II

qui peut être regardée comme un polynôme, dont la variable s'appellerait — y ordonné suivant les puissances croissantes de cette variable; quand x est très grand en valeur absolue, — est très petit en valeur

absolue, le lecteur prévoit bien qu'il va être ramené à un cas qu'il connaît déjà.

Posons

— = 2, o(^) = ai^ -I- a2 5^-)-. . .-I- a„z";

on aura, pour toutes les valeurs de x autres que o,

le polynôme «5(5) s'annule pour ^ ^ o; sa valeur absolue reste aussi petite qu'on veut pourvu que la valeur absolue de z soit assez petite,^ que celle de x soit assez grande.

Désignons par ^', z\ a'^ les valeurs absolues àex, z^ a^. Donnonsnous un nombre positif e aussi petit qu'on voudra, moindre en particulier que rt„. Supposons qu'on ne considère que des valeurs de x assez grandes absolument pour que la valeur absolue de '-^{z) soit moindre que £. Il suffit pour cela que z' soit inférieur à un nombrepositif que l'on sait calculer, que x' soit supérieur à l'inverse de ce dernier nombre. Dans ces conditions, la valeur absolue de «0+ ?(-) sera évidemment supérieure au nombre positif «'„ — s; «o+?(^) ne s'annulera pas et sera toujours du signe de «o 5 le produit ^"[«0+ ?(^)] lie s'annulera pas non plus et sera du signe de aoX",.

la valeur absolue de ce produit est supérieure à (a|, — e)x'" et ce dernier nombre peut évidemment être supposé aussi grand qu'on veut pourvu que x' soit suffisamment grand.

Pourvu que la valeur absolue de x soit plus grande qu' un nombre positif P qu on sait calculer, le polynôme /{x) ne s'annule pas, il est du même signe que son premier terme a^x"; sa valeur absolue est aussi grande qu^on veut, pourvu que la valeur absolue de x soit suffisamment grande.

Si l'on considère par exemple le polynôme

f{x] = ix» — \x'^-\- 5x^ — Sx -i- 2, le polynôme ^(z) sera ici

pourvu que z' soit plus petit que i, il est plus petit en valeur absolue que ig^'î, que 2 par conséquent, si l'on suppose z' <i -> «■'> 4- Si la valeur absolue

de X est plus grande que 4, le polynôme f{x) ne sera jamais nul, il sera «lu signe de son premier terme 2.r'', |)Osilif si x est positif, négatif dans le cas contraire, plus grand en valeur absolue que

si l'on voulait déterminer un nombre positif B tel que la condition a;'>B

» ■/•/NI -1 r,--i I T> */iO ooo ,

entraînât \/{x) \ >iooo, il suturait de prendre B > i / — , par exemple

En supposant a?'> 4î2 le polynôme sera plus grand que looosi x est positif, plus petit que — looo si x est négatif.

L'erreur commise en remplaçant /(x) par son premier terme t.x'' est x^if{z):

l'erreur relative

est moindre en valeur absolue que

pourvu que 19-s'* soit plus petit que 2, ce qui arrivera sûrement si z' est plus petit que -• Si l'on voulait que cette erreur fût moindre que le nombre posi-

POLYXOMKS. 95,

vif T,, il suffirait de supposer z' plus pelit que - et que

l9(l-t-Ti)'

elle serait, par exemple, moindre que 0,001 si l'on supposait a"'> 100. Pour en revenir au cas général où l'on a

f(cr) = aoX" -+- ai^-""'-!-. . .-f- a„,

on voit qu'on aura, comme au n ' 31, à distinguer quatre cas suivant que n est impair ou pair et que a^ est positif ou négatif.

Lorsque n est impair le polynôme est de signes contraires pour les valeurs positives ou négatives de x assez grandes en valeur absolue. Je me permettrai d'employer les expressions suivantes, suffisamment éclaircies par ce que je viens de dire :

Si Ton a o»^ o, le polynôme est égal à + 00 si .r est égal à + 00, à — 00 si :r est égal à — 00. Si l'on «0 <C ^j il est égal à — 00 ou à + ^c, suivant que x est égal à + 00 ou à — ce.

Au contraire, lorsque n est pair, le polynôme est du signe de «,,5 pour les grandes valeurs absolues de x', il est égal à + 00 ou à — 00, pour X = zh ce, suivant que l'on a «0 > o ou ao<^o.

Il est évident que ces dernières conclusions subsisteraient si le dernier terme an de l'expression ao^"+ «i x''^^* +. . .-|- rt/i< x + a„, au lieu d'être une constante, dépendait de x et si l'on savait que pour les grandes valeurs de x, ce dernier terme reste, en valeur absolue, inférieur à un nombre fixe. L'analogie avec ce que l'on a dit au n" 32 pour les petites valeurs de x est évidente.

Si Ton veut reconnaître le sens de la variation du polynôme /"(.r) pour de grandes valeurs (absolues) de x, il n'y a qu'à appliquer la règle du n" 3o. La dérivée du polynôme y(x) est

f'(x) = na^x'^-^-h (n — i)aiX'^-^-h. . .h- ««-i ;

suivant que pour une valeur Xq de x ce dernier polynôme est positif ou négatif, le polynôme proposé est croissant, ou décroissant, pour x = Xo. Or, si,.r est suffisamment grand en valeur absolue, le polynôme dérivé f'{x) est du signe de son premier terme Ai«o-2^"~'; qui n'est autre chose que la dérivée du premier terme a^^x'^ du poly-

nome proposé. Par conséquent, poiir:r siiffisamaîent grand en valeur absolue, le polynôme f{x) esl croissanl ou décroissant suivant que son pi'emier terme est croissant ou décroissant; on voit l'importance de ce premier terme qui fournit une valeur grossièrement approchée du polynôme, le signe et le sens de la variation du polynôme.

Remarquons enfin, en supposant le degré du polynôme /"(a^) supésieur à i, que, si .r est grand en valeur absolue, il en est de même de la valeur absolue de la dérivée; or la valeur de cette dérivée est la pente de la tangente, au point de la courbe, définie par l'équation y ■=. j\x\ dont l'abscisse est x\ cette tangente est donc presque parallèle à l'axe des y^ et cela est d'autant plus vrai que la valeur absolue de x est plus grande.

Le lecteur a tout ce qu'il faut pour comprendre les schémas suivants qui donnent quelque idée de la partie de la courbe qui corres-

Fit

Fig. 17.

Fig. 18 Y

pond à de grandes valeurs de l'abscisse suivant les quatre cas considérés : n impair, «0 > o et cto <C o I '^ P^iï"? «o > o et «o < o-

POLYNOMES. 97

Il convient de signaler ce qui manque à l'étude précédente : on a appris à reconnaître comment se comportait un polynôme pour les valeurs de x voisines d'une valeur donnée, en particulier pour les valeurs de x voisines de o, comment aussi il se comportait pour les grandes valeurs absolues de a? ; on n'a pas appris à suivre ses variations comme on l'apprend dans les éléments pour les polynômes ax-\-h. ax- -\-hx -^ c^ ax'^\ sans traiter ce problème, sur lequel j'aurai à revenir, je crois pouvoir dire de suite que la question de savoir comment varie un polynôme /(^) quand x croît depuis A jusqu'à B revient à reconnaître quel est, dans ces conditions, le signe du polynôme y'(x). Si, par exemple, ce polynôme y'(:r) est toujours positif dans ces conditions, c'est que pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (A, B) le polynôme est croissant pour chacune de ces valeurs.

Est-il permis d'en conclure que le polynôme est croissant dans cet intervalle, c'est-à-dire que la plus grande valeur du polynôme correspond toujours à la plus grande valeur de la variable, ou encore que le rapport

est toujours positif pourvu que les nombres x' . x" appartiennent à l'intervalle (A, B)? Le lecteur, s'il veut bien y réfléchir, reconnaîtra que ce point n'a pas été démontré, mais il sera certainement très disposé à l'admettre. Dès lors, il voit qu'il sera en mesure de suivre complètementla variation d'un polynôme dans tous les cas où il saura reconnaître quelles sont les valeurs de la variable pour lesquelles la dérivée est positive, celles pour lesquelles elle est négative; dans le cas, par exemple, où la dérivée est un trinôme du second degré, ou un trinôme bicarré; dans le cas où cette dérivée peut se mettre sous la forme

où A^ a, b^ c, . . . , l sont des nombres (Quelconques et a, ^, y, . . . ,X des nombres naturels.