I -H %x cos6 -t- 23?* COS2Ô -f- . , . H- ax» cos/iO

et, pour le reste,

•2a?'*-^* cos(/i -H l'ift — ajr'»-^-* cos/i6.

Montrer que Ton a

I ft r A sin(/i 4- 1)6

\-\- cosO 4- cos'20 4- . . . -+- cos/iO = i-: — r—ï

* sin^e

60. Effectuer la division de cosa — a7C0s(a — 9) par i — -20: cos 9 -ha?* en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x et en s*arrétant, au quotient, au terme en ar'».

On trouve, pour le quotient,

cosa -+- X cos(a -H 6) -H a?» cos(a -h 26) h- ... -h a?» cos(a -H /i6)

et, pour le reste,

a?«-»-* cos[a -+-(/H- i)0] — x'*-^^ cos(a -h /i9).

Déduire de là des expressions simples de

cosa -h cos(a H- 9) -h cos(a -h 29) -h . . . -t- cos(a -+- /i9),

cosa — cos(a-i- 9) H- cos(a-t- 29) — . . . -h (— i)'»cos(a -h /i9), sin a H- sin (a -f- 9) -H sin (a -H 29) 4- ... -4- sin (a 4- /i9),

sina — sin (a 4- 0) -+- sin (a -1-29) — ...-»-(— i)'* sin (a -h /i9).

§ 1* — ÉTUDE D'UNE FRACTION RATIONNELLE EN x POUR LES VALEURS DE x VOISINES D'UNE VALEUR DONNÉE.

59. On appelle fraction rationnelle en x une fraction dont les deux termes sont deux polynômes en^. La valeur d'une telle fraction pour x-=-Xq n'est définie que si Xq n'annule pas le dénominateur.

Si x^ n'annule pas le dénominateur, et si Ton donne à x des valeurs très voisines de Xq^ le numérateur et le dénominateur prendront, comme on l'a vu au Chapitre H, des valeurs très voisines de celles qu'ils prennent pour x=^ Xq\ or, en général, quand les deux termes d'une fraction varient très peu, la valeur de la fraction varie très peu; on prévoit qu'une fraction rationnelle doit être une fonction continue de x pour les valeurs qui n'annulent pas le dénominateur. Il convient d'ailleurs de préciser ceci, afin d'éviter sûrement les valeurs exceptionnelles : on y parviendra en faisant pour les fractions rationnelles la même étude qu'on a faite pour les polynômes; on y gagnera d'ailleurs le moyen d'avoir des expressions approchées de la fraction, de reconnaître si elle est croissante ou décroissante, etc.

Supposons d'abord qu'il s'agisse de valeurs de x voisines de o; ou ordonnera le numérateur et le dénominateur suivant les puissances ascendantes de x.

Si le dénominateur de la fraction n'est pas nul ponr J? = o, la valeur de la fraction, quand x est suffisamment voisin de o, reste moindre, en valeur absolue, qu'un nombre positif fixe qu'il est facile d'évaluer. C'est ce qu'on exprime brièvement en disant que la fraction reste bornée pour les valeurs de x qui sont voisines de o.

Considérons par exemple la fraction

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l63

On choisira un nombre positif a plus petit que la valeur absolue du premier terme — 3 du dénominateur; puis on déterminera un nombre positif p tel que la condition | J7 1 < ^ entraîne Tinégalité

I 4a7 — 6x*-t-ar« | < a.

Le dénominateur ne pourra pas s'annuler et sera plus grand, en valeur absolue, que 3 — a; le numérateur sera plus petit, en valeur absolue, que 2 + 3a-f- 5a' + ;;a*, et la valeur de la fraction plus petite, en valeur absolue, que

pourvu que se soit moindre que p, en valeur absolue.

Si, par exemple, on prend a = 2, on pourra prendre ^ = — et être sûr que la fraction, pourvu que x soit moindre en valeur absolue que — ï sera certainement moindre en valeur absolue que

•2 H H-Î-tH r<3.