EXTENSION DE DIVERS RÉSULTATS

109- La formule du binôme (n® 43) s'applique aussi bien, qu'il «'agisse de nombres réels ou de nombres imaginaires. On peut, en

particulier, l'appliquer au développement de (a -\- bi)"^ en supposant que a, b soient réels; on trouve ainsi

{a-hbi)»= A -h Bt, V et B étant des nombres réels définis par les formules

les coefficients numériques C^, Cj, . . . ont été définis au n" 43. Les derniers termes de A, B sont respectivement

(— i.)^6'S — (— i)'«na6'»-«, si n est pair et

(—1) « /ia^»«-», — (— i) * A'*,

si n est impair.

En prenant en particulier a = cos8, 6=sin9 et en se rappelant (n" 97) la formule de Moivre

(ces 6 -h t sin6)«= cos/iô -4- i sinnO,

on obtient les relations

J cos/ie = cos«e — Cf cos«-«0 sin«e H- Cî ces'*-* 6 sin*6 — . . ., \ sin^e = Cf cos«-isinO — C;cos«-»Osiii»0-f-...,

dont les seconds membres sont des polynômes homogènes en cos^ et sinô.

En posant cosO = x, on a

sin 8 = ± /i — a?',

et Ton reconnaît, puisqu'il n'entre dans le développement de cos/iO que des puissances paires de sinO, dans le développement de sinO que des puissances impaires, que cosnO est un polynôme en^ et que sin/zO est un polynôme en x multiplié par ^ i — x^] ces deux polynômes sont de degrés respectifs n el n — i ; les coefficients numériques des

termes du plus haut degré sont respectivement

Co-^C,-hCv-4-..., Ci -h Cj-h Cs-H...,

c'est-à-dire qu'ils sont tous deux égaux à 2" * (n" 43).

Enfin, en divisant membre à membre les égalités (2) et en di\isant par cos"6 les deux termes de la fraction que Ton obtient alors au second membre, on trouve

Cy tanjrO — Cf; tanjç'e -f- G? tan-^O — . . . ^ I — GJ tang*6-T- Cï taiig»0-4-... '

tang/id est une fraction rationnelle en tangO.

En combinant la formule de Muivre avec celle qu'on en déduit en changeant h en — 6, on voit qu'on peut aussi écrire

(cosO -h isinO)«-4-(cosO — isinQ)" cosnO = ^^ i-,

^ (cosO -H isinO)" — (cos6 — tsin6)« (i -h ttans[0)«-.(i— itangO)'* ^ i[(n- t tangOy»-H (1 — i tangO) * I

110. La théorie de la division des polynômes ordonnés s'étend sans aucun cliangement aux polynômes à coefficients et à variables imaginaires, puisqu'elle est fondée uniquement sur des règles de calcul qui s'appliquent aussi bien aux nombres imaginaires qu'aux nombres réel a.

On appelle fonction rationnelle de z ou fraction rationnelle en z une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes en z. Les explications qui précèdent suffiront au lecteur pour étendre à ces fractions la plupart des propriétés qui ont été établies au Chapitre IV; il verra de suite, en particulier, comment, lorsque le dénominateur ne s'annule pas pour 5 = 0, on obtient des polynômes simples qui représentent, avec telle approximation que l'on veut, la fraction rationnelle; une fraction rationnelle est continue pour toute valeur de z qui n'annule pas le dénominateur. Si z^ est une valeur de z qui annule le dénominateur sans annuler le numérateur, la fonction est très grande en valeur absolue pour les valeurs de z suffisam-

ÉTt'DE DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLE IMAGINAIRES. 278

ment voisines de Zq ; il en est de même si Zq annule le numérateur comme le dénominateur, lorsque Zq est pour le dénominateur une racine d\)rdre de multiplicité plus grand que pour le numérateur. On (lit alors que la fonction est infinie pour z = Zq^ et que>3o est un pôle cle cette fonction; Tordre de multiplicité du pôle est la différence des ordres de multiplicité de Zo considéré comme racine du dénominateur el du numérateur. Si Zq n'était racine que du dénominateur, Tordre de multiplicité du pôle serait Tordre de multiplicité de z^ considéré comme racine du dénominateur. Si Tordre de multiplicité du pôle Zq était I, ce pôle ne devrait pas être regardé comme multiple, mais bien comme simple.

Si -So est un pôle d'ordre de multiplicité /?, il existe un polynôme

en ~— — » de degré/?, sans terme constant, el, par conséquent, de la

forme

Aq ^ Ai ^.. ^ ^f-^

tel que la différence entre la fraction rationnelle et le polynwme peut être regardée comme une fonction continue de z pour z = Zq] ce polynôme en » qui est d'ailleurs unique, se calcule comme il a été

expliqué au n" Go. Je continuerai de le désigner comme la partie de la fraction qui devient infinie pour z = Zq^ Le coefficient A^< du

terme en s'appelle le résidu du pôle Zq.

La théorie de la décomposition en éléments simples d'une fraction

ralionnelle de la forme •^ \ i -r subsiste sans chan-

i^z—a)^(z — b)P..Az — /)>

gements.

H en est de même pour les théories de la divisibilité des polynômes, du plus grand commun diviseur, du plus petit commun multiple de deux ou plusieurs polynômes. Toutefois l'introduction des nombres imaginaires modifie profondément la notion de polynôme premier telle qu'elle a été présentée au n° 80.

On y considérait alors comme premier tout polynôme qui ne pouvait se décomposer en un produit de polynômes : tel était par exemple le polynôme j?^ -h i , impossible à décomposer lorsqu'on ne considère que des polynômes à coefficients réels, qui est égal au produit des facteurs du premier degré x — «, ^ -f- «', quand on introduit les T. i8

nombres imaginaires. On verra tout à l'heure qu'au point de vue où nous sommes, les seuls polynômes indécomposables sont les polynômes du premier degré.