OX, OA) = 0, (OX,OA

On fera tourner la demi-droite qui porte le vecteur OA d'un angle égal à 6'; elle prend alors une position OB telle que Tangle (OA, OB) soit égal à 9'; on prend ensuite un point B tel que le nombre positif qui mesure la longueur OB soit égal au produit des nombres r, /*' qui mesurent les longueurs OA, OA'. B représentera le produit

/V[cos(0 -f- 6') -h i sin(0 -h 0')].

Si, en particulier, la valeur absolue du multiplicateur est égale à i, la multiplication par cos9'4- « sin9' revient à faire tourner de l'angle 9' le vecteur dont l'extrémité représente le multiplicande; l'extrémilé du nouveau vecteur représente le produit.

Plus particulièrement, la multiplication par le nombre i", dont la valeur absolue est i et l'ari^^ument -^ revient à faire tourner le vecteur qui aboutit au point qui représente le multiplicande d'un angle droit, dans le sens direct; la multiplication par — i, dont la valeur absolue est I et l'argument dz tî, revient à faire tourner le même vecteur de deux angles droits dans un sens ou dans l'autre; la multiplication

NOMBRES lMAGINAinR8.

par — /, dont la valeur absolue est i et Targument — ^> revient à faire tourner le même vecteur d'un angle droit dans le sens indirect.

Fig. 3i Y

Le nombre i est représenté par le point I situé sur la partie positive de Taxe des ordonnées à Tunité de distance de l'origine. En faisant tourner le vecteur Ol d'un angle droit, dans le sens direct, puis encore d'un angle droit dans le même sens, etc., on l'amène successivement en OI', en OF, en OU, puis on le ramène en 01, etc.; c'est la traduction géométrique des égalités numériques

Lorsque le multiplicateur est un nombre réel, l'argument du produit est égal à l'argument du multiplicande si le multiplicateur est positif, à l'argument du multiplicande augmenté ou diminué de tz si le multiplicateur est négatif.

98. En regardant la division comme l'opération inverse de la multiplication, on voit de suite que la valeur absolue d'un rapport doit être le rapport de la valeur absolue du dividende à la valeur absolue du diviseur, et que l'argument du rapport doit être égal a la diflérence entre l'argument du dividende et l'argument du diviseur, afin que le produit du quotient par le diviseur soit égal au dividende; en d'autres

25o CHAPITRE VI.

termes, on peut écrire

r(cos6 -h I sinO) r^ ,. -,,^ . . , , , = - fcos(e — B') H- t sin{0 — 6')],

r (cosO -H t sinQ j r

et celte égalité est susceptible d'une interprétation géométrique analogue à celle qu'on a donnée pour la multiplication.

En particulier, en supposant /' = i , 6 = 0, on a pour l'expression trigonométrique de l'inverse d'un nombre

= ■!;,(cose'— tsinO');

/•'(cosO'-h i siiiO') /'

d'où résulte la construction suivante pour obtenir le point qui représente l'inverse du nombre figuré par le point A'.

On décrit du point O comme centre le cercle de rayon i; on prend le point A', qui serait l'inverse (*) du point A' dans une inversion faite par rapport à ce cercle ; l'affixe du point A', est —, (cos6' + i sin9') :

le point cherché A", dont l'affixe est -;7(cos9' — /sin6'), est le symétrique du point A', par rapport à l'axe des abscisses.

Plus particulièrement encore, en supposant r'= i, on voit que l'inverse d'un nombre dont la valeur absolue est i est le conjugué de ce nombre; pour que deux nombres conjugués soient inverses l'un d< l'autre, il faut et il suffit que leurs valeurs absolues soient égales ù i. Dans ce cas, les deux points A', A', de la figure précédente sont confondus sur le cercle.

§ 3. — RACINES n}^'\

99. Cherchons à déterminer la racine n}^^^ d'un nombre donné, que l'on peut toujours supposer mis sous la forme trigonométrique /•(cos8 H- /sinÔ); il s'agit de trouver, s'il est possible, un nombre dont la puissance /i**"™* soit égale à r(cos6 -f- /sin8); en supposant ce nombre mis lui-même sous la forme trigonométrique o(cosw -4- /sinto)

(') C'est, comme on sait, le point où la polaire du point A' par rapport au cercle rencontre la droite qui joint les deux points O, A'; c'est encore le second point commun à tous les cercles qui passent par le point A' et qui sont orthogonaux au cercle de centre O : au lieu de dire que les points A', A', sont inverses par rapport à ce cercle, on dit souvent qu'ils sont symétriques par rapport à ce cercle.

il s'agil de déterminer p et co de façon que l'on ait

[p(cosa> -4- t sina>)]«= r(cosO -h « sinO);

mais, d'après la théorie de la multiplication, la valeur absolue du premier membre est o", son argument est /io>; pour que deux nombres soient égaux, il faut et il suffit que leurs valeurs absolues soient égales et que leurs arguments ne diffèrent que d'un multiple de îîTr; on doit donc avoir

en désignant par k un nombre entier quelconque ; on en déduit

inversement, ces valeurs de p, w, où ^^r est la racine n* '"^ arithmétique de r, répondent à la question; en d'autres termes, la formule