OM, OM') = ( OM, OM') -^ (OM', OM

et, par conséquent, on aura, pour n'importe quelle détermination des angles,

(OM, OM') = (OM, OM')-+-(OM', 0M')-h2/t7t, (0M',0M')-h(0M', 0M)-H(0M, 0M')= 2/111,

A: et A étant des nombres entiers dont la valeur dépend des déterminations choisies pour les angles, ou les arcs.

Si l'on se donne la direction OM, ou le point M, et l'une des déterminations de Tangle (OM, OM'), la direction OM', ou le point M', sont déterminés sans ambiguïté.

En particulier, la direction OM, elle-même, peut être déterminée par

l'angle = (OX, OM); 6 est alors une des déterminations de l'angle

(OM, OY); les cosinus directeurs de OM sont

a = cos6, p = cos ( Ôj=sin6.

Lorsqu'on se donne les coordonnées a et 6 du point A, on a vu plus haut comment on pouvait calculer les cosinus directeurs delà direction OA ou OM, en désignant par M le point unique où le cercle est rencontré par la demidroite OM; l'angle 6 est alors déterminé, à un multiple près de 211, par les

formules

A ^ fi ^

ros Q = sinO

Cela revient à dire que, si l'on se donne deux nombres a, b qui ne soient pas nuls à la fois, il existe un seul nombre positif r et un seul angle (abstraction faite des multiples de itz) tels que l'on ait a = /'cosO, 6 = /'sinO. Si l'on veut choisir pour sa détermination principale, comprise entre — r

€t z, 6 devra être pris entre et -+- - si a est positif, entre o et — ou

entre o et — — suivant que b est positif ou négatif; entre - et it ou entre

— - et — -rt si a est négatif; dans le premier intervalle si b est positif, dans

le second si b est négatif; si b est nul et a négatif, la détermination principale peut être prise égale à ir ou à — tt. Dans ces conditions, les tables trigonométriques (centésimales, par exemple) permettent de trouver un angle exprimé en grades, compris entre o et loo, dont le cosinus ou le sinus aient la même valeur absolue que cosO ou sin6, et les remarques précédentes permettent de calculer ensuite l'angle 6.

Toutefois, il est préférable, quand on se donne les >aleurs numériques de a et de b et que l'on veut calculer r et 0, de faire le calcul en partant de la formule

^ b tangO = — •

On cherche dans la table le nombre ^ de grades compris entre o et loo, tel

que la tangente correspondante soit la valeur absolue de — ; on prend à la

même page le logarithme du cosinus ou du sinus du même arc, en sorte que

l'on ait en posant ô'= — — , '^ 200

tang8' =

Vune des deux dernières formules donnera r par un calcul facile, puisque Ton ■a déjà les logarithmes de | a | et de | 6 |. D'après les règles précédentes, si a est positif, on prendra 6 = 8' ou 6 = — 6' suivant que b sera positif ou négatif, et, si a est négatif, = 7: — 6' ou 0= — r-hO' suivant que b sera positif on néîratif ( » ).

(') Il convient de prévenir le lecteur, une fois pour toutes, que les angles ou arcs doDl il sera question dans le présent Livre seront toujours exprimés en radiants (ou en parties du rayon) et non en grades ni en degrés. C'est pour appeler son attention sur ce point et sur les précautions à prendre dans les calculs numériques, que j'ai insisté sur les détails que Ton vient de lire.

cos6'-'«',

sin6 = - —

J'ai cru utile de rappeler les définitions et propositions fondamentales qui précèdent; je me servirai d'ailleurs, sans revenir sur leur démonstration, des formules de trigonométrie élémentaire qui reposent sur ces définitions et sur l'emploi du théorème des projections.

Fig. iô.

9S. Imaginons un plan rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires Oar, Oy.

Un nombre imaginaire a + bi est déterminé si Ton se donne les deux nombres réels a, b; k ce couple de deux nombres réels a, b correspond un point A dont l'abscisse est la partie réelle a et Tordonnée le coefficient de i dans le nombre a -\- bi. Le point A sera, si Ton veut, Yimas^e du nombre a -f- bi. Inversement, à un point A, dont les coordonnées sont a, 6, correspond le nombre imaginaire a -f- 6/> qui est dit Vajffixe du point A.

Si b est nul, le nombre a 4- bi est réel : les nombres réels sont représentés par des points situés sur l'axe des abscisses; de même les nombres purement imaginaires sont représentés par des points situés sur Taxe des ordonnées : aussi ces axes sont-ils souvent appelés respectivement axe des quantités réelles, axe des quantités purement imaginaires, ou, plus brièvement, nxe réel, axe imaginaire. Au nombre o correspond l'origine O des coordonnées. Le nombre positif r = \Ja^ -h h'^^ qui mesure la longueur du vecteur OA, est ce qu'on a appelé plus haut la valeur absolue du nombre a -f- 6/, l'angle (OX, O A) de la direction positive prise sur l'axe des abscisses et de la direction du vecteur OA qui va de l'origine au point A, est Vargument trigonométrique i * ) d" nombre a -f- bi. Cet argument est déterminé à un multiple prrs de air, pourvu que a -f- bi ne soit pas nul, que le point A

(1) On sii|i|Mime celte épithète quand il n'y a pas de confusion possible avec quelque autre argument.

ne coïncide pas avec le point O. Quand a-\-bi est nul, la valeur absolue est nulle, et l'argument complètement indéterminé.

La valeur principale de Targument est comprise entre — -n; et H- ir ; elle est complètement déterminée, sauf dans le cas où b est nul et a négatif ou nul. Elle est nulle ou égale à zh it si a + 6/ est réel (6 = o), nulle si Ton a affaire à un nombre positif, égale à zt tt si Ton a affaire ù un nombre négatif.

Elle est égale à ih - si a -h 6/ est purement imaginaire (a = o),

à -}- - ou à suivant que b est positif ou négatif.

Elle est, en général, du même signe que b\ elle est comprise entre

— 7 et H — si a est positif, entre H — et tc, ou entre — ^ et — ir si

a est négatif. Puisque Ton a a = r cos6, b = r sinO, on peut écrire

a-\- bi = r(cos6 -i- isinô),

le second membre, où la valeur absolue r et l'argument 6 sont mis en évidence, est ce qu'on appelle la forme trigonoinélrique du nombre a -h bi.

En particulier, tout nombre dont la valeur absolue est i peut se mettre sous la forme cos6 -h £sin6; pour mettre le nombre i sous cette forme, on pourra prendre 6 = o, ou 6 égal à un multiple de itz] pour mettre le nombre — i sous cette forme, on prendra 6 = tî ou 6 égal à un multiple impair de ii.

Deux nombres imaginaires égaux sont représentés par le même point; leurs valeurs absolues sont égales et leurs arguments ne peuvent différer que d'un multiple de 2 7r; ces dernières conditions sont nécessaires et suffisantes pour que deux nombres imaginaires mis sous forme trigonométrique soient égaux, sauf dans le cas où l'une des valeurs absolues est nulle; dans ce cas, l'autre valeur absolue doit aussi être nulle; cela suffit pour que les deux nombres soient nuls.

Deux nombres imaginaires symétriques sont représentés par deux points symétriques par rapport à l'origine. Deux nombres imaginaires conjugués sont représentés par deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

96. Pour faire la somme de plusieurs nombres imaginaires a + 6f ,

a' -\- b'i^ a"-\- b"ij . . . , représentés par des points x\, A', A'', , . . , il suffit de faire la somme géométrique des vecteurs OA, OA', OA", ... en lui donnant pour origine le point O ; je rappelle la construction de cette somme géométrique : on regarde le point A comme l'origine d'un vecteur AA', équipollent au vecteur OA', le point A', comme l'origine d'un vecteur A', A'^ équipollent au vecteur OA", etc.; l'extrémité du dernier vecteur est l'extrémité de la somme géométrique cherchée ; c'est le point qui figure la somme des nombres représentés par les points A, A', A'', ....

Il suffira, pour démontrer cette proposition, de raisonner sur trois nombres a -h bi^ a!-\- b'i, a"-f- 6"/, représentés parles trois points A,

A', A". L'extrémité A", de la somme géométrique OA'J des trois >ecteurs OA, OA', OA" est, d'après la construction précédente, l'extrémité d'une ligne brisée O AA', A', dont les côtés OA, AA^, A', A", sont respectivement équipoUents aux vecteurs OA, OA', OA"; les projections Oa, aa', a' a" des côtés de la ligne brisée sur l'axe des x sont respectivement équipollentes aux projections sur cet axe des vecteurs OA, OA', OA", projections dont les équivalents algébriques sont respectivement a, a', a". On a d'ailleurs, entre les équivalents algébriques Oa, aa', a' a", Oa" des vecteurs Oa, aa', a' a", Oa", la relation

Oa''= Ôâ-h aa'-ha'a'= a -h a' -h a'.

L'abscisse Oa" du point A'^ est donc a -|- a'-f- a"; son ordonnée est de même 6 -h 6' -H 6"; c'est bien là l'abscisse et l'ordonnée du point qui représente la somme a -h a'-|- a"-|- (6 + 6'-f- Z?")/ des trois nombres a 4- bi\ a' -h b'i^ a"+ 6"/.

NOMBRES IMAGINAIRES. 'lf\5

On sait qu'une somme géométrique est indépendante de Tordre de ses éléments; au reste, ce résultat apparaît immédiatement sur la démonstration, puisque les coordonnées a -h a' •+- a", b -\- b'-h V de l'extrémité de la somme ne dépendent pas de l'ordre des nombres réels a, a, a" \ 6, &', b" ,

Le nombre (positif) qui mesure la longueur du vecteur OA''^, c'està-dire la valeur absolue de la somme des nombres imaginaires donnés, est inférieur ou égal à la somme des nombres positifs qui mesurent les côtés de la ligne brisée OAA', A", , c'est-à-dire à la somme des valeurs absolues des nombres donnés; pour qu'il y eût égalité, il faudrait que la ligne brisée se réduisît à une ligne droite et que les points A, A', fussent entre O et A', : il faudrait pour cela que les points A, A', A^' fussent sur une même demi-droite partant du point O, c'est-à-dire que les arguments des nombres a -{- bi^ à -\- b' i\ a' -\- b' i fussent égaux (à un multiple près de 271); l'argument commun de ces nombres serait aussi Targument de leur somme.

D'après la notation adoptée au n® 91, on peut écrire

|rt-i- 6t-h«'-+- h' i-^-a" -\- b'' l\'^\a-\- hi\ -h \a! -\- h' i\ •

Fig. -^8.

Dans le cas où l'on veut faire la somme de deux nombres a 4- bi^ «'-f- 6'/, représentés par les points A, A', cette somme est représentée par le point B, sommet opposé au point O du parallélogramme dont OA, OA' sont deux cotés. Dans le triangle OAB le côté OB est plus petit que la somme des deux côtés OA, AB plus grand que leur différence. Outre cette proposition déjà connue la valeur absolue de la somme de deux nombres est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ces deux nombres, nous obtenons donc celle-ci :

La valeur absolue de la somme de deux nombres est supérieure ou égale à la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs absolues de ces deux nombres.

Il y aurait égalité dans le cas où les points A, A' seraient en ligne droite avec le point O, mais de part et d'autre du point O, ou, ce qui revient au même, quand les arguments des nombres a -f- bi^ a' -\- b'i diffèrent d'un multiple impair de tï.

On peut écrire

cette égalité restant vraie quand on a | a -h 6/ 1 < | a'-|- 6'/|, puisque, alors, le second membre de l'inégalité est négatif.

Fig. 29.

La différence (a -f- bi) — (a'-f- b'i) entre les deux nombres a -h bi. a' -h b'i, représentés par les points A, A', sera représentée par l'extrémité C d'un vecteur OC, différence géométrique des vecteurs OA et OA'; ce vecteur est équipollent au vecteur A' A dont Torigine représente le point qui figure le nombre à soustraire, dont Teitrémilé figure le nombre dont on soustrait. La figure montre nettement quv le point A représente la somme des nombres représentés par A' et par C, que le point C représente la somme des nombres représentés d'une part par le point A, d'autre part par le point A" symétrique du point A' par rapport au point O, c'est-à-dire la somme des nombres a -h bi, — a' — b'i.

Deux nombres imaginaires sont regardés comme voisins, comme

dîflerant peu l'un de l'autre, quand la valeur absolue de leur différence est petite. Cette valeur absolue est mesurée par la distance des deux points qui représentent ces deux nombres : ces deux points sont donc voisins; a fortiori, la différence entre les abscisses des deux points, ou entre leurs ordonnées, qui est inférieure à leur distance, est petite, en valeur absolue.

La valeur absolue d'une différence est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ses termes, supérieure ou égale à leur différence.

Cette proposition ne diffère pas de celle qui concerne une somme, puisque les deux nombres symétriques a -f- 6/, — a — bi ont même valeur absolue.

97. Considérons maintenant le produit des deux nombres imaginaires mis sous la forme trigonométrique (n*^ 96)

r(cos6 4- t'sinO), r'(cos8'-i- i sinO').

En effectuant leur produit par la règle du n** 90, on trouve pour la partie réelle

/•r'cosOcose'— rr' sinOsin 6' = rr' cos(6 -4- 0'),

et pour le coefficient de i

rr'cosO sin6'-h rr' cosO'sinô = r/''sin(ô -h 8').

Le produit se trouve donc mis sous la forme trigonométrique

rr'[cos(0 -+- 0') -4- i sin(0 -h 8')].

C'est un nombre dont la valeur absolue /•/•' est le produit des valeurs absolues r, r' des deux facteurs, dont l'argument 8 -h 6' est la somme des arguments des facteurs.

Du cas de deux facteurs on s'élève immédiatement au cas de trois facteurs /-(cosO + /sinÔ), r'(cos6'H- /sin6'), /•"(cos9"-h /sinô"); la valeur absolue du produit est le produit de //•' par i^' ^ l'argument du produit est la somme de 9 -|- 9' et de 6".

D'une façon générale, le produit d'autant de nombres que l'on veut, mis sous forme trigonométrique, est un nombre dont la valeur

a48 CHAPITRE VI.

absolue est le produit des valeurs absolues des facteurs et dont Tarj^ument est la somme des arguments des facteurs.

Sur cette forme donnée à un produit, la possibilité d'intervertir les facteurs, de grouper ces facteurs comme on veut, est évidente.

Supposons que le nombre r(cos6 -|- * sin9), que l'on veut multiplier par le nombre /•'(cosÔ'+ / sinô'), soit représenté par le point A,

Fig. 3o.

le multiplicateur étant représenté par le point A'. On aura alors