AS S
Pour les valeurs de x suffisamment voisines de o, la fraction ration-
S nelle ^» dont le dénominateur ne s'annule pas pour a: = o, reste
moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe. Pour ces valeurs le second membre a donc cette forme qui ne diffère que par le dernier terme d'un polynôme de degré w + i, sur laquelle on a apppelé l'attention au n° 32 (* ) ; pour j? == o le dernier membre est égal à Co; pour les valeurs de x voisines de o, il est voisin de c© ; pour j: = o^ au point de vue de la variation, il se comporte comme le premier des termes c^x^ c^x'^^ c^x^, . . ., CnX" qui n'a pas un coefficient nul.
On a d'ailleurs
La fraction rationnelle proposée est continue pour J7 = o, c'est-àdire qu'elle reste aussi voisine qu'on veut de la valeur t^ qu'elle
prend pour j? = o, pourvu que x reste suffisamment voisin de o. Les polynômes c©, ^©4- c, x, Co-\- dx -\- c^x^^ . . . fournissent des
expressions approchées de la fraction —> et l'on a le moyen de calculer une limite de l'erreur que l'on commet en substituant l'une d'elles à la fraction.
Si l'on considère, par exemple, la fraction
1 — X -\- x^ . — i-\-jx — aar* , = 1 — X -\- •ix^-\ : ; — ar',
I IX'-^X^ 1 — ix^-^-x^
on voit d'abord que le dénominateur n'est pas nul si l'on suppose
(') II résulte de la Qote du n<* 32 que la fraction -^ ne peut se mettre sous cette.
forme que d'une seule façon, quand on se donne le nombre n.
DES FRACTIONS RATIONNELLES. l65
|< 1/1 ; si Ton suppose x plus petit que o,i en valeur absolue,
la fraction
- 2 -4- 5ar — ix'*'
sera moindre que ■ ^-^<3, en valeur absolue; Terreur
^ I — 0,0'2 — OjOOJ '
commise en remplaçant la fraction proposée par i — x-{-2X^ sera moindre que o,oo3. Pour x = o^ cette fraction est égale à i, elle est décroissante, puisque — x est décroissant.
Si l'on considère la portion correspondante à de petites abscisses
de la courbe définie par l'équation y=i——- — -, on reconnaît
qu'elle passe par le point de l'axe des y dont l'ordonnée est i , et que la tangente en ce point a pour équation y =^ i — x (comme on le voit sans peine par un raisonnement analogue à celui du n"31); la courbe est au-dessus de sa tangente; dans le voisinage du point de contact, elle se confond presque avec la parabole définie par l'équation j'^ i — .r -f- 9.x^ .
Le cas où le numérateur de la fraction -g s'annule pour x =: o, sans
que le dénominateur s'annule, est compris dans ce qui précède; il convient de remarquer alors que la fraction est nulle pour j? = o, et que c'est le monôme obtenu en divisant le premier terme de A par le premier terme de B qui renseigne sur le signe de la fraction, pour les petites valeurs de x, et sur le sens de la variation.
Ainsi la fraction -^r—- — ^ se comporte, pour x très petit en valeur
absolue, comme ::X^; elle est croissante pour ;r = o, du même signe que Xj pour les valeurs de x voisines de o.
Les poljnomes -a:^, -^r^ x\ ... sont des expressions approchées de cette fraction.
60. Examinons maintenant le cas où le dénominateur B s'annule pour ^ = o, et supposons d'abord que le numérateur ne s'annule pas.
En posant comme plus haut A = «o-H ^i-^ -H «2-^* + • • •? ^o devra être supposé différent de o. Au contraire, B commencera par un terme contenant une certaine puissance de x que l'on pourra mettre en facteur; en d'autres termes, on pourra mettre B sous la forme B = B'^'",
l66 CHAPITRE IV.
OÙ B'=: 60 + 6i ^ -H 62^^ -h • • • est un polynôme en x qui ne s'annule
pas pour a: = o.
Je suppose qu'on fasse la division de A par B' en s'arrêtani dès que
le reste est divisible par x^ ; la partie écrite au quotient sera alors un
polynôme de degré r — i au plus, et Ton parviendra à une identité
de la forme
A = B'Q-4-Sjrr,
où Q = Co + C| a: 4- C2^^ -h . . . 4- Cr-\ ^'~' est un polyi\ome en x^
dans lequel le premier terme Co=: y^ n'est pas nul, et où S est polynôme en :»; on en conclura
un
(on parviendrait d'ailleurs tout aussi bien à cette identité en faisant directement la division de A par B, quitte à introduire des termes de degré négatif, on s'arrête alors dès que le premier terme du reste esl de degré nul ou positif).
L'égalité précédente suppose que x ne soit pas nul; il est d'ailleurs clair que la fraction proposée n'a pas de sens pour :r = o; on se propose seulement de reconnaître comment elle se comporte pour des valeurs de x voisines de o; dans ces conditions, B' n'est pas nul, et,
S pourvu que x reste suffisamment près de o, la fraction rationnelle ttt»
dont le dénominateur n'est pas nul pour :z: = o, reste aussi \oisine
qu'on le veut de la valeur qu'elle prend pour ^ = o.
Si l'on pose — = ^, l'expression
prend la forme
y{z') = co-5'-+-c, ;;'•-• -h. ..-h C;.-|5.
C'est un polynôme en :;, de degré r, ordonné suivant les puissances descendantes de z et ne contenant pas de terme constant.
Quand x est petit en valeur absolue, z est grand en valeur absolue; il en est de même du polynôme P(^), lequel est alors du signe de
son premier terme Co5'*=-4; il en est de même de la fraction ^•
DBS FRACTIONS RATIONNELLES. 167
Pourvu que z soît assez grand, en valeur absolue, ou, ce qui revient au même, pourvu que x soit suffisamment voisin de o, la valeur absolue de P(^) est aussi grande qu'on le veut. Il en est de même de
la fraction — ; c'est ce qu'on exprime en disant que cette fraction
devient infinie quand x tend vers o (on dit aussi, plus brièvement, qu'elle est infinie pour x = o).
Quant au signe, tout dépend de la parité de r et du signe de Cq.
Supposons /• impair; si Co est positif, la fraction est négative pour X négatif, positive pour x positif; on dit que, x croissant, elle passe, pour a: = o, de — oo à -f- oo. Si c© est négatif, elle passe, au contraire, de -h 00 à — 00.
Lorsque r est pair, la fraction, pour des valeurs de x voisines de o, est du signe de Co, que x soit positif ou négatif. On dit qu'elle passe par -h 00 ou — 00 suivant que Co est positif ou négatif.
Considérons, par exemple, la fraction
