Décomposer en fractions simples la fraction rationnelle
lit). Décomposer en fractions simples la fraction rationnelle
dont le dénominateur a été décomposé en facteurs au n" 1 19.
116. Décomposer, en appliquant la méthode du n* 119, le polynôme
ARRANGEMENTS, COMBINAISONS, PERMUTATIONS, INVERSIONS. FORMULE DU BINOME.
120. Si l'on considère n objets distincts, il y a lieu souvent de considérer les différents groupes formés avec p de ces objets (p^n) rangés dans un certain ordre ; les p objets qui figurent dans un g^roupe sont supposés différents; deux groupes sont regardés comme distincts s'ils diffèrent soit par la nature des objets qui y figurent, soit seulement par leur ordre. Tous ces groupes forment ce que l'on appelle les arrangements des n objets pris p ^ p] chacun d'eux s'appelle aussi un arrangement p k p des n objets; il est bien compris qu'il faut entendre par là un arrangement où figurent p des n objets et/> seulement.
Il importe de savoir former, sans omission ni répétition, tous les arrangements /> à p^ et de savoir en calculer le nombre, que je désignerai par A". (L'indice supérieur n n'est pas un exposant.)
On peut spécifier chaque objet par un signe, numéroter les objets au moyen des nombres i, 2, ..., /i, les désigner par les lettres a, 6, c, ..., l supposées en nombre égal à /î, puis substituer dans les raisonnements les signes aux objets : je me servirai ici des lettres a, 6, ...,/.
Si dans l'un quelconque des arrangements p k p de ces n lettres, on supprime la dernière lettre de l'arrangement, il reste les /? — i premières, qui sont toutes distinctes, c'est-à-dire un arrangement p — I dp — I des lettres a, 6, .,., /. Chaque arrangement )w à /> se déduit d'un arrangement/; — i kp — 1 en le faisant suivre de l'une des n — [p — i) lettres qui n'y figurent pas : De cette façon chaque arrangement p — I k p — I donne naissance à n — p -h i arrangements p à />, que l'on peut disposer sur des lignes horizontales, en plaçant
sur des lignes différentes les arrangements qui proviennent de deux arrangements p — i à /? — i , distincts l'un de l'autre. Le tableau ainsi formé contient tous les arrangements/? kp : aucun n'a été omis.
Aucun n'a été répété : car les arrangements qui sont sur une même ligne diffèrent par la dernière lettre, ceux qui sont sur des lignes différentes diffèrent par l'ordre ou la nature des p — i premières lettres.
Puisque le tableau contient A"^ lignes et que chaque ligne contient n — /? + I arrangements, on a
Les relations
A? = (/i-i)Aî,
A;î=(n — /?-4-i)AJ,,
dont la première est évidente et dont les autres se déduisent de la dernière en remplaçant/? par 2, 3, 4j • . •, donnent, en remplaçant de proche en proche A" par /i, A^ par (n — 1) /i, ..., la formule
AJJr= n(n — i)(n — -2). . .{n — p -hi)
qui fournit l'expression cherchée du nombre A" .
Si, par exemple, n = 3, les trois, six et six arrangements un à un,
deux à deux, trois à trois des lettres a, 6, c sont donnés parle tableau
suivant
a, aby ac^ abc,
6, ba, bc. acb,
f, ca, cb\ bac,
bca,
cab,
cba.
Lorsque/? est égal à /i, les arrangements des n lettres ne peuvent différer que par Tordre de ces lettres, qui figurent toutes dans chaque arrangement. Ces arrangements reçoivent alors le nom de permutations. On en désigne le nombre par la notation P„ ; c'est la même chose que AJJ ; ce nombre est donné par la formule précédente en y
