Si le tableau
^\ y\ ^1, xt yt z^
est de rang 2 et si les nombres situés dans une même ligne de ce tableau vérifient l'équation ax -4- by -4- c^ = o, la solution la plus générale de cette équation est donnée par les formules
X ■= X\tl-\- X^t%y
y = X\tx-^yth,
où «,, tt sont arbitraires.
Si le tableau
Zx
Ml,
yt
zt
est de rang 3 et si les nombres situés dans une même ligne de ce tableau vérifient l'équation ax H- by -h cz ■+■ du = o, la solution la plus générale de cette
4l6 CHAPITRE X.
équation est donnée par les formules
X = a?] /| -h ar j ^2 H- 373 ^a»
Z = Zit^-h Ziti-^ Zi ^3,
où ^1, tif ti sont arbitraires.
J58. Si le tableau
^1 Ji ^1 "il
^t yt «j wt
est de rang 2, et si les nombres situés dans une même ligne de ce tableau vérifient les deux équations indépendantes
ax -h bx -»- C3 -H du = o, a'x -h h' y -h c ^ -^ û?' M = o,
la solution la plus générale de ces équations est donnée par les formules
y =y\t\-\-y%txy
Z ^=. Zy t\-^ Z\ /»,
où t\ et tx sont arbitraires.
159. On considère les /> équations X, = o. Xj=o, ..., X,, = 0, linéaires en a?,, iTj, ..., J7,i; convenons de dire qu'un système de n formes Ti, Tj, ..., T„ linéaires en ^1, ^j, . . ., <„| vérifie ces p équations lorsque celles-ci sont vérifiées quelles que soient les valeurs de ^i, ^j, . . ., t,n quand on y remplace respectivement a^i, a:j, . . ., a^^j par Tj, Tj, . . ., T„.
Si les équations d(mnées sont «le rang r< /?., on a vu au n" 159 que la solution la plus générale s'obtient en laissant n — r inconnues arbitraires, les autres inconnues s'exprimant linéairement au moyen de celles-ci. Cela revient à dire que la solution la plus générale est fournie par un certain système de n formes linéaires de rang n — r. Montrer que tout système de n formes Ti, Tj, . . ., T„, linéaires en ^1, ^j, . . ., tm et de rang n — r, qui vérifient les équa^ tions proposées, en constitue la solution la plus générale.
160. Sauf dans le cas où l'on a x^^ x^^ y^^^y^^ le polynôme du premier degré en x^y^ le plus général, qui s'annule quand on remplace x.^y respecti-
DÉTERMINANTS. 4l7
vement par les nombres Xi^ yx ou x^^ y\ est, à un facteur numérique près,
X y I x\ yx 1
