Je rappelle tout d'abord quelques définitions

Si l'on considère une ou plusieurs lettres x,y, s^ ... susceptibles de prendre telles valeurs qu'on voudra, un monôme en x^y, z, ... est un produit de facteurs dont l'un (coefficient) est un nombre, dont chacun des autres est représenté par quelqu'une des lettres x, y, z, ... : le nombre de ces derniers facteurs est le degré du monôme. Le monôme prend une valeur numérique déterminée quand on attribue des valeurs numériques déterminées aux variables x, y, z, ... : c'est ce qu'on entend en disant qu'il est une /onction de ces variables. Si l'on n'attribue pas une valeur numérique déterminée à ces variables, le monôme est une simple écriture, caractérisée, d'une part par son coefficient, d'autre part par le nombre de facteurs .r, le nombre de facteurs^, ....

Lorsque le monôme est précédé du signe + ou du signe — , on regarde ce signe comme attaché au coefficient, que l'on écrit d'habitude avant les variables : — 3xxy est un monôme dont le coefficient est — 3. Le coefficient d'un monôme peut d'ailleurs être i ou — i : tel serait le cas pour les monômes xx, — xy.

Le coefficient d'un monôme peut être représenté par une lettre que l'on choisira habituellement parmi les lettres de l'alphabet éloignées de celles qui représentent les variables. Axxy est un monôme dont le coefficient est A. Sans doute celte lettre peut représenter des nombres distincts; mais, si on lui attribue des valeurs distinctes, on aura afl'aire à des monômes distincts. Dans un même monôme, le coefficient, s'il est représenté par une lettre, est une constante; cette lettre joue un rôle tout à fait différent de celles qui figurent les variables.

6o CHAPITRE Tt.

Deux monômes qui ne diffèrent que par le coefficient sont dits semblables. Deux monômes sont identiques si les coefficients sont les mêmes, et s'ils contiennent le même nombre de facteurs j:, le même nombre de facteurs j>^, ....

Il est naturel de grouper ensemble les facteurs égaux à ^, ceux qui sont égaux à jk? • • . , et d'employer la notation des exposants pour représenter les produits partiels des facteurs x, des facteurs y^ ... : ces exposants sont des nombres naturels : si le facteur x entre n fois dans un monôme, si le facteur j^ entre/? fois, . . ., le monôme est dit du degré n en x, du degré p en y, .... Le degré du monôme en .r, y., z, ... est la somme des exposants dont sont affectées ces lettres.

Une lettre x, y^ z^ ... qui n'entre qu'une fois comme facteur doit être regardée comme affectée de l'exposant i , qui ne s'écrit pas.

Il peut être commode de regarder celles des lettres x., y, z, . . . qui n'entrent pas effectivement dans le monôme comme y figurant cependant et comme étant affectées de l'exposant o (n" 2^).

Enfin, il peut encore être commode de regarder un nombre, oti une constante, comme étant aussi un monôme en a:, y, z, . . ., de degré o par rapport à chacune de ces variables.

La somme de plusieurs monômes eux^^y, z, . . . est, par définition, un polynôme en x,y, s, ... ; un polynôme peut d'ailleurs se réduire à un seul monôme; parmi les monômes qui constituent un polynôme (les termes du polynôme) peut figurer une constante. Un polynôme prend une valeur numérique déterminée quand on attribue des valeurs numériques aux variables x,y, z, . . .; c'est une fonction de ces variables. Quand on n'attribue pas de valeurs déterminées à ces variables, le polynôme est une simple écriture dont les éléments essentiels sont les coefficients et les exposants qui caractérisent chacun de ses termes. Le polynôme est dit réduit lorsqu'il ne contient pas deux monômes semblables; étant donné un polynôme, on peut toujours effectuer la réduction des termes semblables, c'est-à-dire remplacer l'ensemble des monômes semblables par un seul monôme qui leur soit semblable et dans lequel le coefficient est la somme algébrique des coefficients des termes semblables, et supprimer les termes dont le coefficient serait nul : le polynôme que l'on obtient ainsi prend la même valeur numérique que le proposé quand on attribue aux variables X, y, ^, ... des valeurs numériques, d'ailleurs quelconques.

Lorsqu'un polynôme en x, y, z, . . . est réduit, son degré, enx, est

POLYNOMES. 61

l'exposant le plus élevé dont est affectée la lettre x dans celui ou ceux des monômes constitutifs du poljnome qui la contiennent avec le plus fort exposant. De même pour les degrés en jk^ en ^, Relativement à l'ensemble des variables x^y^ z^ .... chaque terme du polynôme, que je suppose toujours réduit, a un degré, la somme des

exposants dont sont affectées, dans ce terme, les lettres :r, y, 2,

Le plus grand de ces degrés est le degré du poljnome en x^y^ jî, . . . ; quand tous ses termes sont de même degré, le poljnome est dit homogène.

Deux poljnomes sont dits identiques lorsque, étant réduits, ils sont composés des mêmes monômes. Leurs valeurs numériques sont alors les mêmes quand on attribue aux variables un sjstème de valeurs numériques.

L'ordre dans lequel sont écrits les termes du poljnome réduit n'importe pas. Toutefois, il est souvent commode déranger ces termes dans un ordre déterminé, à^ordonner le poljnome. Quand il ne contient qu'une variable, on range les termes par degrés croissants, ou décroissants ; c'est ce qu'on appelle ordonner le poljnome par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de la variable.

On déduit des règles relatives à l'addition, à la soustraction, à la multiplication des nombres des règles qui permettent, deux poljnomes étant donnés, de trouver un poljnome réduit dont la valeur numérique soit toujours égale, quel que soit le sjslème de valeurs numériques attribuées aux variables, à la somme, à la différence, ou au produit des valeurs numériques des poljnomes donnés. Je ne reviens pas sur ces règles, bien connues du lecteur. Que la solution qu'elles fournissent des problèmes posés soit la seule possible, c'est ce qui sera établi tout à l'heure.

L'objet propre de l'Algèbre est l'étude des poljnomes à différents points de vue; une des parties les plus importantes de cette étude est la recherche des sjstèmes de valeurs qu'il faut attribuer aux variables pour que la valeur du poljnome soit nulle : c'est la théorie des équations algébriques. Je commencerai par l'étude des poljnomes à une variable, en me plaçant surtout au point de vue de la façon dont la valeur du poljnome dépend de la valeur de la variable. Il est intéres-^ sant, en particulier, de savoir si la valeur du poljnome croît ou décroît, quand la valeur de la variable croît; quel est le signe de la valeur du poljnome, etc.

CHAPITHE II.

Au lieu de dire valeur du polynôme pour une valeur déterminée de la variable, il m'arrivera fréquemment de dire simplement le polynôme par une ellipse un peu incorrecte. C'est ainsi qu'on dit : le polynôme est nul, il croi(, il décroîl, ....

28. L'élude de la variation a été faite dans les éléments pour les polynômes en x du premier et du second degré ax + 6, ax- -^hx -\- c (a, 6, c sont les coefficients; a est supposé différent de o).

On sait de quelle commodité, pour cette étude, est la représentation graphique.

Après avoir fait choix d'un système d'axes coordonnés rectangulaires OX, OY, dont l'origine est le point d'intersection O, d'une

Fis. 6.

unité de longueur, d'un sens positif sur chacun des axes, on fait correspondre à chaque point M du plan ses coordonnées x^y^ c'est-à-dire les deux équivalents algébriques des vecteurs OP, OQ dont les extrémités sont les projections orthogonales P, Q du point M sur les axes, et à chaque système de nombres relatifs .r, y le point dont ces nombres sont les coordonnées, le premier étant \ abscisse, le second \ ordonnée .

On sait que le lieu des points M, de coordonnées x^ y^ pour lesquels on ajK = CLX + b est une droite (dont on dit que j^ = ax + b est l'équation) : a est le coefficient angulaire ou la pente de cette droite et de toutes ses parallèles; c'est l'ordonnée du point d'abscisse égale à i, pour la parallèle à la droite considérée qui passe par l'ori-

POLYNOMES. 63

gine, parallèle dont l'équation esly = ax : celte parallèle est, ou non, située dans l'angle des coordonnées positives et dans l'angle opposé par le sommet suivant que a est positif ou négatif.

Fis. 7.

Si l'on suppose que le point variable P, d'abscisse .r, se déplace sur Taxe des x de gauche à droite, que x croisse de — oo à + oo, on voit sur les figures comment l'ordonnée y = ax-{-b du point M croît de — 00 à + oc, ou décroît de + oo à — oc, suivant que a est positif ou négatif. Le nombre y = ax -{- b est de signe contraire à «, tant

que X n'a pas atteint la valeur pour laquelle y est nul, c'està-dire tant que le point P est à gauche du point A, où la droite rencontre l'axe des x ; y est au contraire du même signe que a lorsque x

a dépassé la valeur > quand le point P est à droite de A,

11 est commode d'imaginer que le point variable P, d'abscisse x, se meut sur l'axe des x d'un mouvement uniforme avec une vitesse égale à 1 , en passant à l'origine à l'époque o, en sorte que cette abscisse X représente le temps, mesuré avec une unité convenable. Le point Q, correspondant à x, se meut alors dun mouvement uniforme sur l'axe desj^, avec une vitesse égale à a, en montant ou en descendant constamment suivant que a est positif ou négatif : il est en O quant le point P est en A : il se déplace plus ou moins vite suivant que la valeur absolue de a est plus ou moins grande, que la pente de la droite est plus ou moins forte.

Si l'on considère une droite quelconque (D), non parallèle à l'axe des^, les coordonnées x, y d'un point quelconque de celte droite vérifieront une équation^ = ax + b^ dans laquelle les constantes a et b (la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite) caractérisent la posi-

lion de la droite. Si celle-ci doit passer par un point de coordonnées x' ^ y , on doit avoir

et son équation peut, par suite, s'écrire

telle est l'équation d'une droite dont la pente est a et qui passe par le point x', y'.

Si x", y sont les coordonnées d'un point de celte droite, autre que le point de coordonnées x', y, on aura

ainsi la pente d'une droite qui joint deux points est égale à la différence des ordonnées de ces deux points, divisée par la différence de leurs abscisses. En particulier, la pente d'une droite qui joint l'origine

au point dont les coordonnées sont x',y est — ,•

La formule "^-j — —,t qui donne la pente de la droite qui joint les

deux points de coordonnées x', y' et x", y représente aussi la vitesse d'un point qui se mouvrait uniformément sur l'axe des jK et qui, aux époques x', x", passerait aux points dont les ordonnées sont jk'? y"-

L'équation de la droite qui joint les deux points de coordonnées x', y et x", y", ou l'équation du mouvement uniforme sur l'axe des jK du point qui, aux époques x', x", passe aux points dont les. ordonnées sonly'^y", est

dans le dernier cas, x représente le temps.

La variation du trinôme du second degré ax- -{- hx + c, la forme et la disposition de la parabole lieu des points dont les coordonnées x^ y vérifient l'équation

y ^= ax'^-\- bx -\- c, résultent aisément de ce qu'on vient de dire sur la variation d'un.

POLYNOMES.

binôme du premier degré et de l'identité

tar2-+- bx

^ac — b^']

je ne m'y arrêterai pas, non plus qu'à la façon dont le point Q, d'ordonnée j', se déplace sur l'axe des y, quand le point P d'abscisse x' se meut uniformément sur l'axe de x, de gauche à droite.

29. Considérons encore la fonction «.r'', où a est un nombre différent de o, et n un nombre naturel.

Le cas' où n est égal à i a été étudié plus haut : on peut l'écarter.

Comme le produit de deux ou plusieurs nombres positifs augmente quand ces nombres augmentent, il est clair que x" croît de o à + oo, quand x croît de o à + oo : d'un autre côté, quand on change x en — X, x'^ se change en — j:", ou ne change pas, suivant que n est impair ou pair. Il suffit de ces remarques pour reconnaître, grossièrement, que la courbe définie par l'équation y^ax"^ a l'une des quatre formes figurées ici.

Fig. 8, 9, 10, II.

Les deux premières figures se rapportent au cas où n est impair, la première au cas où a est positif, la seconde au cas où a est négatif; l'origine est alors un centre de symétrie pour la courbe, parce que deux points, dont les coordonnées sont des nombres symétriques, sont «eux-mêmes symétriques par rapport à l'origine.

Les deux dernières figures se rapportent au cas où n est pair, la troisième au cas où a est positif, la quatrième au cas où a est négatif. Dans ce cas l'axe desjK est, pour la courbe, un axe de symétrie.

Dans tous les cas, ax" est nul pour.r = o; dans le premier cas (/i impair, « > o), pour x=o, ax'^ est plus petit que pour les valeurs de x un peu plus grandes que o, et plus grand que pour T. 5

f-G CHAPITRE II.

les valeurs de x un peu plus petites que o : on dit que ax" ^ pour ;r = o, est une fonction croissante. Dans le second cas [n impair, a <^o) pour ^ = o, ax'^ est plus grand que pour les valeurs de x un peu plus grandes que o, et plus petit que pour les valeurs de x un peu plus petites que o : on dit que ax", pour x = o, est une fonction décroissante.

Dans le troisième cas {n pair, a>>o), pour x^o., ax"^ est plus petit que pour les valeurs de x voisines de o, positives ou négatives : on dit que pour ;r = o, ax"^ passe par un minimum] dans le quatrième cas, enfin (/i pair, a<;o), pour x^o., ax" est plus grand que pour les valeurs de x voisines de o, positives ou négatives : on dit que ax", pour x ^ o^ passe par un maximum.

Lorsque x est nul, ax'^ est nul; quand x est voisin de o, ax" est voisin de o. 11 est aussi voisin de o qu'on veut, pourvu que x soit luimême suffisamment voisin de o. D'une façon précise, si l'on se donne un nombre positif a, aussi petit que l'on veut, on peut trouver un nombre positif p, tel que ax" soit certainement plus petit que a, en valeur absolue, pourvu que x soit plus petit que j3, en valeur absolue, tel, en d'autres termes, que la condition [ a? | «< j3 entraîne l'inégalité I ax"\ << a.

Cette dernière inégalité, en effet, est vérifiée, pourvu que l'on ait

il suffira donc de prendre p ^1/ .--, •

Le fait que ax" est aussi petit que l'on veut, en valeur absolue, pourvu que x soit suffisamment petit en valeur absolue, s'exprime en disant que ax" est infiniment petit avec x.

En supposant que le nombre naturel p soit plus grand que /i, bxP est infiniment petit avec ^, de même que ax". On dit que bxP est infiniment petit par rapport à ax", en entendant parla que le rapport

— ^ = - xP"" est infiniment petit avec x. ax't a ^

Pourvu que x soit suffisamment petit, bxP est petit par rapport à ax" fnote du n° 19). Il est à peine utile de dire que les nombres «, b sont supposés différents de o.

Considérons, par exemple, les expressions 2.x'-, looo^^ etneconsi-

POLYNOMES. 67

dérons que des valeurs de x moindres que 0,01 en valeur absolue; IX- restera, en valeur absolue, moindre que 0,0002 et loooa:^, moindre que 0,0000001; si, sur une feuille de dessin, on voulait figurer les deux courbes dont les équations sonty = 2:r-,y = looo^r*, en prenant le mètre pour unité de longueur, la portion de la première courbe dont les points ont une abscisse moindre qu'un centimètre, en valeur absolue, ne pourrait guère se distinguer de l'axe des x\ la portion analogue, pour la seconde courbe, ne s'en distinguerait nullement; cette courbe ne paraîtrait guère se séparer de l'axe des x que pour les points dont l'abscisse serait comprise entre quatre et cinq centimètres.

En particulier, si n est plus grand que i, ax"^ est infiniment petit par rapport à x^ ou un infiniment petit d'ordre supérieur à x. Quand x est suffisamment petit, en valeur absolue, ax'^ est, en valeur absolue, beaucoup plus petit que x.

Considérons la courbe dont l'équation estj>^ = «J7"; le rapport

est la pente de la droite qui joint le point O au point M de la courbe, qui a pour coordonnées a? et jk = «^" 5 pourvu que x soit assez petit en valeur absolue, pourvu que le point M soit suffisamment voisin du point O, cette pente est aussi faible qu'on veut, la droite qui joint le point O au point M s'écarte aussi peu qu'on veut de l'axe des x : c'est ce qu'on exprime en disant qvie l'axe des x est tangent à la courbe au point O. Ceci suppose /i ^ 1 .

Lorsque n est impair la courbe traverse la tangente en O : le point O est un point d'inflexion.

Lorsque n est pair, aux environs du point O, la courbe est tout entière d'un côté ou de l'autre de l'axe de x : c'était pour les anciens la propriété caractéristique de la tangente.

Dans tous les cas, la distance MP du point M à la tangente est beaucoup plus petite que OP, pourvu que P soit assez près de O.

Quand x est très grand en valeur absolue, ax" est lui-même très grand en valeur absolue. D'une façon précise :

Quelque grand que soit le nombre positif A, on peut trouver un nombre positif B tel que la condition |j7J^B, entraine l'inégalité

I ax'^ I >> A. On pourra prendre

nf A

On dit que ax'^ est infiniment grand avec x.

Si l'on suppose /> >■ /«, bxP est infiniment grand par rapport dax"^ c'est-à-dire que le rapport de bxP à ax" finit par être aussi grand qu'on le veut, en valeur absolue, pourvu que x soit suffisamment grand, en valeur absolue. En particulier, si n est plus grand que i, ax" est infiniment grand, par rapport à x.

Par exemple, on a vu que, pour les valeurs de x suffisamment voisines de o, la courbe dont l'équation est jk^= looo^r* est située entre l'axe des x et la courbe dont l'équation est y = 257-, beaucoup plus près de l'axe que cette dernière; pour les grandes valeurs positives de X, au contraire, la première courbe monte beaucoup au-dessus de la seconde.

§ 2. — ÉTUDE D'UN POLYNOME A UNE VARIABLE POUR LES VALEURS DE LA VARIABLE VOISINES DE ZÉRO.

30. On verra tout à l'heure comment l'étude d'un polynôme en x, pour les valeurs de x qui avoisinent un nombre quelconque Xo, se ramène à l'étude d'un autre polynôme pour les valeurs de la variable qui sont voisines de o. C'est sur cette étude fort importante que je vais m'arrêter.

Lorsqu'on veut étudier un polynôme en x pour les valeurs de x voisines de o, il convient d'ordonner ce polynôme par rapport aux puissances croissantes de x, parce que, alors, chaque terme est petit, en valeur absolue, par rapport à ceux qui le précèdent, pourvu que x soit suffisamment petit en valeur absolue.

Considérons, par exemple, le polynôme

3 — 2ar-i-4^- — 5a:^ -h x^;

chaque terme sera plus petit, en valeur absolue, que le terme qui le précède, si x est, en valeur absolue, inférieur au plus petit des

nombres

POLYNOMES. 69

c'est-à-dire plus petit que ^. Supposons qu'on n'ait affaire qu'aux valeurs de x qui vont de — ^oô ^ ^~ TJïï' ^^^^ comme on dit, qui appartiennent à l'intervalle (') ( — —, +tÙ1))' ^^^ termes — 2:r, 4^'i — 5^', x^ resteront tous petits; la valeur du polynôme sera à peu près égale à 3, c'est une première valeur approchée. Une valeur plus approchée sera fournie par celle de 3 — 2X, car l'erreur que l'on commet en substituant la valeur de 3 — 20: à celle du polynôme, c'est-à-dire la valeur du polynôme /\ x- — 5x^ 4-^*, sera très petite; puisque les valeurs (a])solues) de 4^', — 6x^, a?* sont petites par rapport à celle de .r. 3 — 2.27 est une expression approchée du polynôme, beaucoup plus facile à calculer que ce polynôme lui-même, et dont il suffira, dans bien des cas, de connaître la valeur. L'expression 3 — 2;r -h 4^' sera de même une expression plus approchée du polynôme, etc.

Si, par exemple, on veut calculer la valeur du polynôme pour a? r= 0,0020, en se servant des expressions approchées 3, 3 — 2X, 3 — 2X -h 4^*j on trouvera les valeurs approchées

tandis que la valeur exacte est 2,9950249219140620.11 n'y a pas de science d'observation, si précise soit-elle, où cette valeur exacte importe, ait même quelque signification; la première valeur approchée, bien souvent, et la seconde, presque toujours, suffiront amplement dans la pratique.

Ces observations semblent n'avoir qu'une valeur pratique; on va voir qu'elles ont une très grande importance théorique. Il est d'ailleurs clair qu'elles ont besoin d'être précisées, car elles tomberaient en défaut s'il y avait dans le polynôme un coefficient très grand; 3 — 2^ ne fournirait pas, pour ;r ^ o, 0026, une valeur approchée du polynôme 3 — 2^7 + 4^- — 5x^-h io-".r'.

Observons d'abord que si, dans un polynôme, on remplace tous les coefficients par leur valeur absolue et x par sa valeur absolue, ou un nombre plus grand, on ne peut qu'augmenter la valeur absolue du polynôme. Si, en particulier, on ne veut considérer que des valeurs

(') Si a, b sont des nombres dislincts Vintervalle (a, b) est l'ensemble des nombres a, b et des nombres réels compris entre a, b.

de la variable qui soient, en valeur absolue, au plus égales à i, il est clair que la valeur absolue du polynôme sera au plus égale à la somme des valeurs absolues de ces coefficients. D'un autre côté lorsque, dans un produit de facteurs positifs, on remplace un des facteurs par un nombre plus grand, on ne peut qu'augmenter le produit.

Ces simples remarques nous fournissent un moyen simple d'évaluer des limites des erreurs que l'on commet en procédant comme on vient de l'expliquer.

Si, par exemple, on revient au polynôme

3 — ix -+- 4^^ — 5a73-Ha7*,

et si l'on désigne par x^ la valeur absolue de x^ supposée inférieui'é à i, on voit que les erreurs que l'on commet quand on substitue au polynôme les expressions approchées 3, 3 — nx^ 3 — ix -\- ^x"^^ à savoir les valeurs des polynômes

— IX -\- !\x''' — 5a;'^-f- 37* = x{ — 9, — t\x — Srr^-f- a^^^^

^x""- — 5 :c^ -H .T* = a:^ ( 4 — lar-i-a;-),

— 5 a;* + 37* = ar^ ( — j+a"),

sont respectivement moindres, en valeur absolue, que

et par conséquent, si x' est moindre que 0,01, respectivement moindres que

0,12, 0,001, O,OOO0O().

Si l'on prenait le mètre pour unité de longueur, et si l'on voulait construire, sur une feviille de papier à dessin, la partie de la courbe dé^nie par l'équation

JK= 3 — IX -r- \X^ 537^-1-3"*

qui correspond aux valeurs de x comprises entre — 0,01 et 0,01, cette partie de courbe différerait peu de la droite dont l'équation est

JK=3 — 23-,

POLYNO^IES. 71

et ne pourrait pas se distinguer de la parabole dont l'équation est

31. Les propriétés des poljnomes ordonnés suivant les puissances croissantes de x vont toutes se déduire du théorème suivant :

Si un polynôme en x ne contient pas de terme constant, ce polynôme, qui s' annule pour x ^= o, reste aussi petit qu'onveut, en valeur absolue, pourvu que x soit suffisamment petit en valeur absolue. En d'autres termes, vm tel poljnome est infiniment petit avec X.

Quand il ne contient pas de terme constant, un poljnome est nul pour x = o; réciproquement, pour que la valeur d'un poljnome réduit soit nulle pour x = 0, il faut évidemment que le terme constant soit nul; tel est, par exemple, le poljnome, ordonné suivant les puissances croissantes de x^

ix^ — x'*-+- 3.r» — 4^*'

Si l'on désigne par x' la valeur absolue de x^ la valeur absolue du poljnome ne peut dépasser

ni ti fortiori

( 2 -t- I -i- 3 -f- J\)x'^ = loa;'^,

si x' est moindre que i .

Si x' est très petit, il en sera de même de lOJ?'^, a fortiori de la valeur absolue du poljnome; quand x reste voisin de o, la valeur du poljnome reste elle-même voisine de o; d'une façon précise :

Si Von considère un polynôme en x, sans terme constant, et si Von se donne un nombre positif (x., aussi petit qu'on le veut, on peut fixer un nombre positif^, tel que le polynôme reste, en valeur absolue, moindre que a, pourvu que x soit moindre que ,3 en valeur absolue.

Pour que le précédent poljnome, par exemple, reste moindre que 0,01, en valeur absolue, il suflîi'a de supposer x'<l 0,1.

72 chapitrh: ii.

Si un polynôme en x contient un terme constant, sa valeur, pour X = o^ est celle de ce terme constant : je vais montrer que, si x reste voisin de o, la valeur du polynôme reste voisine de celle de ce terme constant.

Considérons, par exemple, le polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de x^

— 5 + 2 373 — x'^-^Zx^ — 4^®j

sa valeur, pour 37 = 0, est — 5; sa valeur, pour n'importe quelle valeur Xq de x^ s'obtient en faisant la somme de — 5 et de la valeur, pour 37 = ^05 du polynôme ix'^ — x''-{-?>x^ — 4-2?*'? qui ne contient pas de terme constant; cette dernière valeur sera voisine de o, si ;r est voisin de o. La différence entre la valeur du polynôme proposé et la valeur — 5 qu'il prend pour x = o reste, en valeur absolue, aussi petite qu'on le veut, pourvu que x reste suffisamment voisin de o. En d'autres termes, qui s'appliquent d'ailleurs, soit que le polynôme comporte un terme constant, soit qu'il n'en comporte pas :

Si Von se donne un nombre positif a, on peut lui faire correspondre un nombre positif ^ teL que la différence entre les valeurs que le polynôme prend pour x^o et pour x = Xo soit moindre que a en valeur absolue, pou/vu que Xq soit lui-même moindre que [i en valeur absolue.

C'est ce que l'on exprime d'une façon abrégée en disant que tout polynôme en x est une fonction continue de x, pour x ^ o.

Un polynôme en x, qui contient un terme constant., ne s'annule pas pour les valeurs de x suffisamment voisines de o; pour ces mêmes valeurs, il est de même signe que son premier terme.

11 suffira de prendre, dans l'exemple précédent, a inférieur à la valeur absolue 5 du terme constant, et de déterminer p de façon que la valeur absolue du polynôme 2x'^ — ^'-f-Sa^^ — ^^c soit moindre que a ; on sera certain que, si x est moindre en valeur absolue que ^, le polynôme

— 5 -+- ix^ — x'' -^ 3x^ — 4^*

ne sera jamais nul, et qu'il sera toujours du signe de — 5.

POLYNOMES. 73

C'est ce qui arrivera, par exemple, si l'on prend

Pour les valeurs de X, autres que o, mais suffisamment voisines de o, un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de X et ne contenant pas de terme constant ne s'annule pas et est du même signe que son premier terme.

Considérons, par exemple, le poljnome

Sa valeur est égale au produit de x^ par celle du polynôme

celle-ci, pourvu que x ne soit pas nul et soit moindre, en valeur absolue, qu'un nombre positif convenablement choisi, est différente de o et du même signe que 2; son produit par x^ sera donc, dans les mêmes conditions, du même signe que ix^^ et ne s'annulera que pour a? = o.

Le poljnome ix^ — 4-^*+ ^^^ 6st nul pour a? = o, positif pour x un peu plus grand que o, négatif pour x un peu plus petit que o, de même que ix^', les valeurs qu'il prend pour des valeurs de x un peu phis grandes ou un pe^ plus petites que o sont respectivement plus grandes ou plus petites que celles qu'il prend pour x=^o. C'est ce qu'on exprime en disant que le poljnome est, pour ^ = o, une fonction croissante de x (n" 29).

Soit, en général, ax"^ le premier terme d'un poljnome ordonné suivant les puissances croissantes de x, dans lequel ne figure pas de terme constant. Pour ^ = 0, le poljnome sera nul, comme ax"^; pour X voisin de o, le poljnome sera dii même signe que ax'"^ : le poljnome sera, comme «.r'", plus grand ou plus petit que la valeur qu'il prend pour x = o; le poljnome, au point de vue de la variation, se comporte, pour x = o, comme son premier terme ax"^. Si m est impair, il sera croissant ou décroissant, suivant que a sera positif ou négatif. Si m est pair, le poljnome, suivant que a sera positif ou négatif, passera, pour x = o^ par un minimum ou un maximum, c'està-dire qu'il sera, pour les valeurs de x voisines de o, positives ou né-

74 CIIAPITHE II.

gatives, plus grand que pour ;r = o, dans le premier cas, plus petit que pour x ^ o^ dans le second cas.

Si le polynôme contient un terme constant, ce terme constant n'influe pas sur le sens de la variation : on n'en tiendra pas compte, et l'on regardera seulement le terme «.r"*, du plus bas degré, en dehors du terme constant. Pour x = o, le polynôme sera croissant ou décroissant, présentera un minimum ou un maximum, dans les mêmes conditions que ax"^. Seulement, sa valeur, pour x = o, sera le terme constant, au lieu d'être o, comme dans le cas précédent.

Considérons, par exemple, le polynôme

1 — IX -\- l[X^ — 5x^-i- x'^

et la courbe définie par l'équation

^ = 3 — ix -h ^x^ — jx^-+- x'*,

ou plutôt la portion de cette courbe qui correspond à des valeurs de x voisines de o.

Fis. .a.

Pour x = o,y est égal à 3; 3 est l'ordonnée du point A de la courbe situé sur l'axe des y, pour avoir les ordonnées des autres points il faut ajouter à 3 la valeur de — 2.2: 4- 4^" — 5 x^ -{- ^^ '■, pour les valeurs de x voisines de o, la valeur de ce polynôme est positive si X est négatif, négative si x est positif; la valeur de y est d'abord

POLYNOMES. 75

un peu plus grande que 3, puis un peu plus petite; à gauche de l'axe desjK la courbe est au-dessus de la droite AA'; à droite, elle est au-dessous : pour x = o, le polynôme est décroissant. Considérons la droite dont l'équation est y = 3 — 2;r, droite que le lecteur sait tracer; pour les valeurs de a: voisines de o, l'ordonnée de cette droite diffère peu de celle de la courbe; à un point M' de la droite correspond un point M de la courbe, de même abscisse x ; on obtient l'ordonnée de ce point M en ajoutant à l'ordonnée 3 — '2X du point M' la valeur du polynôme 4^" — 5a:^4- x' : cette valeur est l'équivalent algébrique du vecteur M'M, en prenant pour direction positive, sur les parallèles à l'axe des y, la même direction que sur cet axe.

Le polynôme 4^^ — ùx^ -\-x'' est positif, quand x est voisin de o : la courbe est au-dessus de la droite AB, de part et d'autre de A. Cette droite est tangente à la courbe, au sens que les anciens donnaient à ce mot; elle lui est encore tangente, dans le sens des modernes; en effet, la pente de la droite qui joint au point A, dont les coordonnées sont o et 3, le point de la courbe dont les coordonnées sont x et

3 — ■?.x -\- f\x- — '^x^-\- x'*^ est(n°28)

3 — ix-\-&x^ — bx'^-\-x'* — 3 , . .

cette pente diffère aussi peu qu'on le veut de la pente de la droite AB, qui est égale à — 2, pourvu que x soit suffisamment voisin de o. C'est ce qu'on exprime en disant que la droite AB est la limite d'une sécante qui joint le point A à un point voisin de la courbe, c[uand ce point se rapproche du point A, ou encore en disant que la droite AB est tangente en A à la courbe.

Je n'ai pas tracé, pour ne pas compliquer la figure, la parabole dont l'équation estjK := 3 — ix -[- ^x-, qui, pour les valeurs de x voisines de o, semblerait presque se confondre avec la courbe, et qui est, elle aussi, tangente à la droite AB, en A; pour une même valeur de x l'ordonnée de la courbe s'obtient en ajoutante l'ordonnée de la parabole la valeur du polynôme — 6x^-\-x'^, qui, pour les valeurs de x voisines de o, est positive si x est négatif, négative si x est positif. A droite de l'axe des j^, la courbe est au-dessus de la parabole, à gauche elle est au-dessous : les deux courbes se traversent au point A, où elles sont tangentes.

La signification des expressions approchées que l'on peut substituer au polynôme apparaît clairement.

Dans le polynôme qu'on vient d'étudier, il y avait un terme du premier degré. Les choses se passeraient un peu différemment si ce terme n'existait pas, et suivant que le premier terme qui ne manquerait pas serait de degré pair ou de degré impair. Je me contente d'indiquer les résultats sur un exemple.

Si l'on considère le polynôme 2 -{- 4x- — ox^-i- ce'', ou la courbe définie par l'ëquation

jy = •! -h /[x- — 5^' -I- x'*,

on voit que, pour x = o, le polynôme passe par un minimum, dont la valeur est 2 ; la tangente en A à la courbe est parallèle à l'axe des jkî

FiK. i3.

la courbe est, dans le voisinage du point A, au-dessus de sa tangente; la parabole dont l'équation est j^ = 2 + 4.2^" a été figurée en ponctué; elle traverse la courbe en A tout en lui étant tangente.

Enfin, si l'on considérait le polynôme 2 — 5x^-{-x^ ou la courbe définie par l'équation

JK = 2 — 5x^-\-/ix'*,

on voit encore que le polynôme est décroissant pour 57 = o ; la tangente à la courbe au point A, dont les coordonnées sont o et 3, est encore parallèle à l'axe des x; la courbe est au-dessus de la tangente à droite de l'axe des y, elle est au-dessous, à gauche. Elle serait au-

POLVNOMES.

dessus de la courbe, facile à tracer, dont l'équation est

jK = 3 — 5cc^.

Le point A est un point d'inflexion des deux courbes.

Fig. 14.

Si l'on considère, d'une façon générale, le polynôme

Ao-+- Al a; -+- A,^^^ AsO^^-h. . .,

dans lequel on admet que certains des coefficients Aq, A,, ... puissent être nuls; la valeur du polynôme, pour x = o, est Ay ; elle est voisine de Aq, pour les valeurs de x voisines de o.

Pour ces valeurs le signe du polynôme est le même que celui du premier des termes A(,, A,x, Aa^^, . . ., dont le coefficient n'est pas nul. Le sens de la variation du polynôme pour x ^ o est donné par le premier de ces termes, autres que Aq, dont le coefficient n'est pas nul. Si le premier de ces termes est de degré impair, le polynôme, pour X = o, est croissant ou décroissant, suivant que le coefficient du premier terme est positif ou négatif; si le pi-emier de ces termes est de degré pair, le polynôme, pour x ^ o, passe par un minimum ou un maximum suivant que le coefficient du premierterme est positif ou négatif.

Les expressions

Ao, Ao-l-Aia7, Ao4- Ai-r-t- A2a7-, ...

sont des expressions approchées du polynôme, pour les valeurs de x voisines de o ; on sait calculer une limite de l'erreur que l'on commet

quand on substitue à la valeur du polynôme l'une de ces expressions approchées.

L'équation

jK=Ao-+-A,a7

est l'équation de la tangente à la courbe définie par l'équation

y = Ao H- A,a7-f- A2a72 + . . .,

au point de cette courbe qui est sur l'axe des y. Cette courbe est, dans le voisinage du point de contact, d'un même côté par rapport à sa tangente, si le premier des termes Ao^r-, Aa^^, A^x'', . . ., dont le coefficient n'est pas nul, est de degré pair; au-dessus, ou au-dessous, suivant que ce coefficient est positif ou négatif. Elle traverse sa tangente, le point de contact est un point d'inflexion, si le premier terme dont le coefficient n'est pas nul est de degré impair.

32. Il nous sera très utile plus tard d'avoir observé que ces propositions s'étendent à des expressions qui ne sont pas des polynômes, mais qui peuvent être mises sous une forme analogue à celle que nous venons de considérer.

Reprenons l'expression

Ao-t- Aïo; -h A^x'^-h. . .-h A,i-ix"~^-i- A„a7",

qui nous a servi jusqu'ici à représenter un polynôme. Je suppose que toutes les quantités Aq, A| soient des constantes, sauf la dernière A„ ; quant à cette dernière, qui peut maintenant dépendre de x, je fais seulement sur elle l'hypothèse suivante : en désignant par a un nombre positif plus petit que i, convenablement choisi, A„ reste, en valeur absolue, moindre qu'un certain nombre positif fixe B, pourvu que x soit lui-même moindre que a, en valeur absolue. Telle serait, par exemple, l'expression

3 — 2 37 -1- 4^:2 — 5x^-\- x'^ sina;,

puisque la valeur absolue de sin.z' est, au plus, égale à 1 .

Alors toutes les conclusions précédentes subsistent : en effet, si l'on désigne par x' la valeur absolue de x et par A^, A',, ..., A'^, les valeurs absolues des coefficients constants Ao, A,, . . ., A«|, il est

POLYNOMES. 79

clair que, si l'on suppose x' plus petit qvie a, la valeur absolue de l'expression

Ao-t- Aia; -f-. . .-4- A„ia?"-i-+- A„a""

sera moindre que S en désignant maintenant par S la somme des nombres A[,, A',, ..., k.[^^ et B. C'est une remarque de cette nature qui a été notre point de départ; toutes les démonstrations peuvent être reprises sans changement, et les conclusions sont les mêmes.

Le lecteur n'aura, par exemple, aucune peine à prouver que, si l'on suppose j:'<;7' l'expression — o. •\- /\x -\- ^x--]- x^ s\nx ne peut s'annuler et est du même signe que — 2 ; dans les mêmes conditions, l'expression — 2.x-\-j\x- — tix^ -\- x''ûnx ne s'annule pas, sauf pour x=^o] elle est du même signe que — ix) si l'on regarde — ix comme une expression approchée, l'erreur commise en la substituant à — 2X-\-^x- — 5^^-f-^^sin^ sera moindre, en valeur absolue, que x'-{/\ + 5 + i) = \ox''-.

On voit se reproduire toutes les circonstances des démonstrations précédentes, et je crois inutile d'insister davantage, pour montrer que les conclusions relatives à la continuité, à la croissance ou à la décroissance pour ^ = o, au signe pour les valeurs de x voisines de o subsistent : les mots continuité, croissance, décroissance doivent être entendus dans le même sens qu'on leur a attribué quand il s'agissait des polynômes.

Il convient toutefois de remarquer que les conclusions relatives au signe ou à la variation de l'expression considérée n'offrent d'intérêt que si, dans celte expression, le terme qui détermine soit le signe, soit le sens de la variation, n'est pas le dernier terme A„x", dont on sait seulement que le coefficient A« reste compris entre certaines limites quand x est suffisamment petit, mais bien un des termes précédents, à coefficient différent de o.

§ 3. — POLYNOMES IDENTIQUES.

33. Un polynôme réduit, à une variable, ne peut être nul pour toutes les valeurs de la variable que si tous les coefficients sont nuls : on dit alors que le polynôme est identiquement nul.

Cette proposition résulte immédiatement de ce qui précède.

8o CHAPITRE II.

Deux polynômes en x^ réduits^ ne peuvent prendre des valeurs égales, quelle que soit la valeur de x^ sans être composés exactement des mêmes termes.

En effet, la différence des valeurs de ces deux polynômes est la valeur d'un polynôme dont les coefficients sont les différences des coefficients respectifs des polynômes proposés : ces différences doivent être nulles d'après la proposition précédente (').

Ces propositions, qui sont capitales, s'étendent de suite aux polynômes à deux, trois, . . . variables.

Par exemple, un polynôme réduit à deux variables x, y ne peut être nul pour tous les systèmes de valeurs attribuées à la variable sans que tous ses coefficients soient nuls.

Un polynôme en :r, jk, en effet, peut être ordonné suivant les puissances d'une des variables, dey par exemple ; en réunissant ensemble tous les termes qui contiennent y au même degré et en mettant en factevir la puissance de y qui figure dans tous ces termes, on parviendra à une expression de la forme

Po + Pi r -^ l'a Jk2 H- . . . + P„ j'S

(*) Les propositions et leurs démonstrations subsistent pour ces sortes de polynômes que l'on a considéi'és dans le numéro précédent : Une expression de la forme

où Aq, a,, ..., A„, sont des constantes et où l'on sait que A„, qui peut d'ailieui-s dépendre de x, reste compris entre deux nombres fixes, quand x reste compris entre — a et + a, ne peut être nulle pour toutes les valeurs de x comprises enlrc — a et -\- a. que si les coefficients constants A„, A,, ..., A„, sont nuis et si A„ est nul pour toutes ces valeurs de x.

Deux expressions de la forme

où les coefficients A,, A,, ..., A„i , B„, B,, ..., B„, sont constants, et où Ton sait que les quantités A„, B,,, qui peuvent dépendre de x, sont comprises entre des nombres fixes quand x reste compris entre — a et + a, ne peuvent être égale, pour toutes ces valeurs de x que si l'on a Aj = B„, A, = B,, ..., A„, =z B„,, et si, en outre, A„ et B,^ ont toujours des valeurs égales. Il convient toutefois d'observer que cette dernière proposition suppose que le nombre naturel n est le même dans les deux expressions. Il est aise de s'arranger pour qu'il en soit ainsi, en mettant dans les derniers termes de l'une des expressions une puissance convenable de x en facteur.

POLYNOMES. 0 1

OÙ Pq, Pt5 P25 . • ., P« ^O'^t ^^^ polynômes en ûc, dont les coefficients sont manifestement les coefficients du polynôme proposé en x, y. Supposons que ce dernier polynôme soit nul quelles que soient les valeurs attribuées à x, y. Si l'on attribue à x une valeur numérique x\ les polynômes (en ^) Po, Pj, ..., P« prendront des valeurs numériques P„, P^, . .., P,'j et l'expression précédente deviendra un polynôme à une variable JK

p; + p'i jK ^- p'îj"-^- . .+ p;r"-

La valeur de ce polynôme en y doit être nulle pour une valeur quelconque y dejK, puisqu'elle est évidemment la même que celle du polynôme proposé {exix^y) pour x^x'^ y^y'- il faut donc que l'on ait Po = o, Pj = o, ...,P^j=o, c'est-à-dire que chacun des polynômes (en x) Po, Pi, ..., P// doit s'annuler quand on remplace x par un nombre quelconque x', c'est-à-dire encore que chacun de ces polynômes est identiquement nul : tous les coefficients du polynôme proposé (en x,y) sont nuls.

Du cas de deux variables on passe au cas de trois variables, puis de quatre, etc Le théorème est général.

On en déduit que deux polynômes réduits, à n variables, ne peuvent prendre la même valeur pour tout système de valeurs de ces variables sans être identiques terme à terme.

34. La portée de cette proposition est considérable ; elle éclaire tout d'un coup les opérations de l'addition, de la soustraction, de la multiplication des polynômes, en montrant que ces opérations jouissent de propriétés que l'on a établies pour les nombres :

En parlant du polynôme qui est la somme, la difierence, le produit de deux polynômes donnés, j'entendrai toujours parler du polynôme réduit que l'on sait former par les éléments de l'Algèbre et dont la valeur est égale, comme on sait, à la somme, à la différence, ou au produit des valeurs des polynômes proposés, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables ; d'après ce qu'on vient de dire, il n'y a qu'un seul polynôme qui puisse avoir cette propriété ; tous les autres lui sont identiques terme à terme. Je me borne à énoncer les propositions suivantes, en me contentant de donner quelques explications sur la dernière, afin de bien fixer le sens qu'il faut leur attribuer à toutes.

Plusieurs polynômes étant donnés, on peut les ajouter dans l'ordre qu'on voudra, on retombera toujours sur le même polynôme (réduit).

Dans une somme de plusieurs polynômes, on peut remplacer tels polynômes que l'on veut par leur somme effectuée.

On peut multiplier plusieurs polynômes dans l'ordre que l'on veut ; le polynôme produit, après qu'on l'a réduit, est toujours le même.

Dans un produit de polynômes, on peut remplacer tels facteurs (polynômes) que l'on veut par leur produit effectué ; le produit final est toujours le même polynôme.

Le produit de plusieurs polynômes ne peut être identiquement nul que si l'un des facteurs est identiquement nul (<).

Pour multiplier la somme de deux polynômes P, Q par un polynôme R, on peut multiplier par R chacun des polynômes P, Q et ajouter les deux produits.

Ce dernier théorème s'exprime par l'identité