Le polynôme f'{x) ou Pt(x), dérivée du polynôme

f(x) — Ao -h A-l X -h k^X^-h. . .-^- kn^'^1

a lui-même une dérivée, qui se déduit de f'{x) par la même règle qui permet de déduire f'{x) de f(x); cette dérivée du polynôme f'{x) s'appelle aussi la dérivée seconde de f{x) et se représente par .f"{x)^ elle est

/"(a;) = I .-iAg-l- 2.3 A3.r-t- 3.4A4a72 4.. ^^ (,j i)nA„a-«-2;

ce polynôme f"(x), du degré n — 2, a lui-même une dérivée, la dérivée deuxième def'(x), la dérivée troisième de /(x), à savoir :

+ (/i — 2) (rt — i)rtA,ja7"-3; ce polynôme a une dérivée, la dérivée quatrième def(x), à savoir :

H- (/i — 3) (n — 2) (n — i)nAnX'^-''.

La dérivée yp'^™* {p ^ '^) ^^ polynôme y(^), définie de la même

POLYNOMES. ICI

façon, de proche en proche, serait

-+- 2 . 3 . 4 . . . (/? + I ) Ajo+1 a7-H3.4.5..(/)-+-2) A/j+2 x'^-\-. ., 4- {n — p -+- 1) {n — p -f- 2). . .{n — \)nk,tX"^-P\

c'est un polynôme de degré n — p\ ses termes proviennent des monômes dey(^) dont le degré est au moins égal kp. La dérivée [n — jy^me gg^ j^ premier degré; elle est

/(«-"(a:) = i.2.3...(/i — i)A„i + 2.3.4. . . nA„a;.

La dérivée /i'*'""' àef[x) est, toujours d'après la même règle,

/(«)(^)= 1.2.3... nA„;

elle ne contient plus j?, sa dérivée, ainsi que les dérivées suivantes du polynôme /{x)^ si l'on voulait les considérer, devraient être regardées comme nulles; un polynôme du /i'^™" degré n'a que n dérivées (non identiquement nulles) ; par exemple si l'on prend

f(cc) = 4 — 5x -T- yx^ — a?* H- 8x^,

les dérivées successives seront

f'{x) = — 5 + 21 j;2— 5^7*+ 48^*, /"(ce) = ^ix — io x^ -i- i\o x'* , y"(a7) = 4^ — 6oa:2 -1- gGoa?», /"(a;) =— 120^7 + 2880372, /''(x) — — 120 + 576037, /v'(a7) = 576o.

Dans le polynôme /(.r), le premier coefficient est Ao, de même dans les polynômes /'(ic), /"(^), ..., /^p^{x), ..,,/<«^(^) ordonnés suivant les puissances ascendantes de ^, les premiers coefficients, ou les valeurs de ces polynômes, pour ;r = o, sont les coefficients A|, A2, ..., A^, ..., An, du polynôme f{oc), respectivement multipliés par les facteurs numériques i, 1.2, . . ., 1.2.../?, ..., 1.2.../?; en d'autres termes, on a

lors donc que l'on connaît les valeurs, pour ^ = o, d'un polynôme et de ses dérivées, on connaît, par cela même, les coefficients de ce polynôme.

4-2. Cette remarque, et celle qu'on a faite plus haut, relativement à la dérivée du polynôme y(a + x ), dérivée qui s'obtient en remplaçant X par a-\- x^ dans la dérivée f'{x) du polynôme y(^"), va nous permettre de résoudre immédiatement la question posée au n° 35 :

Etant donnés un polynôme

f{x) = Ao-f- Ai.î7-H...4- A,ja;«,

et un nombre a, trouver les coefficients Bq, B,, ..., B„ du polynôme

obtenu en remplaçant, dans le polynôme f{x), x par a -^ x et en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x.

Ces coefficients sont les valeurs pour .r = o du polynôme /(« 4-^) et de ses dérivées ; on a vu au n° 40 que la dérivée /'(a -{- jc) de ce polynôme s'obtenait en remplaçant x par a -\- x dans ]a dérivée f'[x) à.ef{x); la dérivée de/'(a + ^) s'obtiendra de même en remplaçant a; par a + ^ dans la dérivée/"(a:) de .y(^), ....

Les dérivées successives du polynôme f(a-\-x) sont /'(a -\- x)j f"{a -\- x), ..., /^"^ (a + a;); leurs valeurs, pour .r == o, sont les valeurs/'(«),/"(«), . . .,f^"^(a) que prennent les dérivées successives f'(x),f"(x), . . .^ f"{x) du polynôme /(;r) quand on y remplace x par a, on a donc

Dp — - — j • • • 5 I5/J — — I^-n,

et, par suite,

POLYNOMES. I03

Dans celle formule, les lettres a et x désignent des nombres quelconques. Elle restera vraie si l'on remplace les lettres par d'autres; en particulier, si l'on remplace a par x el x par h elle s'écrit alors

hP h"

Si l'on reprend les notations du n" 40, on voit que les polynômes

Po(^), Pi (.r), ..., P^(^), ..., P//(^) de la formule (i) de ce numéro ne sont autre chose que les polynômes

On voit apparaître en dénominateur, dans ces expressions, les produits tels que i.i. . .p des p premiers nombres naturels : ces produits figurent dans beaucoup de formules, et il est commode d'avoir une manière abrégée de les énoncer et de les écrire : une des liabitudes les plus répandues consiste à appeler y«c^o/fe//e/? le produit \.i...p des/? premiers nombres naturels et de le désigner par la notation/?!. Par convention, le symbole i ! désigne la même chose que i ; enfin, par une autre convention, qui ne sera justifiée que plus loin, on pose aussi G ! ^ I .

Voici, à titre d'exemple, une application de la formule précédente : On a donné plus haut les expressions des six dérivées du polynôme

les valeurs, pour a: = i, de ce polynôme et de ses dérivées, respectivement divisées par i !, 2!, ..., 6!, sont i3, 59, i3i, 187, 92, 8 : on a donc

4 — Ô{l-\- X) + '^{l-hxy— {l-\- Xf-ir%{\-^- Xf

= ]3 -{- 5gx-h \3i x^-h i5y x^-h g'ix'*-h ^jx'-h Sx^;

ainsi qu'on pourrait d'ailleurs le trouver par un calcul direct ne comportant que des additions ou des multiplications de polynômes : ce dernier mode de calcul permet de prévoir que les coefficients du résultat sont des nombres entiers.

•43. Formule du binôme. — On peut appliquer la formule qui donne le développement de /(a -\- x) au développement de (a-\-x)" ;

le polynôme y*(.r) est alors le monôme ;r", dont les dérivées successives sont

nx"^-^, n{n — i)^;"-^^ ,,.^ ji{n — \). . .{n — p -\- i)x'^-p, n{n — i)...[

et l'on a, par conséquent, en vertu de la formule (i) du numéro précédent,

H !^ '- a"-Pxi> -\-. . .-\ ^^ a7«.

Cette formule est connue sous l'appellation, un peu impropre, de formule du binôme. Je vais m'y arrêter un instant, en raison de son importance.

Il me sera commode d'y regarder les lettres a eX, x comme y désignant des variables ; à ce point de vue, a-\- x^ (a -{-x)" sont des polynômes à deux variables; a -{- x est un polynôme homogène du premier degré ; le produit de deux ou plusieurs polynômes homogènes étant évidemment un polynôme homogène dont le degré est la somme des degrés des facteurs, on peut prévoir que le développement de (a + x)'^ sera un polynôme homogène du degré n, qui ne pourra pas contenir d'autres monômes que les monômes du degré n

a"-, a"-i^, ««-2.Z-2, ..., a'^-Pxi\ ..., x'\

multipliés par certains coefficients numériques; ces monômes, d'après la formule (i), figurent tous dans le développement; il y en a /z -h I ; chacun d'eux contient autant de facteurs x qu'il y a de termes avant lui, autant de facteurs a qu'il y a de termes après lui.

Les coefficients numériques doivent être évidemment entiers, puisque (a + x^"- est le produit de ii facteurs égaux k a-\- x. Dans le second membre de la formvde (i), le coefficient de a"~PxP^ à

savoir

n{n — i)...(/i — yp-i-i) X . 2 . . ./>

est le quotient par le produit des p premiers nombres naturels du

POLYNOMES. lo5

produit de/? nombres naturels consécutifs dont le plus grand est n et le plus petit n — p H- i, d'où ce théorème d'Arithmétique :

Le produit de p nombres naturels consécutifs est divisible par le produit desyO premiers nombres naturels.

Les coefficients numériques des monômes qui figurent dans le second membre de l'égalité (i) sont respectivement

ils se retrouvent dans un assea grand nombre de formules et on les désigne souvent par les symboles

Cn Cil Cl C'i r*"

C'^ désignant (' ), en général, le coefficient du monôme a"~PxP^ ou le (/> + 1 )'*""" coefficient numérique, celui qui en a p avant lui. Il est à peine utile de dire que la lettre n qui ligure en haut dans le symbole C" n'est pas un exposant, mais un indice, destiné à rappeler la puissance à laquelle on élève le binôme a + x. On a C„ = C" = i . Avec cette notation l'identité (i) s'écrit

(a-!-jc)«= G» a" -h G'i'a«-ia7 + ...+ C'^ya'^-P xp + ...-{- C'^.x'^ \ en y échangeant les lettres a et x^ elle devient

(a7 -<-«)«= C^x'^+ G'/a7'»-ia+.,.-h C'^,x''-i'aP-\-. . .-\- G«a«;

les deux premiers membres sont identiques ; il doit en être de même des seconds, qui doivent donc être les mêmes, terme par terme ; on en conclut C'l= C;[, C;'= G;^,, C'^= Q'-o' • • V et, d'une façon générale. G" ^ G" -, cette dernière égalité, en recourant à la définition des symboles qui y figurent, s'écrit

( ' ) On emploie aussi, avec le même sens, les notations (n, ), ( )•

elle devient évidente, en réduisant les deux membres an même dénominateur; C" et C'' se présentent alors sous la forme

Cette formule s'applique même dans le cas où p est égal à o ou à n, si l'on convient de poser o! = i.

La forme primitive de C', savoir

n(n — i)...(n — jo-t-i) n(n — \). . .(n — p -{- i) n — /? 4- i

montre que l'on a

d'où un moyen simple pour le calcul des coefficients numériques : le premier est i , le deuxième est n, le troisième s'obtient en multipliant n par j le suivant en multipliant le résultat par — - — > le

suivant en multipliant le résultat par — - — , • • •; par exemple, si l'on

prend /? = lo, les deux premiers coefficients sont i, lo, les suivants s'obtiennent en multipliant successivement par |, f, 1? |, f , y 5 1? f? Tij ; ils sont 45? 120, 210, aSa, 210, 120, 4^1 10, i : on a donc

(a -h cry^ = a^*^-}- 10 a^x -{- ^5 a^x^-\-i'2o a'' x'^ -h "210 a^x'* -\- loia'cc''

On vérifie, sur cet exemple, ce fait que les coefficients à égale dislance des extrêmes sont égaux, en sorte qu'il suffit pour les avoir tous d'en calculer la moitié.

C,^ est plus grand que le coefficient précédent, égal à ce coefficient

ou plus petit, suivant que est plus grand que i, égal à i,

plus petit que i , ou suivant que l'on a

On doit distinguer deux cas, suivant que n est pair ou impair.

Si n est pair, il j a un nombre impair de termes dans le dévelop-

POLYNOMES. 107

pemenl : il j a donc un terme au milieu, qui en a - avant lui, - après

lui. Tant que p est inférieur ou égal à -j le coefficient du terme qui

en a p avant lui est plus grand que le coefficient précédent; les coefficients vont en augmentant jusqu'au coefficient du terme du milieu, qui est le plus grand; ils diminuent ensuite, en reprenant les mêmes valeurs, en ordre inverse ; c'est ce qu'on observe dans les développements

( a -1- ar)' = a* -+- 2 a a? -H a?*,

(a -h a:)* = n'' -{- ^ a^ x -h 6 a^ x- -h ^ax^-h x'\

Si n est impair, il y a un nombre pair de termes dans le développement, il y a deux termes au milieu dont l'un a termes

avant lui, dont l'autre a termes après lui. Jusqu'au premier de

ces termes, les coefficients vont en augmentant; le second est égal au

vi / • , n-{-i premier, puisqu il j a précisément termes avant ce premier,

puis les coefficients suivants vont en diminuant, c'est ce qu'on observe sur les développements

{a -h x)^ = a^-h 3 a* 37 -+- 3ax^-h x^.

(a -{- xy = a^-{- 5 a'' X -h 10 a^ x^ -h 10 a- x^ -{- 5ax'*-T- x^.

Si l'on multiplie par a -\- a: les deux membres de la formule

(a-^x)n= G'^a''-^C'la"-ix -~ . . . ^ C'^ a'^-P x'> -h . . . -h C',[x", on trouve

(a -+- x)"+^ = C«a"+»+ (G?-+- Co^a^a; + . . .-h (G«+ C;| ,)««-/'+« a;/' h-. . . ; comme on doit avoir d'ailleurs

(a -i- xyt+i = G'J ^-1 a«+i+C'/+' a" ^-^...^-C^+^ ««-/'+' 3-/^-4-. .. ; on voit qu'on a, en général, pour /? = i , 2, . . ., «,

formule qui donne une règle simple pour déduire le développement

de (a + ^)"+' du développement de (a-i-x)", et pour obtenir les coefficients numériques dans les puissances successives du binôme, lesquels figurent dans les lignes du triangle de Pascal :

F 5 lo lo 5

A partir de la seconde ligne, chaque élément, autre que le premier et le dernier, toujours égaux à i, est la somme de deux éléments consécutifs de la ligne supérieure, à savoir l'élément qui est placé sur la même verticale, et celui qui précède cet élément.

Si, dans la formule (i), on fait successivement a = i, ^ = i, puis a = I , X ^= — I , on trouve

=:Gî;-G'/+G'j+...+ (-

la somme des coefficients est égale à 2" ; la somme des coefficients de rang pair est égale à la somme des coefficients de rang impair; chacune de ces sommes est égale à la moitié de la somme totale, c'està-dire à 2"~'.

§ 6. - POLYNOMES A PLUSIEURS VARIABLES.

44. En ce qui concerne la continuité, la méthode suivie pour les polynômes à une variable s'étend sans peine aux polynômes à plusieurs variables; c'est ce que je vais expliquer sommairement dans le cas de deux variables.

Supposons qu'un polynôme à deux variables y*(^, jk) soit ordonné de la façon suivante : on écrit d'abord le terme constant, s'il y en a un, puis, s'il y en a, les termes du premier degré en x^ y^ puis le* termes du second degré, puis les termes du troisième degré, etc. Quant aux termes d'un même degré, qui forment un groupe homogène, on pourra, pour y mettre de l'ordre, les ordonner par rapport aux puissances ascendantes de l'une des variables, aux puissances

POLYNOMES i 109

descendantes de l'autre variable : J'écris ci-dessous un poljnome du cinquième degré ordonné de cette manière,