^ IX') (3-4-57 — f\X^ -r ' X^) -\- X^ -^ \\X*.

On en conclut, par exemple, que pour toutes les valeurs de j:, qui n'annulent pas le diviseur, on a

3 — IX -\- x'^— x^ ^ / . , a?*-+-i4^*

l X + 1X^ I X-^-IX^

pour les valeurs de x voisines de o, la fraction qui figure dans le second membre est très petite en valeur absolue, en sorte qu'on commet une faible erreur si, au lieu de calculer le premier membre, on calcule la valeur du polynôme 3 + x — ^x^ — 72?'. Si, par exemple, on suppose la valeur absolue x' de x moindre que -^, l'erreur sera moindre que

Si l'on divise i par i — x par ce procédé, on parvient à l'identité

i = (i-|-a7-l-x*-h...-l-:t-«)(i— t)-^x'^^\ OU, si l'on veut,

de même

Il n'est pas inutile de remarquer que si, dans une pareille division, on veut obtenir les termes qui, dans le quotient, sont de degré inférieur ou égal à /2, on peut, dans le dividende et dans le diviseur, négliger les termes de degré supérieur à /i, qui n'interviennent pas dans l'opération ainsi limitée.

Les polynômes x\ et B étant ordonnés par rapport aux puissances croissantes de .r, la division de A par B, elFectuée par le procédé

DIVISION DES POLYNOMES. l55

qu'on vient d'expliquer, ne se termine (on ne peut trouver un reste nul) que s'il existe un polynôme Q tel que l'on ait A^= BQ^ réciproquement, s'il existe un tel poljnome Q, on le trouvera nécessairement parle procédé précédent : le même raisonnement qu'au n** 51 montre que les termes de ce polynôme doivent s'obtenir l'un après l'autre par le procédé qu'on vient d'indiquer, et cela d'une façon nécessaire : l'opéralion se terminera quand on sera amené à écrire au quotient un lerme dont le degré sera égal à la différence entre les degrés de A et de B : il devra être égal au quotient du dernier terme de A par le dernier terme de B et le reste correspondant doit être nul. Si quelqu'une de ces conditions n*est pas vérifiée, l'opération peut se continuer indéfiniment.

§ 4. - POLYNOMES A PLUSIEURS VARIABLES.

08. Dans tout le cours de ce Chapitre, on a regardé les coefficients du dividende et du diviseur comme des nombres, mais cette supposition n'est pas nécessaire pour effectuer, par exemple, les calculs décrits au n** ol.

Supposons maintenant que A, B soient des polynômes à 'plusieurs variables; on dira que le polynôme A est divisible par le polynôme B, s'il existe un polynôme C tel que l'on ait identiquement A = BC. La méthode du n" SI permet toujours de reconnaître s'il en est ainsi, et de trouver le polynôme C.

Plaçons-nous d'abord dans le cas où A, B sont des polynômes à deux variables :r, x; rien n'empêche d'ordonner les polynômes A, B suivant les puissances décroissantes de x, et d'imaginer que C soit ordonné de la même façon; les polynômes A, B, C apparaîtront ainsi comme des polynômes en x dont les coefficients seraient des polynômes en y.

Supposons que Ton ait identiquement A = BC; le coefficient de la plus haute puissance de x dans A doit être identiquement égal au produit des coefficients des plus hautes puissances de x dans B et dans C; le coefficient de la plus haute puissance de x dans C s'obtiendra donc en divisant le coefficient de la plus haute puissance de x dans A, par le coefficient de la plus haute puissance de x dans B : on a à di\iser l'un par l'autre deux pc lynomes en y^ opération que l'on

l56 CHAPITRE iir.

sait faire : la division doit se faire exaclemenl; on obtient ainsi le premier terme de C : c'est le produit du coefficient qu'on vient de calculer par une puissance de x dont l'exposant est la différence des degrés des plus hautes puissances de x dans A et dans B. On retranche ensuite de A le produit de B par le premier terme de G, on obtient le reste partiel, sur lequel on raisonne comme sur A. Chaque terme de C se détermine ainsi d'une façon nécessaire; a chaque division partielle, . la division du polynôme en y qui constitue le coefficient de la plus haute puissance de x^ par le polynôme en y qui constitue le premier coefficient de B, doit se faire exactement. Enfin l'opération doit se terminer avant que l'on ne trouve un reste dont le degré en x soit inférieur au degré de B, en x. Autrement A n'est pas divisible par B. Deux polynômes à deux variables étant donnés, on sait reconnaître si le premier est divisible par le second. Du cas de deux variables, on passe successivement au cas de trois, quatre, . . . , variables.

Dans ce qui suit, je ne suppose plus que le polynôme A soit divisible par le polynôme B. Pour simplifier l'écriture, je raisonnerai sur des polynômes à trois variables x^ y^ z\ mais les raisonnements s'appliqueront sans difficulté quel que soit le nombre des variables.

Quels que soient les polynômes A, B, en x^ y^ z, on peut toujours les ordonner par rapport aux puissances décroissantes de .r; les coefficients des diverses puissances de x (parmi lesquels on range le terme indépendant de x^ le coefficient de x^) sont des polynômes en y, z; rien n'empêche de faire sur A et B, regardés comme des polynômes en X, les calculs indiqués au n" 51 ; ces calculs conduiront à une relation de la forme A = BQ -j- R, où Q et R auront la forme de polynômes en X dont les coefficients seraient, en général, des fractions dont les termes sont des polynômes eny^ z : les dénominateurs de ces fractions seront, en général, des puissances de ce polynôme en y^ z qui est le coefficient de la plus haute puissance de x dans B. Le plus haut degré de x dans R sera inférieur au degré, en x^ du polynôme B. La relation A = BQ -f- R aura lieu quelles que soient la valeur numérique de x et les valeurs numériques de y^ s, pourvu que ces dernières n'annulent pas le coefficient de la plus haute puissance de X dans B.

Les calculs se simplifient dans un cas auquel je vais maintenant me limiter, celui où le coefficient de la plus haute puissance de x. dans B, au lieu d'être un polynôme en j', z^ se réduit à une constante numé-

DIVISION DES POLYNOMES. l57

rique. Dans ce cas, les calculs n'introduisent en dénominateur aucun polynôme en y^ z et, dans Tidentité A = BQ -h R, à laquelle on parvient, Q et R sont de véritables polynômes en x^y^ z] les raisonnements du n® ol s'appliquent sans difficulté pour prouver qu'ils sont les seuls polynômes dont le second soit, en x^ de degré inférieur au degré de B qui satisfassent à cette identité : dans ce cas, la condition pour que A soit divisible par B est évidente : R doit être identiquement nul.

Si, en particulier, on suppose que B soit de la forme x — a, a étant un polynôme en y^ 5, le polynôme R ne devra plus contenir x^ ce sera un polynôme en y^ z et le même raisonnement qu'au n** o3 montre que ce polynôme s'obtient en remplaçant x par a dans A. Si le résultat est identiquement nul en ^, :;,..., et seulement dans ce cas, A sera divisible para: — a. Plus particulièrement, la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme A (en x^ y, z) soit divisible par x — y est que le polynôme en j', 5, . . ., que l'on obtient «n remplaçant x par j^ dans A, soit identiquement nui.

Supposons que le polynôme A s'annule identiquement quand on remplace x soit par y^ soit par 5, ou encore quand on remplace y par 5. Puisqu'il s'annule quand on remplace x par y, il est divisible par X — yj et l'on peut poser A = (x — ^)A|. en désignant par A| un polynôme en x, y, z dont le produit par x — y est identiquement égal à A; si, dans l'identité précédente, on remplace y pars, le premier membre est identi([uement nul; le produit de y — z par le polynôme A^ (en x, z) que l'on obtient en remplaçant dans A, y par z est donc identiquement nul ; il faut, pour cela, que A', soit identiquement nul et, par suite, que A, soit divisible par y — z; on peut alors poser A, = (^ — ^) Aj, A2 étant un polynôme en x^ y, z. Le raisonnement précédent prouve d'ailleurs que A2 s'annule identiquement quand on remplace z par x; il en résulte que Aj est divisible par z — x^ et que l'on peut poser A-j = (z — ^) A3 ; des idcnxités

A = (x—y)Ai, A, = (y — 5)Ai, A,= (5 - x)\z, il résulte qu'on a identiquement

A = (a? —y) (y - ^) (z — x)Ai; -ainsi A est divisible par le produit (x — y) (y — 5) (^ — x).

l58 CHAPITRE III.

D'une façon générale : si un polynôme à n variables devient identiquement nul quand on suppose que deux quelconques de ces variables soient égales, il est divisible par le produit de toutes les différences entre deux quelconques de ces variables.

EXERCICES

45. Vérifier que, si dans le polynôme ar'-t-a;* — ix — i on remplace x par x'^ — 2, le polynôme du sixième degré que l'on obtient ainsi est divisible par a^'-h a:'— 237 — I.

Démontrer que si l'on forme la suite des polynômes

T^ rr*— 2, (a:* — 2)' — 2, ...,

dont chacun s'obtient eu remplaçant dans le précédent x par x- — 2, cl que l'on divise ces polynômes par x^-\-x^ — 2Jr — i, les restes se reproduisent périodiquement de trois en trois.

46. Déterminera: i" de façon que les deux racines de l'équation x- — x-\-a = o vérifient la condition a:* — ait* -h a?*-f- 20?-+- 1 — a* > o; 2** de façon que la plus grande de ces deux racines vérifie seule cette inégalité.

47. Tout polynôme qui prend des valeurs égales quand on y remplacer par les nombres inégaux ai, as, ..., a;i est de la forme

Q(a7 — ai) (iT — aj) . . . (X — a„) H- R,

où R est une constante.