JU

les nombres que l'on désignait dans le numéro précédent par a, ^, y, . . ., X étant tous égaux à i . Dans ce cas, le polynôme en que

l'on désignait par P^ ( — ^ — ) se réduit à la fraction simple — —> Le polynôme que l'on désignait par Oi (x) se réduit à

Ao est le premier terme du quotient de la division des polynômes (en A) /(a 4- A), <pi(a + A), ordonnés suivant les puissances croissantes de A, polynômes dont les premiers termes sont respectivement /(a) et <fi (a), en sorte que l'on a

A =/l^ = li^ .

' cp,(a) (a-6)(a-c)...(a-/)'

le nombre Çi(a) est la valeur, pour x = a^ de la dérivée ç'(^) du polynôme (f{x) : on a, en effet, 'f{x) = (a? — a) o, (x) et, par suite,

^{a-h h) = h^i(a -h h) = /tÇi(a) -h . . .

en n'écrivant pas les termes A^, A', ... ; on voit bien que le coefficient de A dans le développement de cp(a-4- A), ordonné suivant les puissances croissantes de A, c'est-à-dire (n** 33) la valeur, pour J7 = a, de la dérivée de o(^), est '^, (a). On peut donc écrire aussi :

o(a) • Comme le même raisonnement s'applique aux autres racines 6,

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l8l

c. ..., A:, / de ?(^), on peut écrire, en désignant par E(x) la partie entière de la fraction • , [ ^

U)fM- /^^ /(6)ir ^/(0 L^E(^s

67. En multipliant par <f{x) les deux membres de cette identité, elle devient

celte formule, qui joue un rôle considérable dans diverses questions d'ordre pratique ou théorique, est connue sous le nom de formule d'interpolation de Lagrange, Il ne faut pas oublier que le polynôme E(j?) doit être regardé comme identiquement nul quand le degré de cp(^) dépasse celui de f{x).

Elle fournit immédiatement la solution du problème suivant : Etant donnés n nombres distincts a, b^ , . .^ l^ déterminer tous les polynômes en x qui prennent des valeurs prescrites A, B, . . . , L pour a: = a, a: = 6, ,.., x = L

Si Ton pose, en effet, (9{x) = (x — a)(x — b) ...(x — l), et si Ton désigne par f(x) un des polynômes cherchés, on devra avoir

l82 CHAPITRE IV.

et, par suite,

(a — b ) ( a ^ c) . . , (a — /) (T — a)(x-'C).,.(x — l) ■^ {lj — a)(b — c).,.(b — l) "^••"

Le raisonnement même montre que le polynôme cherché f{x) doit nécessairement avoir la forme qu'exprime le second ou le troisième membre de cette égalité, et la forme même du troisième membre montre effectivement qu'il prend les valeurs A, B, . . ., L quand on y fait :zr = a, 6, . . . , /. Pour x =: a^ par exemple, le polynôme qui rpultiplie A se réduit à i , les polynômes qui multiplient B, . . . , L s'annulent, ainsi que ?(^), et cela quel que soit le polynôme E(j;). Ce dernier peut donc être choisi arbitrairement.

Le produit E(x)o(x)^ quand E(^) n'est pas identiquement nul, est de degré au moins égal à n ; son terme du plus haut degré ne peut être détruit par les termes du second membre de l'identité (2) qui précèdent E(^) cp(:r), termes qui sont au plus du degré n — i .

Si donc on impose à/(x) la condition d'être de degré inférieur à /i, E(^) doit être identiquement nul, en sorte qu'il y a un seul polynôme g{x)^ de degré inférieur à /i, qui prenne des valeurs prescrites A, B, . . ., L pour x=: a^ b, , , , j t^ k savoir le polynôme

un polynôme quelconque qui prend ces valeurs prescrites est de la forme g{x) -\- E(^) ^(^27), le polynôme E{x) étant arbitraire.

Au reste, on reconnaît directement que si les deux polynômes g{x)^ f{x) prennent l'un et l'autre les valeurs prescrites A, B, ..., L pour a: = a, 6, . . ., /, leur différence /( a: ) — g{x) doit être divisible

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l83

par ^(j:) (n** 38); si les polynômes /(x) et g{x) doivent être de degré inférieur à /i, cette diflerence doit être identiquement nulle : on voit ainsi que le problème consistant à trouver un polynôme de degré inférieur à n qui prenne les n valeurs prescrites A, B, . . . , L pour les n valeurs distinctes «, 6, . . . , / de ^ ne peut admettre qu'une solution, solution qui est évidemment fournie par la formule (3), et que tous les polynômes, de degré quelconque, qui prennent ces valeurs prescrites, se déduisent de l'un d'eux comme on l'a expliqué.

Le problème de V interpolation consiste, en général, à trouver une fonction qui prenne des valeurs prescrites pour des valeurs données de la variable. C'est un problème capital pour les sciences d'observation, où la loi d'un phénomène ne peut jamais être obtenue que par un nombre fini d'expériences : une série d'expériences, par lesquelles on cherche à reconnaître comment une variable y dépend d'une variable x^ fournit un tableau de nombres où figurent les valeurs ^i, yii ''"iyn à^y qiii correspondent aux valeurs x^^ ^o, . . ., Xn de x. Si Ton a déterminé une fonction g{x)y par exemple, comme tout à l'heure, un polynôme, qui pour :r = ^Ti, :r,, ..., Xn prend des valeurs ji, Va, .. ., ^/i, on admet que cette fonction g{x) fournira les valeurs de r pour les valeurs de x qui ne s'écartent pas trop des nombres x^^

Xj, Xnt soit que ces valeurs soient comprises entre le plus petit

et le plus grand des nombres x^^ x^^ .. ., Xn (interpolation proprement dite), soit qu'elles dépassent un peu, en dessus ou en dessous, le plus petit ou le plus grand de ces nombres (extrapolation).

On a vu, par la théorie précédente, comment, lors même qu'on se borne à des polynômes, le problème posé est indéterminé : il en est de même, d'ailleurs, du problème qui consistée trouver une loi : deux lois d'un même phénomène, exprimées par des formules différentes, sont également vraies, lorsque les différences entre les nombres que fournissent ces formules sont de l'ordre de grandeur des erreurs d'obser\alion. Parmi ces lois, on choisira celle qui est susceptible de l'expression la plus simple. Ce dernier mot aurait d'ailleurs besoin d'être précisé. S'il s'agit, par exemple, de deux polynômes, il est naturel de choisir celui des deux qui est de moindre degré.

Le lecteur, enfin, ne peut manquer de se demander s'il est vrai que deux fonctions qui prennent les valeurs prescrites pour ^ = a:,, a:2, . . . , j:„ aient toujours des valeurs voisines quand x n'est pas égal à l'un de ces nombres, et sous quelles conditions cela est

l84 CHAPITRE IV.

vrai. Je me borne à soulever ces questions qui ont fait l'objet d'un grand nombre de travaux.

68. La formule (i) du numéro précédent, qui suppose seulement que les nombres a, 6, . . . , / soient distincts, fournit une suite d'identités en égalant dans les deux membres les coefficients d'une même puissance de x ; je me borne à celle qui provient de l'identification des termes en ^""% lorsque le polynôme f{x) est de degré inférieur à /i, et que, par conséquent, le polynôme E (a:) est identiquement nul;

les coefficients de j:"~* dans les polynômes ^ > -^ — i» ...i - — -,

étant évidemment égaux à i, on voit que, dans le second membre, le coefficient de a:"~* est la somme

yM^/(^. , fit) ,

cette somme, lorsque le polynôme f{x) est de degré inférieur à n^ est donc égale au coefficient de a:"~* dans/(a7) ; elle est nulle en particulier quand f{x) est de degré inférieur à n — i; en prenant f{x) = x''j où r est l'un des nombres o, i , 2, . . . , n — i , on a

a'' bf Ir

pour /• = o, i , 2, . . . , n — 2, et, pour r=: n — i ,

et cela, quels que soient les n nombres distincts a^ b^ . ..^ L

§ 3. - FONCTION H0M06RÂPHIQUE.

69. Je terminerai ce Chapitre par l'étude de la plus simple des fonctions rationnelles, à savoir la fraction

__ ax -\-b •^■" a'x-^b''

où a, 6, a', h' sont des constantes et dont les termes sont du premier

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l85

degré en x. Elle joue un rôle considérable tant en Algèbre qu'en Géométrie.

En faisant la division du numéraleur par le dénominateur (n"* o 1 , 64) et en posant, pour abréger,

a'b'-^ab' b'

on la met sous la forme

a a'b — aU a B

Cesl Tapplication, à ce cas simple, de la méthode de décomposition en éléments simples exposée plus haut. Sur cette forme, la façon dont y varie avec x apparaît de suite.

Le binôme x — a croît depuis — oo jusqu'à + oo quand x croît de — oc à + 00. Il s'annule pour ^ = a ; pour cette seule valeur de x^ y n'est pas une fonction continue de x. Quand x croît de — oo à une

valeur a — e, un peu plus petite que a, décroît de o ( * ) jusqu'au

nombre très grand en valeur absolue, quand x traverse la valeur a, — — - passe de — oo à 4- oo ; quand x croît de a -f- e à + oo^

décroît encore de - jusqu'à o. La fraction — - — varie dans le

même sens que > ou dans le sens contraire, suivant que ^ est

positif ou négatif : la partie constante ~ n'influe pas sur le sens de la variation. Par conséquent :

Lorsque x croît de — oo à -|- oo, la fonction —, r? croît toujours,

ou décroît toujours, suivant que ab' — a' b est positif ou négatif: dans le premier cas, elle croît de —jk + »? puis de — oo à — ; ; elle

passe de + 00 à — oo quand x traverse la valeur ?; dans le second

cas, elle décroît de — à — oo, puis de -j-oo à — ?; elle passe de — oo

(^) C'est une façon de parler pour dire que, lorsque x est très grand en valeur absolue, est très petit en valeur absolue.

LA

à -I- 00 quand x traverse la valeur ;• Les variations de cette fonction sont figurées ci-dessous ; la courbe est asymptote aux deux parallèles aux axes dont les équations sont y=. —,i x=^ — — ,• A deux

valeurs différentes de x correspondent toujours deux valeurs diffé-

j ax -\- b rentes de -; ji'

Fig. 23.

Fig. 24.

Tout ceci suppose que p = al b — aV n'est pas nul ; dans le cas où ^ serait nul, — ; y, serait toujours égal à — > et ainsi ne dépendrait