I -^x ar'(i — x
OU la courbe définie par l'équation y = —j- -•
Lorsque x est très petit en valeur absolue, y est très grand en valeur absolue; le point de coordonnées :r, yest très près de l'axe des j^, très
Fig. 19.
loin de l'axe des x ; la courbe, quand x est voisin de o, offre une disposition analogue à celle qu'indique la figure. Elle présente deux branches infinies, dont on dit qu'elles suât asymptotes à l'axe des^.
l68 CHAPITRE IV.
l'une vers le bas, à gauche de l'axe des y, l'autre vers le haut, à droite : en disant qu'une branche de courbe est infinie, on entend qu'elle comporte des points dont l'une des coordonnées, au moins, est aussi grande qu'on le veut, en valeur absolue ; en disant qu'une branche infinie est asymptote à une droite, on entend que ses points se rapprochent autant que l'on veut de cette droite, pourvu que leurs coordonnées, ou l'une au moins de leurs coordonnées, soient suffisamment grandes en valeur absolue.
On aura une disposition analogue, dans le cas général, pour les
valeurs de x voisines de o, si r est impair et si c© est positif; si r est impair et Cq négatif, la disposition sera celle de la figure ci-dessus.
Fig. 21.
Fig. 33.
Si /• est pair, on aura l'une ou l'autre des dispositions ci-dessus, suivant que Co est positif ou négatif.
61 . Revenons au cas général et à Tégalité (i) du numéro précédent ; la différence
S est égale à la fraction rationnelle ^7^ dont le dénominateur ne s'annule
pas pour ^ = o et qui, ainsi, est une fonction continue de x pour j:= o. La différence précédente n'a pas, par elle-même, de sens pour x = 0, mais il suffit de lui attribuer, pour x = o, la valeur que prend,
S pourjc = o, la fraction ^7^ pour qu'elle devienne une fonction continue de X, pour x ^ o.
Ainsi, dans l'exemple traité un peu plus haut, la différence
égale (sauf pour j? = o) à la fraction — '■ — > tend vers 2 quand x tend
vers o; si, pour j: = o, on lui attribue la valeur 2, elle devient, pour X = 0, une fonction continue de x.
En écrivant
on a décomposé le premier membre en deux parties, dont l'une, le polynôme en - sans terme constant
est la partie de la fraction qui devient infinie quand x tend vers o, dont l'autre partie, dans les mêmes conditions, reste bornée et tend vers 2. 11 est clair que cette partie de là fraction rationnelle qui devient ainsi infinie est la plus importante à considérer pour les valeurs de x voisines de o; en en substituant la valeur à celle de la fraction, on ne commet qu'une faible erreur relative, et c'est pour cela que j'ai supposé la division de A par B' arrêtée au moment où l'on avait obtenu cette partie. On peut, d'ailleurs, si cela est utile, pousser la division plus loin, de manière à obtenir des expressions de plus en plus rap-
prochées de la fraction. Je n'insiste pas sur ce sujet, qui a été suffisamment éclairci.
Les explications qui précèdent permettent d'énoncer la proposition suivante :
Si, dans la fraction rationnelle -=71 le numérateur est différent
de o pour j? = o, tandis que le dénominateur s^ annule pour x = o^ en sorte quil soit divisible par x^ {et non par une puissance de x plus élevée), cette fraction devient infinie quand x tend vers o. // existe un polynôme en z^ P(^)î de degré r, ne contenant pas de
terme constant^ tel que V expression (le polynôme en -y9l-\ soii
la partie de la fraction k qui devient infinie quand x tend verso :
la différence tt- — P( -) s'approche indéfiniment d'un nombre fixe ('),
quand x tend vers o, nombre auquel on donne souvent le nom de
vraie valeur, pour o: = o, de la différence ^ — ^ ( "" )' ^^ attribuant
sa vraie valeur, pour o? = o, à cette différence, elle devient une fonction continue de x, pour x = 0,
Le poljnome P(>3), défini plus haut, est le seul polynôme en z sans
terme constant, tel que la différence ^ — ^ ( ~ ) reste bornée quand x
tend vers o : si, en eflet, un autre polynôme P'(2), sans terme constant, jouissait de la même propriété, la différence
resterait aussi bornée quand x tendrait vers o, ou quand z deviendrait infini; or cela est impossible si les deux polynômes P'(z) et f{z) ne sont pas identiques.
(>) Il suffit, pour plusieurs raisonnements qui suivent, d'observer que ceUe différence reste bornée quand x lend vers o, c'est-à-dire qu'il y a un nombre positif auquel^ elle reste inférieure, en valeur absolue, pour toutes les valeurs de x, autres que o^ qui sont suffisamment voisines de o. Il est à peine utile de dire que, lorsque deux fonctions de x restent bornées, dans certaines conditions, il en est de même de leur somme, de leur différence, de leur produit, et que les mots « reste bornée » s'opposent à l'expression « devient infinie ».
DBS FRACTIONS RATIONNELLES. I7I
62. Considérons enfin le cas où le numérateur et le dénominateur
de la fraction rationnelle — s'atinulent pour jj == o; on pourra alors
poser A = A'x^, B = B'a:'', en désignant par q^ r des nombres naturels, par A', B' des polynômes en x qui ne s'annulent pas pour x=zo. La fraction ^ ^^'^i P^^ ^^ sens pour j: = o ; pour les autres valeurs de Xj elle est égale à
B' ' B' B'xr-i'
suivant que l'on a q> r^ q =^ r<f q <^r. On est ramené aux cas précédemment étudiés : dans les deux premiers cas, la fraction ^ a une vraie valeur pour a? = o (nulle si 5^ est plus grand que r), dont elle s'approche indéfiniment quand x tend vers o; en lui attribuant, pour JT = o, cette vraie valeur, elle devient une fonction continue de a?, pour X = 0. Dans le troisième cas, la fraction augmente indéfiniment en valeur absolue, quand ;r tend vers o; il existe un polynôme P(5) de degré r — 9, sans terme constant, tel que P( - ) soit la partie de la fraction qui devient infinie pour x = Oj en entendant les choses comme on a fait plus haut.
A 63. Supposons maintenant que l'on veuille étudier la fraction ^
pour les valeurs voisines du nombre Xq ; on remplacera dans les polynômes A, B, X par Xq-\- A, et l'on ordonnera suivant les puissances ascendantes de h. On est ramené à étudier une fraction rationnelle en h pour les valeurs de h=zx — Xq qui sont voisines de o. Les résultats suivants deviennent évidents.
Si Xo n'est pas racine de B, la fraction ^9 pour les valeurs de x voisines de jTq, restera voisine de la valeur qu'elle prend pour x = Xo; elle sera une fonction continue de x, pour x = Xo, Les méthodes précédentes permettent de reconnaître si elle est croissante ou décroissante pour x = Xo^ si elle passe par un maximum ou un minimum, quel est son signe quand x est voisin de Xo ; elles permettent aussi de trouver des polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de A ou de o: — Xq^ qui la représentent d'une façon très approchée, pourvu que x soit suffisamment voisin de Xq,
Si Xq est une racine de B, d'ordre de multiplicité r, et si x^ n'est
pas racine de A, la fraction devient infinie pour x = Xqj et il existe un polynôme P(s) de degré r, sans terme constant, tel que la différence
B \x — Xo/
tende vers une valeur finie quand x tend vers Xq ; il n'existe d'ailleurs qu'un seul polynôme, sans terme constant, qui jouisse de celte propriété.
Si Xo est en même temps racine d'ordre de multiplicité q pour le numérateur A, les choses se passent de la même façon lorsque q est plus petit que r, si ce n'est que le polynôme P{z) n'est plus que du degré r — q. Si q est égal à r, la fraction, quand x tend vers o, tend vers une valeur différente de o; si q est plus grand que /•, elle tend vers o. On peut, dans les différents cas, reconnaître son signe, le sens de sa variation, on peut en former des expressions approchées, etc.
64. Supposons enfin qu'on veuille étudier la fraction lorsque x est très grand en valeur absolue. Appelons n et p les degrés respectifs des deux polynômes A et B et écrivons la fraction, en ordonnant ces polynômes suivant les puissances descendantes de x,
on changera x eu. -9 et l'on aura
gp-h g|^H- ga>s'-f-. . .-4- an^" A ^«
B ^o-hPi^-f-pa^'-
[jpi
OU, suivant que l'on aura rK^p^ n = p, n >/?,
s/'-"(ao-+-a,^ H- «jS^H-. ,,) -^'-''(!io-+-fii-H-p2-*-+-...)'
on est ramené à des cas déjà étudiés, puisque, lorsque x est très grand en valeur absolue, z est très voisin de o.
On voit de suite que, si le degré du dénominateur de la fraction proposée (en x) est supérieur au degré du numérateur, la fraction tend vers o quand x augmente indéfiniment ; sa vraie valeur est o pour
^infini. Son signe est le signe de -^^^~" ou de -r — ^— • Si le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur, la fraction s'approche de j~ quand x augmente indéfiniment en valeur absolue ; la
vraie valeur de la fraction est le rapport des coefficients des termes du plus haut degré ; enfin, quand le degré du numérateur l'emporte sur le degré du dénominateur, la fraction augmente indéfiniment, en valeur absolue, quand x augmente indéfiniment, en valeur absolue ;
elle est du signe de '^x"~p.
Dans ce dernier cas, il convient d'effectuer la division du numérateur par le dénominateur au sens du n" 51 ; on a alors A =: BQ 4- R, R étant un polynôme de degré moindre que B; on peut écrire encorey
et, d'après ce qu'on vient de dire, ^ tend vers o quand x augmente
indéfiniment, en sorte que le polynôme Q, pour x très grand, est une
expression approchée de tt* C'est le seul polynôme dont la différence
avec ^ tende vers o quand x augmente indéfiniment en valeur absolue.
Considérons, par exemple, la fraction
et la courbe définie par cette équation, y s'obtient en ajoutant à
x^-\- X — I la quantité ^p-^-— qui est, en valeur absolue, très petite
pour X très grand, qui est, d'ailleurs, du même signe que x. La courbe, quand x est très grand, en valeur absolue, est très voisine de la parabole dont l'équation est jk ^= •2^' ~h ^ — i ? un peu au-dessus
pour X positif, un peu au-dessous pour x négatif; on dit que la courbe est asymptote à la parabole. Je laisse au lecteur le soin de là construire.
On obtiendrait une droite pour asymptote si le degi'é du numérateur était égal, ou supérieur d'une unité^ au degré du dénominateur.
60. Décomposition en éléments simples. — Considérons une fraction rationnelle de la forme
où le numérateur /(a;) est un polynôme quelconque, pouvant même se réduire à une constante, où a, fr, . . ., / sont des nombres distincts et a, p, . . ., X des nombres naturels; en sorte que a est une racine du dénominateur d'ordre de multiplicité a^ b une racine d'ordre de multiplicité p, etc. Pour abréger, je désignerai le dénominateur par o{x). Quoique cela ne soit pas indispensable, je supposerai, afin de simplifier un peu ce qui suit, qu'aucun des nombres a, 6, ..., / n'annule f{x).
On a vu qu'à la racine a de o(^), par exemple, correspondait un polynôme en ^, sans terme constant, qui, lorsqu'on y regarde z
comme égal à ■> constitue la partie de la fraction qui devient
infinie quand x s'approche de a, la différence entre la fraction et ce polynôme restant bornée : il est le seul à jouir de cette propriété. Ce polynôme est de degré a si l'on suppose que a n'est pas racine
de f{x) : après qu'on y a remplacé z par — -— , il est de la forme Ao , A, Aa-i
OÙ Ao, A|, . . ., Aa i sont des constantes que l'on a appris à calculer, et dont la première A© n'est pas nulle; je désignerai cette expression
par Pfl ( ^ j . C'est la partie de la fraction qui devient infinie quand
X s'approche de a.
Aux autres racines 6, c, . . ., / de j? correspondent de même des
DES FRACTIONS RATIONNELLES. IjS
expressions
oblenues en remplaçant z par ^ , > — — — > • • •> __ . dans des polynômes P^{z)y Pc(>z), ..., P/('3), dont les degrés sont respectivement fl, y, ..., X, et qui, tous, manquent de termes constants. Chacune de ces expressions est la partie de la fraction rationnelle donnée qui devient infinie quand x s'approche de la racine de ©(^) qui lui correspond.
Si le numérateur /(x) est dç degré supérieur ou égal au degré a-|-P+...-|-À de ^{x)y il existe un polynôme E(a?), la partie entière de la fraction rationnelle, que l'on obtient en prenant le quolienl de la division de /(x) par ç(x), dont la valeur, quand x augmente indéfiniment, s'approche autant qu'on le veut de la valeur de la fraction proposée : c'est le seul polynôme qui jouisse de cette propriété. Quand le degré de /(x) est inférieur au degré de o(x)^ ce polynôme ^(x) doit être regardé comme identiquement nul.
Mon objet est maintenant de montrer que la fraction proposée est égale, pour toutes les valeurs de Xj à
Cette forme de la fraction "^ — -y si l'on en admet pour un instant la
légitimité, met bien en évidence la façon dont elle se comporte quand x s'approche d'une des valeurs a, è, . . ., / qui annulent son dénominateur, ou lorsque x devient infini. Lorsque a:, par exemple,
s'approche de a, les parties autres que P^ ( j restent bornées.
Lorsque x augmente indéfiniment, c'est la partie ^{x) qui devient infinie; les autres parties deviennent nulles ou, plutôt, tendent vers o. Il est bien clair, par ce qui précède, que la fraction proposée ne peut être mise sous une pareille forme que d'une seule façon.
On va établir la légitimité de ce mode de décomposition en expliquant en même temps le procédé le plus pratique pour le réaliser.
Je rappelle d'abord que, pour obtenir P^ ( 1 > on procède
comme il suit : en posant x= a -{- h et
(p, (rr) = (x — b)P(x — c)Y. . .(ar — /)\ on a
ç(a7) (a? — a)<»çi(a:) yi«îpi(a -+- A) *
On effectue la division de /(a -f- A) par 0| (a + A), en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de h et en s'arrétant dès que le reste est divisible par A*; l'opération même conduit à une identité de la forme
^ — -^ = Ao-4-AiA-h...-hAa iA«-«H -/-.
où R(A) est un polynôme en A; en divisant les deux membres par A", on obtient (*)
/(g -h A) ^ Aq Al A«-| R(A)
«9i(aH- A) "" A« "*" A«-i "^•••"^ /i "^ (pi(a-f-A)'
En remettant dans cette identité x — a à la place de A et en désignant par/i(^) ce que devient R(A), on obtient
(I) /(£)=__^L__4__A^-.. I Ag-i ^ /|(a:)
\x — aj r^i{x)
On opère sur la fraction -^V-r» relativement à la racine è de ©1 (x).
f(x) comme on a opéré sur la fraction - ^ , . relativement à la racine a
de ?(^), c'est-à-dire qu'on cherche la partie de f^ . qui devient infinie quand x s'approche de b : c'est certainement P^ ( __ , - j ^ puisque, la différence -^^—1 — P^ ( — ZTh) "^^^^^^^ bornée quand x s'ap-
(') On peut tout aussi bien parvenir à cette dernière identité en efTecluant la division de /{a -h h) par h'^^i^a -h h), les deux polynômes étant ordonnes par rapport aux puissances croissantes de A : on introduit alors au quotient des puissances négatives de /i, et l'on s'arrête dés que le reste commence par un terme en h dont l'exposant est égal ou supérieur ù a.
proche de 6, il en est de même, en vertu de l'identité (i), de la différence
Or il n'y a qu'un seul polynôme en > sans terme constant, dont la différence avec*^^-: — puisse rester bornée quand ^ s'approche de b. Le calcul de la partie de " ^ qui devient infinie quand ^ s'ap-
proche de 6, conduira donc à une identité analogue à l'identité (i)
On continue de la même façon; on détermine la partie de •^^4 — - Qui
devient infinie quand x s'approche de c; c'est Pc ( )» etc.
Finalement, en supposant qu'il y ait /• nombres «, 6, ...,/, on
arrive à une fraction -/-^ — ^r» dont le dénominateur n'aura plus
qu'une seule racine distincte : on la traitera de la même façon; mais les calculs sont ici particulièrement simples : on ordonne fr{^) suivant les puissances de ^ — /; les premiers termes, de degré inférieur
à \ donneront en divisant par {x — l)^ les termes de P/ ( — ^—. j , les
termes suivants, s'il y en a, divisés par [x — /)^, fourniront un polynôme en X, que je désignerai par E(^), et l'on obtiendra l'identité
en ajoutant membre à membre les identités (i), (2), . .,, (3), on arrive à l'identité
ijs = »" (î^) - ■>' (ïèi) - - -' (^) -^<')-
En vertu d'une remarque déjà faite, le polynôme E(j7) ne peut différer de la partie entière de la fraction proposée, puisque la diffé-
rence entre "^ ' et E(.r) tend vers o quand x devient infini.
Si le degré de f{x) est égal ou supérieur à celui de ç(^), il e>i commode de commencer par déterminer cette partie entière E(a?) en divisant, au sens du n° 51, /(^) par o(^), ce qui conduit, en désignant par F(a:) le reste, à l'identité
on opère ensuite, pour trou\er Pa(-^^ — y P* ( r)» ••• sur la
fraction — — -> plus simple que la fraction —, — : le résultat est le même, toujours pour la même raison; la différence
restant bornée quand x s'approche de a, il en est de même deladiffé-
rence — — '- — P„ >
F( x") Mettre la fraction rationnelle —7—: sous la forme (4), c'est ce qu'on
appelle la décomposer en éléments simples : ces éléments simples sont, d'une part, les termes du polynôme E(:c) et, d'autre part, les
termes des parties fractionnaires P^ ( )> P^f' t)> ••■; «
chacun de ces termes, formé d'une fraction dont le numérateur est une constante el le dénominateur une puissance àe x — a, x — ^, . . .> on donne le nom de fraction simple. La puissance la plus élevée à laquelle est élevé chacun de ces binômes est l'ordre de multiplicité de la racine correspondante dans ^{x)^ à supposer, comme on l'afait^ que cette racine n'annule pas/(x). Si l'on supprime cette restriction et si a, par exemple, était une racine de /(a;), d'ordre de multiplicité a'<^ a, la partie de la fraction qui devient inGnie quand x s'approche de a commencerait par un terme de la forme ^— ;> au
lieu de commencer par un terme de la forme r-; et, lors même
qu'on n'aurait pas supprimé d'abord le facteur commun à f{x) et à ç(^), les calculs pourraient s'effectuer de la façon même que l'on a expliquée.
DES FRACTIONS RATIONNELLKS. I79
Soit, par exemple, à effectuer la décomposition de la fraction
x^ — a:2 -+- f x'^ix — i)'(^ — ^)
On a ici a = o, 6 =^ i, c = 2, a = 3, p = 2, y = !• H n'y a pas de partie entière. Pour déterminer la partie P© ( - )? qui devient infinie pour a; = o, on
doit diviser, en ordonnant suivant les puissances croissantes, i — x^ '\- x^ par — 1-T-Sx —4^'-!-^'; on s'arrête dès que le reste est divisible par ar* et Ton parvient ainsi à l'identité
ou, en divisant par a:',
i — x^-^x^ II 5 I 1 3 I 8 ^ ^ ^
x^{x — 1)*(^ — 2) 1 x^ 4 ^* 8 a: (a: — i)*(iP — 2)
On va maintenant, en partant de la fraction qui figure à la fin du second membre, déterminer la partie Pj ( )> qui devient infinie pour a; = i.
Faisons abstraction, pour un instant, du facteur -; on pose, dans la fraction
— v». -+- ar
a' = i-}-A, et l'on ordonne par rapport aux puissances croissantes de h^ elle devient
on effectue la division, en s'arrétant dès que le reste est divisible par A*; on parvient ainsi à l'identité
en divisant par /i', remettant x — 1 ù la place de h et multipliant par -, on
trouve
(ar — ij*(a7 — 2) ix — 1)2 X — I 8 a? — 2
il n'y a pas lieu d'aller plus loin, puisque la dernière fraction est sous la forme
voulue, et Ton a
Il 5 I
2 ar» 4 272
66. Il convient de s'arrêter sur le cas où, a^ b^ c^ . ,.^ l étant toujours des nombres distincts, on a affaire à une fraction de la forme
