On a défini au n" 3o la dérivée d'un polynôme en x

f{x) = Afl-l- Ai:r;-4- A^x^-^. . .-4- A„a;« :

Lorsque, dans ce polynôme, on remplace x par x -+- A, que l'on développe el que l'on ordonne suivant les puissances de /<, de manière à mettre /(^ + h) sous la forme

(i) /(x-\-h) = Po(a7) + /zPi(ir)-+-/i2p,(a;)-4-...-f-/i«P„,

Po(.2'"), P) (x), . . . , Prt sont des polynômes en x dont le premier est identique à f{x), dont le dernier se réduit à la constante A„, dont Je second P, (a;) est, par définition, la dérivée du polynôme /"(.r), et se représente habituellement pary'(^"); son expression, comme on l'a vu au n" 35, est

Pi(x) = f'(x) = Xi-^ 2A2X -{- 'iA-sX^-h. . .-i- nAnX"^-K

On dit aussi que/''(x) est la dérivée du polynôme y (.2;) par rapport à X, pour rappeler simplement que x est le nom de la variable qui figure dans le polynôme /(x). On verra plus tard l'utilité de cette façon de parler.

Si l'on veut regarder une constante numérique comme un polynôme en X, de degré o, il faut regarder la dérivée d'un tel polynôme comme identiquement nulle, puisqu'il ne change pas quand on y remplace x par x -\- h et qu'ainsi le terme en h fait alors défaut dans le second membre de l'identité (i).

La définition de la dérivée d'un polynôme permet de justifier immédiatement certaines règles de calcul, sur lesquelles j'insiste d'autant moins que j'aurai à y revenir en considérant les dérivées à un autre point de vue; je me contente de signaler celles qui suivent, où /{x), (s(x) désignent des polynômes en x dont les dérivées sont /'(x), o'(x) et où A, B désignent des constantes.

La dérivée du polynôme Ay(a:) -h B o(:r) est A/'(:r) -i- B cp'(.r);

La dérivée du produit /(x) o(x) eslf'(x) o{x) -+- /(x) o'(x).

On a, en effet, en remplaçant x par x + h, et en ordonnant sui-

POLYNOMES. 99

vanl les puissances croissantes de la variable /i,

f{x + li)=f{x)^hf{x)-^...,

les points suspensifs sont mis à la place des termes en h-, A^, . . .; on en conclut que, dans le développement de Ay(;r + /i)H-Bcs(^ + /i), ordonné suivant les puissances croissantes de h, le coefficient de k est Ay'(x) + Bcp'(a7); que, dans le développement du produit f{x-\-h)o{x-\-h) ordonné de même suivant les puissances croissantes de A, le coefficient de h est f(x) '^'{û:) -{- 'z>(x)/'(x) : ces remarques, si l'on se reporte à la définition de la dérivée, justifient les propositions énoncées.

La première proposition contient comme cas particuliers les suivantes : la dérivée de A/(x) est Af'(x)] la dérivée de la somme de deux polynômes est la somme des dérivées de ces polynômes. Cette proposition et sa démonstration s'étendent évidemment au cas où la somme comporte trois, quatre, . . . , un nombre quelconque de polynômes. La règle même du n" 35 pour former la dérivée d'un polynôme consiste à faire la somme des dérivées des termes de ces polynômes; «•il convient de remarquer qu'elle conduirait à un résultat exact lors même que le polynôme proposé ne serait pas réduit.

De la règle relative à la dérivée d'un produit de deux polynômes on déduit sans peine une règle pour le calcul de la dérivée d'un produit d'autant de polynômes que l'on veut, d'une puissance naturelle d'un polynôme, etc.

J'ai besoin, pour ce qui suit, de la proposition que voici :

Soit a un nombre quelconque, je considère le polynôme en x

/(ar-h a) = Ao-+- Ai(a7-4- a) -I- A2(a7H- a)2-f-. ..-t- Xn(x -h a)",

l obtenu en remplaçant, dans le polynôme /(x), x par ^ + a : la dé-

rivée de ce polynôme s'obtient en remplaçant x par x -\- a dans la dérivée /'(x) du polynôme f(x); en d'autres terznes, cette dérivée est le polynôme en x

/'{x-ha) = Ai-^iAiix -i-a) + 3 A3(ar + a)2-i-. . ,+ n A„(a: -h a)«->.

Si, en efi'et, dans l'identité (i), qui doit avoir lieu pour toutes les

lOO CHAPITRE II.

valeurs de x^ on remplace x par x + a, elle devient

f{x-\- a + /t) = Po(^ -f-a) + APi(a7-f-a)-i-/i2P2(a7-h a) +. . .+ /i«P„;

la forme même du second membre montre que P< (x + a) est le coefficient de h dans le développement, ordonné suivant les puissances croissantes de h^ du polynôme qu'on obtient en remplaçant x par X -\- h dans le polynôme f[x-\-a)\ c'est la définition même de la dérivée de ce dernier polynôme.

Par exemple, la dérivée du polynôme i — Zx -\- x^ est — 3 + ix] d'après la règle précédente, la dérivée du polynôme

doit être

— 3-1- 5t (a; — 2)= — 7-1-2 ar.

C'est, en effet, le résultat qu'on trouve en appliquant au polynôme 10 — 'jx -i- x"^ la règle du n° 3S pour obtenir sa dérivée.