Calculer les valeurs que prend le polynôme

i6ir* — 2oa7*-f- 5a:

quand on y remplace x par une des racines de sa dérivée.

49. Effectuer la division du polynôme nx'^ — (/i -hi)a7«-i- i, où n désigne un nombre naturel, par {x — i)*.

30. Soient A, B, G, P des polynômes; si l'on divise P par A (au sens du

DIVISION DES POLYNOMES. l59

n"51), puis le quotient par B, puis le quotient par C, on trouvera le même quotient final qu'en divisant P par le produit ABC.

51. Montrer que si F = a7»-h «ir'*-*-h ... -4- a^ est un polynôme donné de degré «.on peut mettre, et cela d'une seule façon, un polynôme quelconque /(a?) sous la forme A^-h A|P -h AiP*-h .. ., où Ao, Ai, Aj, . .. sont des polynômes en X de de^^ré moindre que n. En supposant que le polynôme /(a?) ait été mis sous cette forme, quel est le quotient et quel est le reste de la division de/(.r) par P?

Pour obtenir les polynômes Ao) Ai, Aj, ..., on peut procéder comme il suit : partant de Tidentité

(I ) ar" = — ai rr'»-* — ajO?'»-* — . . . — a„ -h P,

on en conclut, en multipliant par x et en remplaçant, dans le second membre, x'* par le second membre de l'identité (i),

^/i-»-i (aj a,)x«-* -h(aiaj — aj)x«-*-4- ... -h Par;

multipliant encore par x et remplaçant toujours x'^, dans le second membre, par — aior"— * — a^x^—^ — . . ., . . ., on voit qu'on obtient aisément les expres- Mons de ar'*, x'*-*-*, a?'»-^-*, ..., puis de /(a:*) sous la forme désirée. Les calculs se simplifient si l'on veut seulement avoir le reste de la division de f{x) par P; on remplace alors partout P par o; les calculs sont indiqués ci-dessous en supposant P = a;* — x -h i,f(x) =a7* — ix^-h Sa?^ — a:'-i-:F* — i ; le signe = >eui dire que les deux membres que séparent ce signe sont identiques, à un multiple près de P.

f{x) = I — 2(— a--H i) -h 3(— ar) -+-I -Ha7 — i — i se — a,

52. Déterminer les coefficients Ai, A], A3, . . . d'un polynôme

f(x) = a-"-T- A,a7«-»H- Aja:«-*-h... -+- A„

qui soit exactement divisible par sa dérivée. Le quotient ne peut être que du premier degré; on peut le mettre sous la

forme — (x-t-a): l'identité

n/(x) = (x-\-a)f(x) permet ensuite de trouver les coefficients Ai, A^, ... : on trouve ainsi

f{x) = (x-hay,

53. On se donne la suite des nombres ao, ai, aj, .... Montrer qu'un poly-*

l6o CHAPITRE III.

nome donné /(x) peut se mettre, et cela d'une seule façon, sous la forme

Ao-l-Ai(a?— ao)-hA,(a7 — aj)(j7— ai)-4-...H-An(j?--ao)(^— ai)...(j?— Ort-i),

où Ao, Al, . . ., Al, désignent des constantes et n le degré de /(x) : Aq est le reste de la division de/(x) par a: — «o ; si/i(a?) est le quotient de cette division. Al est le reste de la division de f\{x) par x — rti, etc. . . . Ceci ne suppose pas que les nombres ai, ai, as, ... soient distincts.

Si Ton se donne les nombres distincts ao, ai, a^, . . ., a„, on peut calculer Ao, Al, ..., Art sachant que le polynôme /(a:) est au plus du degré n et connaissant les valeurs qu'il prend pour a: = a©, a? — «i, ..., a: = a„. En supposant /? < /t, les coefficients Ao, Ai, ..., A^ ne dépendent que de a^, ai, ..., ay, et des valeurs correspondantes du polynôme.

Trouver un polynôme de degré au plus égal à 3 qui prenne la même valeur

que ^x pour x = o, x = -, a:= -y x —\,