Trouver tous les polynômes de la forme

a(a?*-i-^*) -h 6a? -4- cy-^- d T.

4l8 CHAPITAB X.

OU de la forme

axy -^bx->r cy '\- d

qui s'annulent quand on remplace x^ y par X\^ y\ ou par x^^ yx ou par x^i yi-

164. Dans un déterminant d'ordre /i, dont les lignes et les colonnes sont numérotées i, ^, . . ., n, on considère le terme dont les facteurs appartiennent aux cases

(ai,pi), («î, pj), ..., («/>,?/»),

II résulte de la proposition énoncée dans Texercice 127 que le coefficient de ce terme est une puissance de — i dont l'exposant est

Ah-Bh- A'-hB'-i-ai-i-a,-h...-l-ap-hPi-!-Pi-+- ...-h §p,

en désignant par A, B, A',B' les nombres d'inversion contenus dans les arrangements

(ai, aj, . . .,ap), (^n Pjî • • •> P/0>

(«/H-lî «/»-+-!» • . -1 a/i)î (P/»-Mî P/H-tî ^'•^ Prt)-

Montrer que la somme de tous les termes du déterminant dont p facteurs appartiennent à des cases qui se trouvent à la fois dans quelqu'une des lignes numérotées «i, sis, •••) ^p^ et dans quelqu'une des colonnes numérotées pi, P„ ..., P;, est égale à

en désignant par P le déterminant qui se déduit du déterminant proposé en supprimant les lignes numérotées a^^+i, a^+xi • • m «n ^t les colonnes numérotées P/M-iî P/H-Î7 • • .1 Prtî et par P' le déterminant qui se déduit du proposé en supprimant les lignes numérotées ai^aj, . . ., a^ et les colonnes numérotées Pi,

Pi,..., p;,.

165. Soit A un déterminant d'ordre n, dont les lignes et les colonnes sont numérotées 1,2,..., n. Supposons qu'on ait rangé sur une même ligne toutes les V = G^ combinaisons des n nombres i, 2,. . . , n pris p 9l p. Chacune de ces combinaisons se trouve ainsi avoir un numéro d'ordre. Considérons la a**"* et Ja P'*"* de ces combinaisons; soient respectivement a et 6 les sommes de ceux des nombres 1,2, . . ., n qui entrent dans ces dernières combinaisons. Soit eiUa.p le déterminant déduit de A en supprimant toutes les lignes dont les numéros ne figurent pas dans la a'^™' combinaison et toutes les colonnes dont les numéros ne figurent pas dans la p*''"* combinaison. Soit X^,p le produit par ( — i)**"^* du déterminant déduit de A en supprimant au contraire toutes les lignes dont les numéros figurent dans la a'^"*' combinaison et toutes les colonnes dont les numéros figurent dans la P'**"* combinaison.

DÉTERMINANTS. 4l9

On a

en désignant par s un nombre égal à o si a est différent de p, à i si a = p. Écrire explicitement ces relations, dans le cas où Ton a /t = 4) Z' = 2*

166. On considère deux tableaux (A) et (B) comprenant/? lignes et n colonnes, numérotées au moyen des nombres i, 2, . . ., />, d'une part, i, 2,. . ., 'i de Tautre. Soient, en général, ar,s et br^s les éléments de ces tableaux qui appartiennent à la r'*"* ligne et à la 5'*"* colonne, et soit, en désignant par a, ^ deux des nombres i, 2, . . . , /?

Soit C le déterminant du /?'•"** ordre dans lequel 0^,3 estrélèment qui appartient à la a'""* ligne et à la P'*'"* colonne. Il résulte du n® 162 que, si Ton a n=^, le déterminant G est le produit des déterminants A, B que définissent les tableaux (A), (B).

Montrer que C est nul, si l'on a /i </?.

Dans le cas où n est plus grand que /?, imaginons que toutes les v = C^ combinaisons des n nombres i, 2, . .., /i pris^ à p soient rangées sur une même ligne et affectées ainsi chacune d'un numéro d'ordre. Désignons en général par Ar, B;. les déterminants du^'*"** ordre qui se déduisent respectivement des tableaux (A), (B) en ne conservant que les colonnes dont les numéros figurent dans la r'**"' combinaison, on a

C = AiBiH- AjBjH- . • . -4- AyBy.