P + Q)R:= PR + QR

Dans le premier membre, P + Q représente le polynôme oblenu en ajoutant, d'après la règle élémentaire, les polynômes P, Q ; (P-I-Q)R représente le polynôme (réduit) obtenu en multipliant, d'après la règle élémentaire, le polynôme P+Q par le polynôme R ; dans le second membre PR, QR représentent de même les polynômes obtenus en multipliant le polynôme P par le polynôme R, le polynôme Q par le polynôme R; PR + QR représente le polynôme (réduit) obtenvi en ajoutant les deux polynômes PR, QR; en disant que l'égalité écrite est une identité, on entend que le polynôme (réduit) (P 4- Q)R est le même polynôme que le polynôme (réduit) PR 4- QR,

Qu'il en soit ainsi, c'est ce qui résulte évidemment de la proposition précédente ; en effet, si l'on attribue aux variables des valeurs numériques quelconques, les polynômes P, Q, R prennent des valeurs numériques P', Q', R' et le nombre (P'+ Q')!^' ^^^ certainenement égal au nombre P'R'H- Q'R'. Cela revient à dire que les deux

(>) Je rappelle à ce propos que, lorsqu'on fait le produit de deux ou plusieurs polynômes en x, le terme du plus bas degré s'obtient en faisant le produit des termes du plus bas degré dans les différents facteurs; le terme du plus haut degré s'obtient de même en faisant le produit des termes du plus haut degré dans les différents facteurs.

POLYNOMES. 83

polynômes (P -h Q)R et PR -+- QR prennent les mêmes valeurs numériques pour un système quelconque de valeurs numériques attribuées aux variables ; les deux polynômes, lorsqu'ils sont réduits, sont donc identiques terme à terme.

Il est à peine utile d'appeler l'attention du lecteur sur les conséquences de ce dernier théorème : si dans une somme de produits de polynômes figure, dans chaque terme de la somme, un même polynôme, on peut le mettre en facteur; pour multiplier une somme de polynômes par une somme de polynômes, on peut multiplier cliaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde et ajouter les produits partiels; le polynôme ainsi obtenu est le même que celui qu'on aurait obtenu en effectuant la première somme, puis la seconde et en multipliant les résultats.

Si, en multipliant les deux polynômes A, B par le polynôme C, non identiquement nul, on trouve le même produit, c'est que les deux polynômes A, B étaient identiques ; en eilet, le polynôme AC — BC étant, par hypothèse, identiquement nul, il en est de même du produit (A — B)C, qui lui est identique; si donc le polynôme G n'est pas identiquement nul, c'est que la différence A — B est identiquement nulle, ou que le polynôme A est identique au polynôme B.

§ 4. — ÉTUDE D'UN POLYNOME POUR LES VALEURS DE x VOISINES DE a.

3o. Après cette digression, arrivons à l'étude des valeurs d'un polynôme en x, pour les valeurs de a: voisines d'un nombre donné a.

Soit

f(x) = \o-+- \ix -{- Ai x^ -+-...-{- X„x"^

le polynôme proposé, ordonné suivant les puissances croissantes de x; je suppose qu'il soit de degré n, c'est-à-dire que le dernier coefficient A„ ne soit pas nul. Quelques-uns des autres coefficients Au, A), . .., A„, peuvent d'ailleurs être nuls.

Pour ramener l'étude qu'on veut faire au cas, déjà traité, où la variable reste voisine de o, il suffit de poser .v = a -i- h, en regardant A comme une variable qui restera voisine de o ; la valeur de a -h h, ou de a", restera voisine de a. Le polynôme proposé deviendra alors

/(a -H h) = Ao-T- A,(a-f- /i)-t- A2(a + A)^ +•...+ A„(a + /t)«.

On sait, par dé simples additions et multiplications de polynômes, développer le second membre et l'ordonner suivant les puissances ascendantes de /<, de manière à le mettre sous la forme

Relativement à ce développement, je ferai d'abord quelques remarques, qui concernent surtout les deux premiers coefficients et le dernier.

Lorsque, en désignant par /• un nombre naturel quelconque, on développe (a -h hy et qu'on l'ordonne suivant les puissances ascendantes de /i, c'est-à-dire lorsqu'on effectue le produit de /'polynômes égaux à <2 + A, le premier terme (le terme de moindre degré) est égal à a'', le terme du plus haut degré est A^, puisque ces termes s'obtiennent respectivement en multipliant les termes du plus bas degré, ou du plus haut degré dans les /• facteurs; il est aisé d'avoir aussi le terme du premier degré en h : il est 2 ah, 3a- h, ^a^Ii, ... dans les développements de {a + /i)^, (a + A)-', {a + A)'*, ... ; il est /'«'""' k dans le développement de (a -i- A)''; si l'on admet, en effet, que la proposition soit vraie pour le nombre /■, on aura

(a -+- A)''= a''-\- ra'-^h -4-. . .,

les termes non écrits au second membre contenant A-, A^, ... ; si l'on multiplie les deux membres par a + A, les termes non écrits dans le second membre ne fourniront pas de termes du premier degré en A. Le terme du premier degré en A, dans le développement de (a + A)''+* proviendra exclusivement du produit de «'"-h /'«'"* A par « + A (' ) ; il est (/• -h i)«''A ; la loi se continue donc.

11 résulte des remarques précédentes que, si l'on ordonne le poly-

(') Il y a là une remarque générale qu'il est bon de faire : Lorsqu'on a à elTectuer le produit de deux polynômes ordonnés par rapport aux puissances ascendantes de a:,

Oo H- «i ^ + «2 ^' + • • • ' 6„+ b^x -h ôjiz;--}-. . .,

et qu'on ne veut conserver au produit que les termes de degré m ou de degré inférieur, on pourra, dans les deux facteurs, effacer les termes de degré supérieur à m^ faire ensuite le produit, en supprimant, dans ce produit, les termes qui sont de degré supérieur à m.

POLYNOMES. 85

nome

/(a-h h) = \o-h Xi(a + h) -{- Xi(a -*- /i)2-H. . .-l- A„(a 4- /t)«

suivant les puissances ascendantes de h, on tombera sur un polynôme de la forme

(i) f{a-^h)= Bo+B,/i-KB2/i2 + ...-i-B„/t«,

où B„ est égal à A,,, puisque P^n{(i + ^)" est le seul terme qui fournisse un terme en A", et où l'on a

Bo=Ao-+- Aitt-i- Aja^-h...-;- A,ja", B| = Al -H 2 Aoa -i- SAsa^-i-. . .-i- /iA,ja«-i ;

quant aux autres coefficients, on donnera, un peu plus tard, une règle simple pour les calculer.

Dans le développement de /(a-\-h), ordonné suivant les puissances croissantes de h, le terme constant Bq esl/(a) ; il s'obtient en remplaçant a: par a dans le polynôme proposé f{x) : ce résultat est d'ailleurs évident sur l'identité (i) elle-même ; il suffit, pour l'obtenir, de faire /< =: o dans cette identité.

Le coefficient B( de A, dont on verra bientôt toute l'importance, s'obtient en remplaçant x par a dans le polynôme

f'{x) — A, -+- "xPl^x -i- 3 Asa?^ -+-. . .-t- nknX'^-^^

qu'on appelle la dérivée (') du polynôme y(x), ou le polynôme dérivé de f{x), et qui se déduit de ce dernier polynôme par la règle suivante :

On supprime le terme constant dans le polynôme proposé ; on multiplie chaque coefficient par l'exposant de x dans le terme correspondant (-). On diminue enfin cet exposant d'une unité.

Au lieu de dire quey'(a + /i) se met sous la forme (i), il revient au même, en remettant x — a à la place de h, de dire que le poly-

(') La notion de dérivée a été déjà introduite dans les éléments, à un autre point de vue auquel je reviendrai plus tard. On verra, lorsqu'il sera question de polynômes à variables imaginaires, l'intérêt de la définition actuelle.

(') Cette dernière règle, appliquée au terme Aj ou A^a;", conduirait à supprimer ce terme, comme ou doit le faire effectivement.

86 ciiAPiTRn: ii.

noine/(^) peut se mettre sous la forme

(a) f{x) — Bo-f-B,(a: — a)-t-B,(a7 — a)2H-...-i-B„(a7 — a)".

C'est ce qu'on appelle ordonner le polynôme f(x) suivant les puissances àe x — a.

Les coefficients Bq, B,, ..., B„, peuvent être nuls, mais non le dernier coefficient B„, qui est égal à A„.

Quand h est voisin de o, la valeur du polynôme (en /i), f(^a -\- h), est voisine de la valeur Bq que prend ce polynôme pour /i = o ; le polynôme f{x) est voisin de la valeur Bo^/(«) qu'il prend pour x = a; la valeur du polynôme reste aussi voisine qu'on veut de Bo pourvu que x reste suffisamment voisin de «; c'est ce qu'on exprime en disant que le polynôme f(x) est une fonction continue (') de X povir x ^ a.

Pour les valeurs de h suffisamment voisines de o, le polynôme fUi-\-h) est du signe du premier de ses termes Bq, B,/i, B2/i-, ..., dont le coefficient n'est pas nul; pour les valeurs de x suffisamment voisines de «, le polynôme f{x) est du signe du premier des termes Bo, B, [x — a), B2(^ — «)-, . . . dont le coefficient n'est pas nul.

Laissons, pour le moment^ Bo de côté. Le premier des coefficients suivants B,, Bo, . . ., B,,, qui n'est pas nul, joue un rôle important, c'est lui qui fixe en quelque sorte la façon dont le polynôme se comporte, pour les valeurs de x voisines àea. Soit B^ ce coefficient : si /" est impair, en sorte que le terme B,-/i'', ou ^r{x — a)'' soit de degré impair, le polynôme /{x), lorsque B^. est positif, est plus grand pour X == o que pour les valeurs de x un peu plus petites que a, plus petit que pour les valeurs de x un peu plus grandes que a : le polynôme/*( 5?) est alors croissant pour x = a; quand, au contraire, B,. est négatif, le polynôme /(a?) est décroissant pour x = a.

Si /• est pair, en sorte que B,/i'' ou B^(x — a)'" soit de degré pair, le polynôme f{x) est plus petit, ou plus grand, pour x = a, que pour les valeirrs voisines, suivant que B,- est positif ou négatif; suivant

( ') Pour peu qu'il veuille y réfléchir, le lecteur reconnaîtra que cette continuité est admise implicitement quand on admet que l'équation y = f{x) peut être représentée par une courbe. Quand un point décrit une courbe, l'ordonnée varie très peu, lorsque l'abscisse varie très peu. C'est donc prématurément que j'ai parlé de la courbe qui représente un polynôme.

POLYNOMES. 87

les cas, le poljnomey(.r) passe, pour x =.a^ par un minimum ou un maximum.

Les expressions

Bo, Bo-+-B,(ar — «), Bo+Bi(ar — a)-+-B2(a7 — a)2, ...

fournissent des expressions approchées de la valeur du polynôme f{^x^ pour les valeurs de x voisines de a; on sait calculer une limite de l'erreur commise en substituant au polynôme l'une de ces expressions : par exemple, si l'on choisit la dernière, et si l'on suppose que la valeur absolue de a; — a soit inférieure à i, l'erreur commise sera moindre en valeur absolue que S(x — a)', en désignant par S la somme des valeurs absolues des coefficients B3, B,, . . ., B^.

Pour les valeurs de x voisines de «, la courbe dont l'équation est j^ z=zf(^x) se rapproche de la droite dont l'équation est

j = Bo-f-B,(a7 — a);

quand Bj n'est pas nul, suivant que Bj est positif ou négatif, la courbe est au-dessus ou au-dessous de cette droite, qu'elle affleure au point dont les coordonnées sont x = a^ y = ^0 =f(^a) ; si Bo est nul sans que B3 le soit, la courbe traverse la droite au même point.

Dans tous les cas, la droite est tangente à la courbe : en effet, la pente de la droite qui joint les deux points dont les coordonnées sont respectivement a ei/(a) = B^, a -{- h et/( a-\- /i) = B^-i- B, /t 4-. . . est (n" 28)

et cette dernière quantité est aussi voisine de B, qu'.on le veut, pourvu que h soit suffisamment petit; en d'autres termes, B, est la limite de la pente d'une sécante joignant les deux points, quand le second se rapproche du premier. C'est la pente delà tangente (')au point dont les coordonnées sont a et f(^a) = Bq', Téqualion de celte tangente est

(') Par définition, Id pente d'une courbe en un point de celte courbe est la pente de la tangente en ce point : on peut donc dire que la pente de la courbe définie par l'équation jj' =/( a;), au point de cette courbe dont les coordonnée^ sont a el/{a), est

Bj:= \^ -+- 2\.^a + 3 A3a- + . . .-i- «A^a"-'.

bien y — Bq = B, (:r — a) (n" 28). Ce résultat subsiste, ainsi que la démonstration, lors même que l'un ou l'autre des coefficients Bo, B, est nul. S'ils sont nuls tous deux, l'axe des a^ est la tangente à la courbe. Pour les valeurs de x voisines de «, la parabole dont l'équation est

y = Bq-H B,(a7 — a) H- BîCiT — ay

est très voisine de la courbe dont l'équation est j^ := /'(a?), etc. Si, par exemple, le lecteur veut étudier le polynôme

pour les valeurs de x voisines de i, il trouvera, en effectuant les calculs,

Pour X = i^ le polynôme prend la valeur i ; pour cette valeur il est décroissant; au point dont les coordonnées sont .r = i , j' = i , la tangente à la courbe définie par l'équation

a elle-même pour équation ./ = i — ^{x — i ) .

36. Il importe de se rappeler le rôle du coefficient B, dont la valeur s'obtient en remplaçant x par a dans la dérivée f {x) du polynôme/*( 5?) :

La pente de la tangente en un point de la courbe définie par V équation y =y(:r), dont l'abscisse est a, s'obtient en remplaçant X para dans la dérivée f i^x^ du polynôme f{x).

Lorsque le résultat f {a) de cette substitution n^est pas nul, le polynôme /(x) est croissant ou décroissant pour x ^= a suivant que f {et) est positif ou négatif.

37. Le cas particulier où le polynôme f{x) s'annule pour x = a mérite qu'on s'y arrête; on dit alors que a est une racine du polynôme f{x); Bo est alors nul, et il peut se faire que plusieurs des coefficients suivants B,, Bo, ..., Ba i soient nuls; je suppose que B^ soit différent de o. (On sait que tous les coefficients ne peuvent être

POLYNOMES. 09

nuls.) On a alors /(a-f-A) = Ba/i«-4-Ba^i/i^+'+...-f-B„/i" = AaCBa+Ba+iA-+-...-4-B„/t«-a),

en posant

ffix) = Ba-l- Ba+i(a7 — a) -h. . .+ B„(x — «)«-«; le polynôme (en h)

g(a^h) = Ba+ Ba+i A -+-... -l-B„/i«-='

ne s'annule ni pour h = o, ni pour les valeurs de h voisines de o; le polynôme g'{x) ne s'annule ni pour x = a, ni pour les valeurs de x voisines de a.

Dans ces conditions, on dit que a est une racine d'ordre de multiplicité a du polynôme f{x). Si a est égal à i , la racine a est dite simple. Si a est plus grand que i , la racine a est dite multiple : elle est double, triple, quadruple, ..., si a est égal à 2, 3, 4? •••'■> c'est par un abus de langage, quand la racine est simple, que l'on dit que son ordre de multiplicité est 1 .

Un polynôme en x étant donné, on appelle racine de ce polynôme toute valeur de x pour laquelle il s'annule; si a est une racine., en remplaçant x par a •{- li dans le polynôme, en ordonnant ensuite suivant les puissances croissantes de A, on obtient un polynôme en A, sans terme constant : le degré du premier terme de ce polynôme est, par définition, Vordre de multiplicité de la racine a.

Le polynôme ix'^-\-hx- — /\X — 1, par exemple, s'annule pour x=^\. I est une racine; en remplaçant x par i + A, le polynôme devient h- -\- 1 h'-^ . i est une racine d'ordre de multiplicité 2, ou, si l'on veut, une racine double.

Lorsqu'un polynôme, ordonné par rapport aux puissances croissantes de X, ne contient pas de terme constant, o est une racine de ce polynôme. L'ordre de multiplicité de cette racine est le degré du premier terme.

On a vu plus haut que, si a était une racine du polynôme f{x),

go CHAPITRE II.

d'ordre de multiplicité a, on pouvait mettre /( 5:^) sous la forme (')

g{x) étant un polynôme qui ne s'annule pas pour x = a^ et que l'on a d'ailleurs appris à former.

Inversement cette forme même caractérise une racine d'ordre a de multiplicité : en d'autres termes, si l'on a réussi, n'importe comment, à mettre le poljnome f{x) sous la forme (x — a)'^ g{x), g{x) étant un poljnome en x qui ne s'annvile pas pour ^ =r a, on peut affirmer que a est une racine àef[x), d'ordre a de multiplicité.

En effet, si, dans l'identité f{x) = (x — a)"- g^x), on remplace x par a-\- h, elle devient

si l'on développe le polynôme g(a + h) et qu'on l'ordonne suivant les puissances croissantes de A, le développement commence par un terme constant, ^(«), qui, par hypothèse, n'est pas nul. Le développement de /(a + h) commencera donc par le terme h^ g{a), qui est de degré a en h.

On peut tirer d'autres conséquences de ce dernier résultat : c'est précisément ce premier terme du développement de f(a-j-h) qui, d'après le numéro précédent, détermine la façon dont varie /{x) pour X = rt, et la forme de la courbe dont l'équation est jk =/(x) aux environs du point A, d'abscisse a, où cette courbe rencontre l'axe des X. Si a est impair, en particulier si a est racine simple, elle traverse cet axe en montant (lorsque x croît), ou en descendant, suivant que g(a) est positif ou négatif. Si a est pair, la courbe, aux environs du point A, reste au-dessus ou au-dessous de l'axe des x, suivant que g(a) est positif ou négatif. Si a est plus grand que i, elle est tangente à l'axe, au point A. Si a est égal à 1 , si a est racine simple, la pente de la tangente en A, ou de la courbe, est g{a). Tout ceci résulte de la règle générale pour la détermination de la tangente.

38. Décomposition en facteurs d'un polynôme dont on connaît les racines. — Supposons toujours que a soit une racine d'ordre de

( ' ) On entend par là que les deux polynômes f{x) el {x — a^ g{x) sont identiques.

POLYNOMES. gr

multiplicité a du polynôme

/(x) = Ao-h AiX -r- XiX'^-i-.. .-h AnX",

en sorte que Ton ait, avec les mêmes notations que précédemment,

/(x) = {x — a)^ff(x),

le polynôme g(x) ne s'annulant pas pour x = a; puisque le produit des termes du plus haut degré dans (x — a)^ et dans g{x) doit reproduire A,iX", on voit que le terme du plus haut degré dans g{x) est A/jX""* et que g(x) est de degré n — a.

Supposons maintenant quey(:p) s'annule pour un nombre b, autre que a; il faudra que ^b — ci)^ g{b) soit nul et, comme le premier facteur n'est pas nul, que le second g{h) le soit; b est donc racine de g(^x)]]e dis que b est une racine du même ordre de multiplicité pour g{x) que pour f{x).

Si, en effet, b est d'ordre de multiplicité [3 pour ^'(a^), c'est que l'on

peut poser

h(x) étant un polynôme qui ne s'annule pas pour x= b; le polynôme y(:c) pourra donc se mettre sous la forme

f(:r) = (x-bynio^-a)'^h(x)],

et comme le polynôme entre crochets ne s'annule pas pour x = b, b est bien une racine d'ordre de multiplicité [S pour f{x). Le polynôme h[x) ne s'annule pas non plus pour a: = «, sans quoi a serait une racine de g{x)', s'il y a un nombre c, différent de a et de 6, qui annule /(.r), ce nombre est aussi une racine de h(x), du même ordre de multiplicité y poury*(a7) que pour h{x)j et l'on peut poser

/(x) = {x — a)'^{x — b)P{x — cy k(x),

k{x) étant un polynôme qui ne s'annule pour aucune des trois valeurs a, b, c de x.

g{x) étant de degré n — a, h{x) est de degré n — a — [3, k{x) de degré n — a — ^ — y; dans chacun de ces polynômes, le terme du plus haut degré en j? a toujours pour coefficient A,,.

Il est clair que le raisonnement peut se continuer, et que, si le

polynôme /(a: ) admet les raeines distinctes a, b, . . ., /avec les ordres

de multiplicité respectifs a, |iJ, A et n'en admet pas d'autres, on

aura

^{x) étant un polynôme de degré ri — a — ^ — ... — \ qui ne s'annule plus pour aucune valeur de j?, et dans lequel le coefficient de la plus haute puissance de x est A,^ ; si l'on avait

on aurait identiquement

Tl est bien clair que t. -{- '^ -{-... -\-\ ne peut dépasser n et que, •en particulier, le nombre des racines distinctes d'un polynôme de •degré n ne peut dépasser n.

Ceci complète une proposition établie au n° 33; non seulement un polynôme en x, qui n'est pas identiquement nul, ne peut être nul pour toutes les valeurs de x, mais il ne peut pas avoir plus de racines différentes qu'il y a d'unités dans son degré. Il en résulte que deux polynômes dont le degré est inférieur ou égal à n ne peuvent pas, sans être identiques, être égaux pour plus de /i valeurs distinctes de .r, puisque leur différence s'annulerait pour ces valeurs de x.

39. Grandes valeurs de la variable. — Il me reste à dire quelques mots de l'étude des valeurs d'un polynôme pour de très grandes valeurs absolues de la variable.

Pour cette étude, il convient d'ordonner le polynôme par rapport aux puissances descendantes de la variable et de porter son attention sur les premiers termes, qui importent le plus; si la valeur absolue de la vai^able est assez grande, chaque terme est plus grand que ceux qui le suivent, et l'erreur relative que l'on commet en ne conservant que les premiers termes est faible.

Si l'on veut avoir par exemple la valeur pour x = loooo du polynôme 3.2?^ — 2x--\-x — I, les erreurs relatives que l'on commettra en calculant, au lieu de la valeur du polynôme proposé, celle des polynômes 3x'^, 3x^ — 2x'- seront respectivement plus petites que — ^ — jf

-• Ceci va d'ailleurs être précisé.

POLYNOMES. 93

Considérons en général le polynôme, ordonné suivant les puissances décroissantes de x^

f{x) — rto^"-H «ia^"~*-i-. . .-+- an.-\X -^ an',

a^^ ax^ . . .^ a,i sont les coefficients : je suppose que le premier a^ ne soit pas nul,

La valeur de ce polynôme, pour une valeur quelconque de x^ autre que o, est égale au produit de la valeur de x" par celle de l'expression