Décomposer en éléments simples l'expression

en regardant les nombres a, 6, c comme donnés, déterminer les constantes A, B, G de manière que, parmi les fractions simples, il n'y en ait aucune dont le dénominateur soit du premier degré.

67. Si a est une racine simple du polynôme ^{x) qui n'annule pas le polynôme /(ar), la partie de la fraction p*^ .^ qui devient infinie quand x tend vers a est

/(g) f /Xa)y^(a)-/(a)y^a) 1

[?'(a)J* {x — aS^ [?'(«)]' a? — a'

en désignant par f\x) la dérivée de /(x), par ^\x)^ ?'(^) les dérivées première et seconde de <p(iF).

68. Si l'on suppose <p(a?) = (a7 — a)(a:— 6) . . . (j7 — /), les nombres a, j 6, ..., / étant différents, la condition pour que la formule de décomposition I

en éléments simples de la fraction r^ rr ne contienne aucune fraction simple

dont le dénominateur soit du premier degré est que le polynôme

soit divisible par ^{x),

69. Déterminer un polynôme g{x) du troisième degré au plus qui, pour les valeurs données a, b de la variable, prenne des valeurs données A et B, tandis que sa dérivée prend les valeurs aussi données A' et B'.

La solution résulte immédiatement de la formule

g{x) ^ g{a) 1 ^ g'{a){a — b)—ig{a) \

(ar — a)»(a7 — 6)* (a — ^;* (j: — a)« (a— 6)» a? — a

^ g{b) i__ g\b)(a^b)-^ig{b) I

"^ (a— 6)* (J7 — 6)« {a — by x — b

Généraliser le problème posé et sa solution.