T: ^t: Gt
C'est d'abord les points Aq, A|, A2, A3, ... dont le premier, qui
correspond à l'argument o, est le point du cercle qui se trou>e sur la partie
NOMBRES IMAGINAIRES. a53
positive de Taxe des abscisses, point dont l'affixe est i ; les suivants Aj, A*, Aj s'obtiennent en portant bout à bout, à partir de Ao, dans le sens positif, des arcs ('*gaux à — > à la /j"'™'' partie de la circonférence du cercle. Quand on a porté ainsi bout à bout n de ces arcs, on retombe sur le point Ao, puis, en continuant à tourner dans le même sens, les points A,, Ao, A3, .... En portant bout à bout des arcs de la même longueur — ^> dans le sens négatif on retombe sur des points déjà obtenus A„|, A,,3, ..., mais on les rencontre successivement dans le sens inverse de celui où on les a obtenus d'abord; les points Aq,
V,, A„< ainsi obtenus, qui représentent toutes les racines /2'*"®"
distinctes de l'unité, sont les sommets d'un polygone régulier de n côtés. On voit ainsi qu'il y sl n racines distinctes de Tunité, dont l'une, qui correspond au sommet Aq, est elle-même égale à 1 . Le polygone n'existe, à proprement parler, que pour n>2; pour « = 2, la figure se réduirait au point Aq et au point diamétralement opposé; les deux racines carrées de i sont
coso -H i sino = I, cosTi -h i sinTi = — i;
pour /i = 3, la figure formerait un triangle équilatéral, les trois racines cubiques de l'unité sont
C(>s — — ht sin -77- = H « — >
fiT . . 4t:
cos -- — h t sin -— =
pour /i = 45 la figure serait un carré, les quatre racines quatrièmes de I seraient i , /, — i , — /,
Les résultats précédents, et quelques autres, s'obtiennent encore comme il suit :
Observons d'abord que la valeur absolue d'une racine /i'*™* de l'unité étant toujours égale à 1 , il suffit de s'occuper de l'argument
qui est de la forme A chaque valeur entière de A* correspond
une racine; pour que les deux racines qui correspondent a deux valeurs ki et Â'a de A* soient égales, il faut et il suffit que la différence -entre les deux arguments soit un nombre entier de fois 2 7î, c'est-
a54 . CHAPITRE VI.
à-dire que la différence Â^ — k^ soit un multiple de n ; en particulier,
2 /• on ne change pas la racine dont l'argument est — -> quand on remplace k par le reste de sa division par n ; on obtiendra donc les arguments des racines /i**"" distinctes en remplaçant dans l'expression — ^i
k par o, I, 2, . . ., 71 — 1, ou par n nombres entiers consécutifs quelconques, ou encore par n valeurs entières A*©, A|, . . ., kn-% qui, divisées par 72, donnent ji restes distincts, à savoir les restes o, i, 2, ..., n — I , dans un certain ordre.
Pour qu'une racine n'*°* de l'unité soit réelle, il faute! il suffit que
son argument — - soit un multiple de tc, c'est-à-dire que 2.k soit un
multiple de /i; si l'on donne à k les valeurs o, i, 2, ..., n — i, les seules valeurs de k telles que ik soit divisible par n seront A* = o, et,
dans le cas où n est pair, A== -; à ces valeurs de A* correspondent
les arguments o et it, auxquels correspondent les nombres i et — i; I est toujours une racine n**"" de l'unité; c'est la seule racine /i'*"* réelle si n est impair; si n est pair, — i est une autre racine réelle; il ne peut pas y avoir d'autres racines réelles que i et — i.
Les racines /i**"" imaginaires sont conjuguées deux par deux : la
racine dont l'argument esl-^ ^ est conjuguée de la racine dont
l'argument est ; le produit de ces deux racines est i .
101. Une racine /i"'"* de l'unité peut aussi être une racine /?**"* de l'unité ; il faut et il suffit pour cela que l'argument - — de cette racine
puisse être mis sous la forme > h étant un nombre entier comme A;
ceci exige que l'on ait
on pourra toujours vérifier cette égalité en prenant pour p et A des équi-multiples de n et de A'; on ne pourra la vérifier autrement si n et A* sont premiers entre eux; d'où une distinction importante entre les racines /i**"" de l'unité :
La racine co^ h i sin est dite une racine /i'**"* primitive
lorsque k est premier a\'rc n ; elle ne peut alors être une racine ^'*™« de l'unité que si p est un multiple de w; en particulier, elle ne peut être une racine /?**"'•' de l'unité pour/? < n,
La racine cos f- isin est une racine /i""° non primitive
si A* et n ne sont pas premiers entre eux: si l'on désigne par d le plus grand commun diviseur de k et de n et si l'on pose k = k'd^ n=z n' d^ on aura
•>,X't: . . ikTz 'xh-'T. . . 'iA'tz
cos h i sin = cos — ; h i sin r— 9
en sorte que la racine /i'*"* considérée sera aussi une racine /i"*""* de l'unité, n' étant moindre que n. Considérée comme racine /i'^*"* elle est d'ailleurs primitive puisque k' est premier à n'. Par exemple, — i est une racine quatrième de l'unité, c'en est aussi une racine carrée ; ce n est pas une racine quatrième primitive, i est une racine «'*"• de l'unité, quel que soit /i >- 1, ce n'est jamais une racine primitive.
102. Si l'on multiplie les deux racines /i'*™«* de l'unité dont les
arguments sont » — ^ — , le produit aura une valeur absolue égale
a 1 , comme les deux lacleurs, et son argument sera la somme
des arguments des deux facteurs, c'est une autre racine /i'*™® de l'unité.
Le produit de deux racines ^**"»" est une racine /?'''""'; en particulier, le produit de deux racines conjuguées est i. Le produit d'autant de racines «'*"*•* de l'unité que Ton veut est une racine /i'^"®de l'unité.
Les puissances d'une racine /i'*™" sont aussi des racines /i'*™®* de l'unité.
Eu particulier, si l'on élève à la puissance r la racine d'argu-
ment— ^> on trouvera la racine d'arsfument ; on obtiendra donc
toutes les racines n'*'""* de l'unité en élevant aux puissances o, i , 2, . . ., /i — I la racine d'argument -^•
Si, plus généralement, on élève à la puissance r la racine d'argu-
^ xkTz . • i> . 'i.krTz , ment , on trouve une racine a argument ; dans cet argument, on peut remplacer kr par le reste obtenu en divisant kr par n ;
or, si Ton considère la suite de nombres
obleniis en remplaçant dans Ar, /• par o, i, 2, ..., /ï — i; les restes
de la division de ces nombres par /?, seront dans un certain ordre
les nombres o, i , 2, . . ., /z — i , en supposant que A soit premier à n.
C'est-à-dire que, en supposant k premier à /i, les n valeurs
de » quand on donne à /• les valeurs o, i, 2, . . ., n — i, peuvent
être regardées comme les arguments des n racines de Tunité. Donc : Lorsque l'on élève une racine primitive /i'*^'"*' de Tunité aux puissances o, I, 2, ..., n — I, on reproduit les n racines /i'*°"^* de l'unité.
Si l'on multiplie une racine /i'*^™° de l'unité d'argument - — '- par une
racine ^'^™e de l'unité, d'argument - — - 9 on obtient un nombre dont la
valeur absolue est i , dont l'argument est - — — : le produit est
donc une racine (npy''^"^ de l'unité.
Je me borne à énoncer les propositions suivantes, d'ailleurs aisées à démontrer : elles supposent que les nombres naturels n, p soient premiers entre eux.
En multipliant chacune des n racines n''-''"** distinctes de i par chacune des/? racines distinctes /?''"'" de i on obtient les /1/7 racines (/i/?)'*^"**' distinctes de I.
Le produit d'une racine //'•^'"^ primitive par une racine /?''■*'"• primitive est une racine (n/? )'•''"* primitive.
En multipliant chacune des racines n'*"*" primitives par chacune des taci nés /?'•''"*' primitives, on trouve toutes les racines ( n/? y*^""** primitives.
Le lecteur voit que la recherche des racines /i'"'"'" de l'unité est liée à certaines propositions d ^arithmétique et à la théorie des polygones réguliers. L'étude approfondie de ce problème comporte de très beaux développements que je laisse de côté.
EXERCICES
