CL X \ 1/ CL

pas de X : toutefois, pour x = ?> la fraction proposée n'a pas de

sens, et -7 n'est la valeur de cette fraction que par convention (*). Lorsque les variables x^ y sont liées par la relation

ax -+- b

et que ^ n'est pas nul, on dit que y est une fonction homographique

( * ) Quand ,3 devient de plus en plus petit, en valeur absolue, la courbe se rapproche de plus en plus de ses asymptotes; jusqu'à se confondre avec elles pour ^ — 0.

de X, OU encore que la valeur de y est la valeur de ^ à laquelle elle correspond, transformée par Thomograpliie que déterminent les nombres a, 6, a', 6'.

Une des propriétés les plus importantes des fonctions homographiques apparaît sous la forme, précédemment obtenue, de l'équation qui lie x et^,

En désignant par ^<, x^^ ^3, x,, quatre valeurs distinctes de x^ par ji, J/-2, yz^ y* les valeurs correspondantes de y, qui sont aussi différentes entre elles, on a évidemment

— P(Xi — X:i) — ^(Xi — X,,)

.y»— r3 . .rs — rs ^ ^-t — a-., , ar, — X3 ^ ri— r* ' J'J — r* Xi — X,, ' Xf—X,,'

on désigne sous le nom de rapport anbarmonique des quatre nombres ^i, ^r^, ^3, x^ rangés dans Tordre qu'on vient d'écrire, la quantité

3:1 — Xj , Xj— Xj (Xj — X:i) (x^—x,,) Xi — X,, ' Xi — X,, "~ {Xi — Xi){X2—Xi)'

et l'on exprime la propriété précédente en disant que, quand^ est une fonction homographique de x^ le rapport anbarmonique de quatre valeurs de x est égal au rapport anbarmonique des valeurs correspondantes de y, La proposition subsiste, comme il est aisé de le voir, dans le cas où a' est nul, qui échappe à la démonstration précédente. L'intérêt de cette propriété consiste en ce qu'elle ne dépend que de la forme de la relation entre x et y, nullement des valeurs particulières des coefficients a, 6, a', b'. Elle caractérise d'ailleurs la correspondance homographique : en d'autres termes, si à chaque valeur de x correspond une valeur de ^, de façon que le rapport anbarmonique de quatre valeurs quelconques de x soit toujours égal au rapport anbarmonique des valeurs correspondantes dey, y est une fonction homographique de X.

l88 CHAPITRE IV.

Cela résulte de ce que, si Ton considère trois valeurs fixes de x, à savoir x^, Xo, ^3 et les valeurs correspondantes ^i, j'a, y^ de y, on doit avoir, entre une valeur quelconque de x et la valeur correspondante de y y la relation

(y—yi)(yi—.rA) (^ — ^»)(^i — a-i)

qui, résolue par rapport k y, permet d'exprimer ^ en fonction de r

sous la forme

^ aa: -{- b y - a'x-^b''

La démonstration même que l'on vient de faire prouve que, si Ton se donne trois couples de nombres correspondants (^i,^i), (^2/2)? (^5,^3), tels que les nombres x^^ x-2j x^ soient distincts, ainsi que les nombres y i, ^^2? ^s? il existe une fonction homographique de x^ et une seule, celle-là même qu'on vient de déterminer, qui prend les valeurs yi, ^2,^3 pour x = x^^ X2j x^^.

Au lieu de dire que y est une fonction homographique de x quand j s'exprime au moyen de x par la formule

ax -^ b •^" a'x-^b''

où «, 6, a', è' sont des constantes, on dit souvent que les deui variables x^y se correspondent homographiquemenl lorsqu'elles sont liées par une équation de la forme

A xy -I- B a? -f- Cy -f- D = o,

où A, B, C, D sont des constantes ( * ) dont quelques-unes peuvent d'ailleurs être nulles : cette équation, qui est du premier degré, soit

(') Il est bien entendu qu*on a affaire à la même fonction homographique quand

on remplace les coefficients a, 6, a\ b' par des coefficients proportionnels, qu'on a

affaire à la même correspondance homographique quand on remplace les coefficients A,

B, C, D par des coefficients proportionnels. Je laisse au lecteur le soin de démontrer

. ax ~h b CLX -\- Y^ que les deux fractions —, n» -; ^ ne peuvent être égales pour toutes les

valeurs de x sans que les coefficients a, p, a', y soient proportionnels aux coefficients a, b, a\ b'.

par rapport à y, soit par rapport à x^ détermine l'une des variables, lorsqu'on se donne l'autre. On en tire

^ — Bjt— D —C^ — D

^~ AxH-G ' ^~* A^-f-B

Chacune des deux variables est bien une fonction homographique de l'autre; mais, sauf le cas où l'on aurait B = G, chacune d'elles n est pas la même fonction de l'autre. Si l'on a B =G, la relation est dite involutii^e.

Dans le cas où l'on aurait BG — AD = o, qui correspond au cas où l'on aurait, avec les notations antérieures, ab^ — a'b = o^ la correspondance homographique est dite impropre. Dans ce cas, l'équation d'homographie qui, lorsque A n'est pas nul, peut toujours s'écrire

i. [( Aar -+- C)(AjK -+- B ) -+- AD — BC] = o,

se réduit à (Ax + G) (Ay + B) = o. Elle est vérifiée en prenant

x=: — — et^ quelconque, ou en prenant j' = — T ^*"^ quelconque,

elle ne peut être vérifiée autrement : A une valeur quelconque de x^

autre que r> correspond la valeur unique de y^ y= — j^; à la

valeur — — de x correspond une valeur quelconque de y, A une

valeur quelconque de y, autre que — -r > correspond la valeur unique

de x^ x = — —; à la valeur — — de ^ correspond une valeur quelconque de X. Ces résultats sont d'ailleurs conformes à ceux que l'on

a obtenus en étudiant la fonction homographique —, p lorsque

aV—alb est nul.

Dans le cas où l'on a à la fois AD — BC = o, A = o ; il faut que B, ou C, soit nul; l'une des variables disparaît de l'équation d'homographie, et peut être supposée quelconque, l'autre variable est déterminée.

Si Ton écarte les homographies impropres, on voit que la valeur de l'une des variables est déterminée par l'équation d'homographie quand on se donne l'autre et qu'à deux valeurs distinctes d'une variable correspondent deux valeurs distinctes de l'autre : afin d'éviter

igo CHAPITRE IV.

les exceptions résultant de la discontinuité, il est commode de dire, lorsque A. n'est pas nul, que la valeur oo de y correspond à la valeur — — de :f, que la valeur — — de jk correspond à la valeur x de x.

Les valeurs de l'une ou de l'autre des variables qui correspondenl à la valeur infinie de l'autre sont égales dans le cas d'une relation involutive et seulement dans ce cas. Lorsque A est nul, les valeurs correspondantes de x, y deviennent infinies en même temps. De même, lorsque D est nul, les valeurs correspondantes de x^ y deviennent nulles en même temps.

Si la variable z est une fonction homographique de la variable i% si cette variable y est une fonction homographique de x^ à chaque valeur de x correspond une valeur de y^ à celle-là une valeur de v, qui ainsi correspond à la valeur de x. La variable z est une fonction homographique de x^ car des égalités

ar-hfi ax-\-h

résulte l'égalité

ax -\- b - a'x-^b' ^ __ (oia -h ^a')x-h ab -h ^b'

,a.r-^b ^, ' {a'a -h p' a')x ^ oi'b -^ ^' b"

a -; TT-^p

on n'a pas à craindre que la dernière homographie soit impropre lorsque les deux homographies proposées sont propres, puisque, alors, à deux valeurs distinctes de x correspondent deux valeurs distinctes dey, auxquelles correspondent deux valeurs distinctes de z.

On peut dire encore que deux variables sont liées homographiqiiement entre elles quand chacune d'elles est liée homographiquenienl à une troisième : ainsi, dans la démonstration précédente, les variables X et z sont liées homographiquement entre elles, parce qu'elles sont liées homographiquement ky.

Plus généralement, si chacune des variables Xftj x„i, ...,j:2, x, est une fonction homographique (propre) de celle qui la suit, la première Xn est une fonction homographique (propre) de Xi. Le théorème général résulte évidemment de celui qu'on a démontré.

Un cas particulier est le suivant : si deux variables sont des fonctions homographiques de deux variables qui sont liées homographi-

quement, les deux premières variables sont elles-même liées homographiquement.

Lorsque dans Téqualion d'homo^aphie

A xy -h B jr H- Ç/ -h D = o, on suppose x^=y^ on obtient l'équation du second degré

Aarî-H (B -hC)a7-f-D = o,

dont les racines s'appellent les éléments doubles de rhomographie.

Lorsque A est nul, il n'y a plus qu'un élément double, qui disparaît lui-même si B + Cest nul ainsi que A, auquel cas la différence x — y est constante. Conformément à des propriétés bien connues des équations du second et du premier degré, on dit, lorsque A est nul, qu'un des éléments doubles est infini, lorsque A et B + G sont nuls que les deux éléments doubles sont infinis.

Supposons que les racines de l'équation du second degré soient réelles et distinctes; désignons-les par a, P; soient x, x' deux valeurs de la première variable, y, j^' les valeurs correspondantes de la seconde : le rapport anharmonique des quatre nombres x, x' ^ a, j3 doit être égal au rapport anharmonique des quatre nombres y^ y^ ol^ ^: c'està-dire qu'on doit avoir

ou encore

ar-y

•x'-fJ-^-Jl

■ y-'fi

cette relation doit subsister en laissant x\ y' constants et en faisant varier les nombres x^ y, que l'on suppose toujours vérifier l'équation d'homographie; d'où la conclusion suivante :

Le rapport anharmonique de deux nombres correspondants et des deux éléments doubles est constant.

EXERCICES

61. On donne une sphère, un diamètre de cette sphère et un point M sur ce diamètre. On mène un plan perpendiculaire au diamètre qui renconlro la sphère suivant un cercle (C). Soient V le volume de la plus petite des deux parties dans lesquelles la sphère est décomposée par le plan sécant et V le volume du cône ayant le point M pour sommet et le cercle (G) pour base: on

demande la limite vers laquelle tend le rapport ^ quand le plan sécant tend

à devenir tangent à la sphère.