THËORÈME FONDAMENTAL DE L'ALGÈBRE

111. La proposition connue sous ce nom peut s'énoncer sous la forme suivante :

Tout polynôme en z du fie gré n est le produit de n facteurs du premier degré en z, à coefficients réels ou imaginaires,

La démonstration de cette proposition se ramène aisément à la démonstration de la suivante :

Tout polynôme en z à coefficients réels ou imaginaires admet au moins une racine réelle ou imaginaire.

.\vant d'indiquer une démonstration de cette dernière proposition il convient d'en rappeler le sens précis.

Soit

/( * ) = ( ao -4- 6o * ) s" H- ( ai -h 6, i) -s"-» h- . . . h- ( a^ -H *« « )

un polynôme en z du degré n donl les coefficients sont les nombres complexes ao-l-6o'> a, -h 6, «, . . ., an-\-bni^ (Iq, a,, . . ., a«, bo, 6|, . . ., b„ étant des nombres réels; je n'exclus pas le cas où, b^, 6<, . . ., b„ étant nuls, les coefficients seraient réels.

Le théorème précédent veut dire qu'ilexiste un nombre ^, = J7, -f-y^i, ou plutôt deux nombres réels Xi, y^ tels que si l'on remplace dans f{z)z par x^ -\- iy^^ et que l'on effectue les calculs d'après les règles du Chapitre précédent, le résultat soit nul, la partie réelle et le coefficient de i étant nuls séparément.

On peut encore présenter les choses ainsi : dans/(^) remplaçons z par X -h «y, en désignant par j: et^ deux variables réelles.

Le polynôme y(^) prendra la forme (n** 103)

f{z) = <p(jr, y) 4- i^{x, y)

en désignant par cp(j7, j^) et tj/(.r, y) des polynômes à deux variables réelles x^y et à coefficients réels. La proposition énoncée veut dire qu'il y a un couple de nombres réels x<, yt qui annulent les poly-

nomes o(^,y), '^{^^ y) ou encore que les deux équations, à coefficients ree/s

admettent une solution réelle :f = ^, , ^ = y, .

112. La démonstration que je donnerai de ce théorème repose sur le postulat suivant que je prierai le lecteur d'admettre : il est d'ailleurs susceptible d'une démonstration parfaitement rigoureuse : c'est un cas particulier d'une proposition beaucoup plus générale.

Soit g (a?, y) un polynôme à deux variables réelles x, y et k coefficients réels; parmi les couples de valeurs (réelles) de x, y qui satisfont à la condition a:^-|-^^^R^, où R est un nombre positif donné, il y en a un J74 , y^ qui fait acquérir au polynôme g{x^ y^ une valeur minimum ^(^« ? J^i ) • c'est-à-dire que, pour tous les couples de valeurs de x^ y qui vérifient l'inégalité précédente, on a certainement

gixuy\)'kg{3c,y\

En d'autres termes, à l'intérieur du cercle (C) décrit de l'origine des coordonnées comme centre, avec le rayon R, ou sur la circonférence de ce cercle, il y a un point dont les coordonnées vérifient l'inégalité précédente.

La démonstration rigoureuse de ce théorème repose essentiellement sur ce qu'un polynôme est une fonction continue des variables qui y figurent : elle s'étend par conséquent aux fonctions continues autres que les polynômes. Quant au théorème lui-même, il paraît peut-être au lecteur plus évident qu'il n'est en réalité : on sentira bien la nécessité de cette démonstration que je supprime, en observant que la proposition cesserait d'-être vraie si l'on remplaçait l'inégalité x^ 4-y*$R* par l'inégalité x^-\- y^<^ R^, et ce dernier point est assez clair, puisqu'il peut arriver que ce soit précisément pour un couple de valeurs X\^yK vérifiant la condition a?^-|-^J = R^ [pour un point situé sur la circonférence du cercle (C)], quele polynôme atteignela plus petite valeur possible.

Quoi qu'il en soit, si l'on admet ce postulat ( * ), la démonstration de

(* ) J'aurai l'occasion d'admettre plus tard la proposition analogue pour les fonctions contiDues à une seule variable {Introduction^ p. 287).

l'exislence d'une racine pour le polynôme

/(3)= («0-+- 60 0^"-^ (aI-+-/''lÔ^'*~*-^-•••-^- ««-+-^«*

repose sur ce que, dans le voisinage de chaque valeur ;; qui n'annule pas /(s), il y a des valeurs de z pour lesquelles on a |/(s) K |/(si)| (n«» 105, 107).

Le postulai qu'on vient d'énoncer va être appliqué, en choisissant convenablement le cercle (C), au polynôme

où C5(.r,y), ^{01^^ y) sont les polynômes à coefficients réels et à variables réelles que l'on déduit du polynôme /(s) quand on remplace 3 par X -h iy, et qu'on sépare la partie réelle et la partie imaginaire, ainsi qu'on l'a expliqué au numéro précédent : le polynôme g{x^ y) représente le carré de la valeur absolue de /(s), pour 5 = x -f- iy^ ou, si l'on veut, le carré de la distance à l'origine du point /(s). Dire qu'il y a un point, de coordonnées jJj, Vi, situé soit à l'intérieur, soit sur la circonférence de (C) tel que l'on ait gi^h-i y\)%s{x^ y) pour tous les points de coordonnées x, y^ situés soit à l'intérieur de (C) soit sur sa circonférence, revient à dire qu'il y a un point 2, = j7, -f- /^i, situé à l'intérieur ou sur la circonférence de (C), tel que l'on ait, pour tous les points z = x -^ iy situés à l'intérieur ou sur la circonférence de (C), |/(^i) \%\f{z) |. Ceci posé, soit z' une valeur quelconque de z qui n'annule pas /(s); soit P un nombre positif quelconque supérieur à \J\z')\\ soit R un nombre positif^ tel que l'on ait 1/(2) | > P, si la valeur absolue de z est égale ou supérieure à R. On a montré, au n" 108, comment, lorsqu'on se donnait le nombre P, on pouvait déterminer R. On va prendre pour le cercle (C) le cercle de rayon R, dont le centre est à l'origine. Pour tout point z situé à l'extérieur ou sur la circonférence de (G), on a 1/(5) | > P; tous les points z pour lesquels on a|/(z))<P sont donc à l'intérieur de (G); tels sont en particulier le point 5', les points z pour lesquels on a | /(s) |;^(/(s') |, le point z^ défini plus haut; pour ce point la valeur absolue de/(5| ) est certainement inférieure ou égale à \f{z') |, puisque le point z' est à l'intérieur de (C). Il en résulte que/(3,) est nul; si, en effet, /(^^ ) n'était pas nul, il y aurait un point z pour lequel on aurait \f[^z) \<i\f{zi). Gette iné-

galilë entraîne \/{z) \ < P, elle exige donc que le points soit à l'intérieur de (C); mais alors elle contredit la supposition en vertu de laquelle on a \/{Zi ) I ^ I /(z) I pour tous les points z situés à Tintérieur de(C).

Il faut donc que l'on ait /(s, ) = o, ou

?( ^i7 r» ) = 01 4'(^ii ri ) = 01 et la proposition énoncée est établie.

113. On va maintenant montrer que tout polynôme du degré n à coefficients réels ou imaginaires est le produit de n facteurs de la forme z — a^ où a est un nombre réel ou imaginaire, et d'un facteur numérique égal au coefficient de z" dans le polynôme.

Soit en effet

/{z)= Ao-s»-!- AiZ«->-h...-h An-i^-h A„

le polynôme proposé. En vertu du numéro précédent il admet une racine z^ ; il est donc divisible par z — z^; le quotient est un polynôme y, (z) de degré n — i , qui commense par le terme A© s""* ; ce polynôme /i (s) admet lui-même une racine Z2; il est divisible par z — 32? et le quotient est un polynôme du degré n — 2 qui commence par le terme AqZ"''^; en continuant ainsi, de proche en proche, on arrive à un polynôme /„! du premier degré qui commence parle terme A.© 3 et que l'on peut écrire A© (5 — z„) en désignant sa racine par z„ ; la suite d'égalités

/(Z) =(z-z,)/i(z), f,(z) =(z-z.)Mz),

en remplaçant dans la première /« (z) par (5 — Z2)/2(z)j puis dans le rësultat/2(3) par (3 — Z:i)f^{z)^ ..., entraîne l'identité

que l'on avait annoncée.

Rien ne suppose dans le raisonnement précédent que les nombres ^ii Z21 •••? Zn soient distincts. Si l'on désigne par a, 6, ..., / les

^yS CHAPITRE VII.

nombres difiérenls qu^on peut tirer de la suite 5|, ^2, ..., z„; si l'on suppose que a figure a fois dans cette suite, que b y figure P fois, . . . , que / y figure X fois, on peut écrire Fidentité précédente sous la forme

(i) /(z) = \o(^ — a)<*(z — b)J>...{JS — l)><;

les nombres a, p, . . ., X sont des nombres naturels; mais rien n'empêche qu'ils soient égaux à i ; on a d'ailleurs

a-HP-H...-i-X = n.

Supposons qu'on se donne un polynôme y( 3), c'est-à-dire qu'on se donne ses coefficients, et qu'on l'ait mis sous la forme précédente.

On voit, puisqu'un produit ne peut être nul sans qu'un de ses facteurs soit nul, que le polynôme /(z) ne peut s'annuler que pour les seuls nombres a^ b^ c, . , ,^ /, qui sont en nombre au plus égal à /i.

On voit aussi que le polynôme /(z) ne peut être mis que d'une seule façon sous cette forme, où tout est déterminé, les nombres a, 6, c, ..., /, qui sont les racines distinctes de /(z), les exposants a, P, ..., X, dont chacun indique l'ordre de multiplicité de la racine correspondante, le facteur constant A, nécessairement égal au coefficient de 3" dans le polynôme f{z).

Au reste, on pourrait invoquer encore le théorème du n" 80, sur l'impossibilité de décomposer de deux façons différentes un polynôme en un produit de facteurs premiers : ces facteurs premiers sont ici, comme on l'a dit plus haut, les polynômes du premier degré.

Un polynôme de degré n ne peut s'annuler pour plus de n valeurs distinctes de la variable.

Si l'on sait d'un polynôme en z qu'il n'est pas de degré supérieur à /i et qu'il s'annule pour plus de n valeurs distinctes de 2, on peut affirmer que tous ses coefficients sont nuls, car, si l'un de ces coefficients n'était pas nul, le polynôme serait d'un certain degré /9 < /i, ou bien il se réduirait à une constante, dans le cas où tous les coefficients seraient nuls, sauf le terme constant. Dans le premier cas il ne pourrait s'annuler pour plus de p valeurs distinctes de z ; dans le second cas, il ne serait jamais nul.

Deux polynômes en z du degré n au plus ne peuvent prendre des

KTUDE DBS POLYNOMES A COEFFICIENTS KT A VARIABLE IMAGINAIRES. 279

\aleurs égales pour plus de n valeurs distinctes de z sans être identiques terme à terme, puisque leur différence est un polynôme en z de degré n au plus qui s'annulerait pour plus de n valeurs de la variable. En d'autres termes, il n'existe qu'un polynôme de degré inférieur ou égal à n qui prenne n -\- \ valeurs données pour n -f- i valeurs données distinctes de la variable.

On a appris à former ce polynôme au n ' 67, dont les conclusions s'étendent immédiatement au cas d'un polynôme à coefficients et à variable imaginaires.

114. Lorsqu'un polynôme a ses coefficients réels, à chaque racine imaginaire de ce polynôme correspond une racine imaginaire conjuguée, pour laquelle l'ordre de multiplicité est le même.

Soit

/(;;)= Ao^«-+- A.-s'*-* -h. . .-h An,

le polynôme donné dans lequel les coefficients Ao, A«, . . ., A„ sont réels; supposons-le, en désignant par Zi, z^, . . ., Zn ses racines, chacune étant répétée autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité, mis sous la forme

dans cette identité, qui a lieu quel que soit ^, regardons z comme un nombre réel; /(-s) est alors un nombre réel.

Désignons par 3 p s!», ..., 5^Jes nombres conjugués de 5|, ^2, ..., 2/|.

Le nombre Ao(5 — ^\){^ — ^2)"*'(^ — ^//) ^^^ '^ nombre conjugué du nombre Ao(5 — s* ) (s — ^2)... (-5 — z,i) (n"91) : comme le dernier nombre est réel, le premier lui est égal ; l'égalité

\^{Z — Zy){z — Zi) . , .{z — Zn)= Pi^aiZ — Z\){Z ^ z',) . . ,{Z — Z',^),

devant avoir lieu pour toutes les valeurs réelles de 5, est une identité en z. En d'autres termes, le polynôme f{z) peut aussi bien être mis sous la seconde forme que sous la première. Tout facteur qui se trouve dans un membre doit se trouver dans l'autre et le même nombre de fois. Cette remarque n'apprend rien pour ce qui concerne les racines réelles, identiques à leurs conjuguées. Mais si -3j, par exemple, est une racine imaginaire d'ordre de multiplicité a, c'est-à-dire s'il y a dans le premier membre a facteurs identiques

28o CHAPITRR VII.

k z — ^j, il y en a le même nombre a qui sont identiques à z — z\; en d'autres termes le polynôme admet le nombre z\^ conjugué de 3,, comme racine du même ordre de multiplicité que z^.

11 est alors naturel de grouper ensemble les facteurs qui correspondent à deux racines conjuguées a -\-bi, a — bi; le produit

(z — a — bi)(z — a -h bi)

de ces deux facteurs est égal à

(z — a )* -H A* = a* — aa^ -h a* H- 6» ;

c'est le trinôme du second degré en s à coefficients réels, dont les racines sont a 4- bi^ a — bL En faisant de même pour chaque couple de racines conjuguées, on voit que tout polynôme /(^) peut se mettre sous forme d'un produit de facteurs réels; les uns sont du premier degré, ils correspondent aux racines réelles; les autres sont des trinomes du second degré à racines imaginaires ; chacun d'eux a pour racines un couple de racines imaginaires conjuguées du polynôme proposé. Si, par exemple, le polynôme f{z)^ du degré /?, à coefficients réels, admet /• racines réelles 5,, Zj, . . ., 2^ et 2 5 racines imaginaires, conjuguées deux par deux, et si l'on désigne par

Z^-irpxZ-^qx, z^^ptZ-Jirqi, ..., ««-+-/>.<-« -4- ^„

les trinômes du second degré dont chacun admet comme racines un des 5 couples de racines imaginaires conjuguées, le polynôme peut se mettre sous la forme

kQ(z — Zx)(z^z^),,,{z — Zr)iz^-\-pxZ->rqx){z^-^p^^z-\-qt). ,.(s^-^-pfZ-^q,).

Ao est touj(»urs le coefficient de z" dans /{z). Ici encore, on ne suppose pas que les facteurs du premier degré ou ceux du second soient nécessairement distincts : chacun figure autant de fois qu'il y a d'unités dans l'ordre de multiplicité de la racine correspondante, si elle est réelle, dans l'ordre de multiplicité commun aux deux racines conjuguées, s'il s'agit d'un facteur du second degré.

Ici encore, tout est déterminé dans ce mode de décomposition, lorsqu'on suppose que les facteurs du second degré n'ont pas de racines réelles. Au reste, on peut encore invoquer l'impossibilité de

décomposer de deux façons un polynôme en facteurs premiers. Si Ton se place en effet au point de vue des nombres réels, si l'on ne veut considérer que des polynômes à variables réelles et à coefficients réels, il est clair que les facteurs du premier et du second degré qui figurent dans la formule précédente doivent être regardés comme des facteurs premiers.

115. La recherche des racines d'un polynôme donné /(j:) est identique à la recherche des solutions de l' éq nation /( 3)== o, ou, comme on dit, à la résolution de cette équation.

On sait effectuer cette résolution dans le cas où l'équation est du premier ou du second degré ; dans ce dernier cas, en effet, la méthode que l'on enseigne dans les Éléments s'applique, que les coefficients soient réels ou imaginaires; on a à extraire une racine carrée, ce que l'on a appris à faire au n** 93.

Soit par exemple à résoudre l'équation

-«* — ( 2 H- t ;^ -4- 3 -4- / = o; on trouvera

les deux racines sont

et l'on peut écrire l'identité en z

z^ — {i -+- i)z-h 3 -4- t =(«5 — 1 — ii){z — 1-4- i).

H6. On sait encore effectuer la résolution pour une équation binôme, c'est-à-dire pour une équation de la forme x" — A = o, c'est le problème qui a été traité aux n"* 99, 100, etc. Bornons-nous au cas ou A est égal à i .

Les n racines de l'équation

^^ — I = o ou les n racines /i^^™*» de l'unité s'obtiennent (n" 100) en donnant

à A", dans l'expression cos h / sin » n valeurs consécutives.

Elles sont toutes simples, puisqu'il y en a /i qui sont distinctes. Le polynôme z" — i est donc le produit de n facteurs de la forme

ikiz . . ikiz

z — cos 1 sm 9

où Xr a /i valeurs consécutives. On peut aussi appliquer la formule du n» 114 et obtenir une décomposition en facteurs réels. Supposons d'abord n impair; on pourra prendre pour les n valeurs du nombre A* les n nombres consécutifs

n — i n — I n — i /i — i — 9 hi, ..., — I, o, I, ..., — - — — I, — - — ;

la valeur o attribuée à k fournit la seule racine réelle de l'équation proposée, savoir ^ = i; d'ailleurs, à deux valeurs symétriques de A: répondent deux racines conjuguées : on peut dire que la racine réelle unique de l'équation proposée est s = i , et que les n — i racines imaginaires, conjuguées deux par deux, sont contenues dans la

formule

ikTz , . . -ikit

cos ± i sin 9

où k doit prendre les valeurs i , a, . . . , • Le produit de deux fac-

teurs binômes correspondant à deux racines conjuguées est d'ailleurs

■2^ cos

I 2A:Tr\» . .^Aric

( z — cos -H Sin' = «* — •

\ r^ I ri

On a donc identiquement en ^,

-s" — I =(^ — i)| z* — %z cos — -h 1 j

X ( ^* — 2-S cos — -h I j . . . ( -5» — 2v« cos ^^ h I 1 ,

ce que l'on écrit souvent sous la forme

-S'*--I=(^ — l) |T ( ^* — 2«C0S — ^H-ih

le signe 1 1 indique qu'on doit faire le produit de facteurs qui se déduisent de l'expression écrite après ce signe, en donnant à k des valeurs consécutives, à partir de la valeur /:= i, placée au-dessous

du signe, jusqu'à la valeur k= > placée au-dessus.

Lorsque n est pair on peut prendre pour k les valeurs

— --hi, — - -h '2, ..., —I, G, i, ..., -■■"'» [^î

les racines i et — i, qui correspondent aux valeurs o et-> sont alors réelles, les autres sont imaginaires conjuguées, et l'on peut écrire

Le problème de la résolution des équations ou de la décomposition des polynômes en facteurs du premier degré sera repris ultérieurement; je me borne pour le moment aux exemples qui précèdent et je vais poursuivre quelques conséquences de cette décomposition supposée effectuée.

117. Quand deux polynômes /(^) et '^(:;) sont décomposés en facteurs du premier degré, on sait reconnaître immédiatement si l'un esl divisible par l'autre ; f{z) sera divisible par 'f (^) si tous les facteurs du premier degré qui figurent dans le polynôme ©(z) figurent dans le polynôme /(-s), autant de fois au moins : cette condition est nécessaire, comme on le voit de suite en supposant /( 5) = «p(^)J^ (-3), et le polynôme ^(5) aussi décomposé en facteurs du premier degré; elle est évidemment suffisante.

Dès lors, étant donnés deux ou plusieurs polynômes en s, décomposés en facteurs du premier degré, on saura former soit leur plus grand commun diviseur, soit leur plus petit commun multiple.

Le plus grand commun diviseur des polynômes P, Q, R, ... sera le produit des facteurs binômes qui figurent à la fois dans tous ces polynômes, chacun étant répété autant de fois que dans celui des polynômes P, Q, R,, . . , où il est répété le plus petit nombre de fois.

Le plus petit commun multiple de deux ou plusieurs polynômes P, Q, R, ... décomposés en facteurs du premier degré s'obtiendra en faisant le produit des différents facteurs qui figurent dans ces diiïérents polynômes, chacun de ces facteurs étant répété autant de fois que dans le polynôme où il est répété le plus grand nombre de fois.

Les démonstrations sont identiques à celles de FArithmétique, pour les théorèmes analogues concernant la recherche du plus grand commun diviseur des nombres entiers décomposés en facteurs premiers : ceux-ci sont remplacés, dans la théorie qui nous occupe, par les facteurs binômes.

Par exemple, le plus grand commun diviseur des polynômes

ar'(ar — i)'(a? -+- i)^(cc — i — t),

{x — \)^{x -k- t)*(:r — ij est

Leur plus petit commun multiple est

118. Racines multiples. — La théorie précédente permet de reconnaître la composition du plus grand commun diviseur entre un polynôme /(5) et sa dérivée et de décomposer effectivement un polynôme donné /(z) en un produit de polynômes dont chacun n'admet plus que des racines simples.

On a vu plus haut qu'une racine z^ du polynôme /(5), d'ordre de multiplicité a, est une racine de la dérivée f'{z) avec l'ordre de multiplicité a — I ; dans le cas où a est égal à i , où 2| est une racine simple de f{z)^ Zi n'est pas racine de la dérivée. Réciproquement, si 2| est une racine de la dérivée f{z)^ d'ordre de multiplicité (/, pour celte dérivée, et si j, est racine de f{z), on peut affirmer qu'elle est une racine d'ordre de multiplicité a' -h i pour/(z) : en effet, si a est son ordre de multiplicité fouvf{z)^ cet ordre de multiplicité pour/'(-) doit être a — i ; on doit donc avoir a — i = a' ( * ).

(') Un nombre peut être racine multiple de la dérivée d'un polynôme sans être racine de ce polynôme : ainsi ie polynôme z^ — i a pour dérivée 4^^ • o est une racine triple de cette dérivée et n'est pas racine de «* — i.

ËTLDK DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLE IMAGINAIRES. t285

D'après cela, si un polynôme /(5) n'a que des racines simples, il n'a pas de racine commune avec sa dérivée f'{z)] le plus grand commun diviseur de f{z) et de /'(^) est i. Réciproquement, si le plus grand commun diviseur d'un polynôme et de sa dérivée est i , on peut affirmer que ce polynôme n'a que des racines simples. Tel est, par exemple, le polynôme -z" — i .

Si un polynôme /(s) a des racines multiples^ et si on le suppose décomposé en facteurs du premier degré, on voit que le plus grand commun diviseur de ce polynôme et de sa dérivée est formé des facteurs correspondant aux racines multiples, chaque facteur figurant une fois de moins dans le plus grand commun diviseur que dans/(2).

119. Supposons que le polynome/(-s) admette des racines simples, doubles, triples, ..., />"p*''% mais non d'ordre de multiplicité supérieur à f>. Groupons ensemble les facteurs binômes qui correspondent aux racines simples, facteurs dont chacun ne figure qu'une fois dansy(2) et soit Z| leur produit; soit de même Z2 le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines doubles, . . ., Z^ le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines d'ordre de multiplicité /?, chacun de ces facteurs n'étant pris qu'une fois. On aura identiquement

/(^)=ZtZ|Zî...Zj;.

Le polynôme f{z)^ tout en admettant des racines multiples, peut fort bien ne pas avoir de racines multiples de tous les ordres, comme on l'a supposé dans la formule précédente : pour que celle-ci puisse embrasser tous les cas, il suffit de convenir qu'on remplacera par l'unité celui ou ceux des facteurs Z|, Za, . . ., qui doit manquer, Z2, par exemple, s'il n'y a pas de racines doubles.

On peuty par une suite d'opérations rationnelles effectuées en partant de f{z)^ déterminer chacun des polynômes Z<, Z2, ..., Tup.

En effet, d'après ce qu'on a dit plus haut, le plus grand commun diviseur entre y( -s) et sa dérivée /'(-s) doit admettre comme racines simples les racines doubles de /(s), comme racines doubles les racines

286 CHAPITRE Vil.

triples de /(«), etc. Il est donc identique à ZjZJZJZ^"*, en continuant d'adopter la convention par laquelle un facteur qui n'existe pas dans/(z) doit être remplacé par l'unité.

Désignons par/^ (z) ce plus grand commun diviseur, on a

/,(5)=Z,Z|...Zg-»;

le plus grand commun diviseur entre f\{z) et sa dérivée sera de

même

et ainsi de suite. Le plus grand commun diviseur entre /p^t(z) et sa dérivée sera

on sera prévenu qu'il faut s'arrêter, parce que, en cherchant le plus grand commun diviseur entre y^,.! (z) et sa dérivée, on n'en trouvera pas, puisque le polynôme Zp n'a pas de racines multiples. En d'autres termes l'ordre de multiplicité le plus élevé des racines de /{z) (le mombre p) sera le nombre de plus grands communs diviseurs qu'on aura eu à chercher, en comptant celui qui est égal à une constante. Les identités

/(-«)=Z,ZîZt...Zf,

/,(^) = z,zi...zg-^

/p,(^)=Z^,ZJ,

conduisent aux suivantes

?i(^)=-^ =ZiZ,Z,...Zp,

"^'^'^^tB =z.z,...z„

9p(')= /p-t(.'> =Zp,

puis à celles-ci

En sorte que, par suite de divisions, on trouve isolément les polynômes Z|, Za, . . . , Zji,<, 7jp. Par conséquent le problème qui consiste à trouver les racines d'un polynôme peut toujours être ramené au cas où le polynôme n'a que des racines simples.

Supposons que/(-3) ait ses coefficients rationnels; il en sera de même de la dérivée fiz), et des coefficients des polynômes qu'on obtient par une suite de divisions; dans ce cas, tous les polynômes Z|, Zj, . . ., Z;, ont leurs coefficients rationnels. Si l'un de ces polynômes se réduit au premier degré, sa racine sera donc un nombre rationnel. En d'autres termes, si un polynôme a ses coefficients rationnels, et s'il n'y a qu'une seule racine de ce polynôme à avoir un certain ordre de multiplicité, cette racine sera rationnelle.

Un polynôme du troisième degré, s'il a des racines multiples, ne peut avoir qu'une racine simple et une racine double, ou bien une racine triple : si les coefficients du polynôme sont rationnels, il en est de même de ces racines.

Un polynôme du quatrième degré, à racines multiples, peut avoir deux racines simples et une double, deux racines doubles, une racine simple et une racine triple, ou encore une racine quadruple. Si le polynôme a ses coefficients rationnels, la racine double dans le premier cas, toutes les racines dans le troisième et le quatrième cas, seront rationnelles; dans le second cas, le polynôme sera un carré parfait et il sera aisé de s'en apercevoir.

Appliquons par exemple la méthode exposée plus haut au polynôme f(z) = z*—z^ — 2^*-*-2z'-h>s* — i;

on trouvera que le plus grand commun diviseur entre ce polynôme et sa dérivée est

Le plus grand commun diviseur entre ce polynôme et sa dérivée est z — i. Ce dernier polynôme est premier avec sa dérivée. L'ordre de multiplicité le plus élevé est ici p = 3, et l'on a, en employant les notations précédemment

expliquées,

/(«)=Z,Z|Z| /,(^)=Z,Zi /,(«)= z,