X — y -i- X- — y^-h x^-{- x^y — x^-+- xy'* — j

les groupes homogènes dont j'ai parlé plus haut, et qui sont respectivement des degrés o, i, 2, 3, 5, sont

3, ix — y^ x^ — y'^, x^ -i- x^y, —x'^-^-xy'* — y^ :

les termes du quatrième degré font défaut.

Si l'on ne considère que des nombres :r, y dont les valeurs absolues soient, au plus, égales à i, la valeur absolue du polynôme est, au plus, égale à la somme de ses coefficients, pris en valeur absolue.

Un poljnome homogène en x, r, de degré/?, dans lequel a?, y sont moindres en valeur absolue qu'un nombre positif a, est plus petit en valeur absolue que la somme de ses coefficients multipliée par a^.

Par exemple, dans le poljnome en x^ y précédemment écrit, si les variables x^y sont plus petites en valeur absolue que le nombre positif a, les groupes du premier, du second, du troisième, du cinquième degré ont des valeurs qui restent respectivement moindres que 3a, 2a-, in? ^ 3a^.

Le lecteur doit se rendre compte que, d'une façon générale, si les variables sont suffisamment petites en valeur absolue, le groupe des termes du premier degré est plus petit que le groupe des termes du second degré, celui-ci que le groupe du troisième degré, etc. Toutefois, il n'en est pas toujours ainsi : si l'on suppose, dans l'exemple précédent, que x soi t égal à j)/", l'ensemble des termes du second degré sera nul et aura ainsi une valeur absolue moindre que celle des termes du premier degré, si petits que soient x et y en valeur absolue. Il j a là une diflérence essentielle avec les poljnomes à une variable.

Un poljnome en x^ y est nul pour a? = o, y = o lorsqu'il ne contient pas de terme constant, il n'est nul que dans ce cas.

Quand un poljnome f{x^ y) ne contient pas de terme constant, sa valeur reste aussi voisine de o que l'on veut, pourvu que x, y restent suffisamment voisins de o.

Par exemple, si x^ y sont assujettis a être moindres en valeur absolue que r,, le poljnome

IX — y -i- x^ — y'-+- x^-+- x^-y — a:» -h xy'* — y^

no CHAPITRE II.

est moindre en valeur absolue que

3 TQ ■+- 2 Tj2 -u 2 r,3 -f- 3rJ'

et, par conséquent, si l'on suppose yj << i , moindre que iotj; si l'on veut que le polynôme reste plus petit que s, il suffira de prendre /,<:; —

Pour des valeurs de x, y voisines de o, un polynôme en x^ y reste voisin de la valeur qu'il prend pour ^ = o, y = o, à savoir de la valeur (nulle ou non) de son terme constant. D'une façon précise, quelque petit que soit le nombre positif e, on peut assigner un nombre positif T| tel que les conditions \x\ <^'i\^ \y\'^'''\ entraînent l'inégalité I f{x^ y) — /(o, o) I <C £. Dans cette inégalité, /(o, o) désigne la valeur que prend le polynôme pour ^ = o, jk = o. La proposition est évidente puisque le polynôme /(^, jk) — /(o, o) ne contient pas de terme constant.

C'est ce que l'on exprime en disant qu'un polynôme est une fonction continue de x^ y pour x ^:= o^ y ^ o.

Quand le terme constant n'est pas nul, on peut assigner un nombre positif a, tel que si x^ y sont moindres en valeur absolue que a, le polynôme ne soit pas nul et soit du signe de son terme constant.

Si maintenant on veut étudier un polynôme f{x.,y) pour les valeurs de x^y respectivement voisines des nombres a, 6, on posera

et l'on transformera le polynôme en un polynôme à deux variables A, A", qui ne devront prendre que des valeurs voisines de o. Le terme constant du nouveau polynôme sera la valeur qu'il doit prendre pour h = o, k = o, c'est-à-dire /{ci-, b).

Un polynôme /(x,y) est une fonction continue de x, y pour X ^:= a, y ^ b. Voici, au juste, ce qu'il faut entendre par là : quelque petit que soit le nombre positif e, on peut lui faire correspondre un nombre positif 'f\ tel que les conditions

\x— a| <ri, \y — b\<.y\

entraînent l'inégalité

\f{^.y)-f{ci,b)\<t.

POLYNOMES.

45. Un polynôme à plusieurs variables, par exemple un polynôme f[x,y,z) à trois variables x, y, z, donne naissance à des dérivées partielles, prises par rapport à ces diverses variables. On peut, si l'on veut, l'ordonner par rapport à x^ le considérer comme un polynôme en X, et prendre sa dérivée, par rapport à x^ d'après la règle du n° 35. On pourra l'ordonner par rapport à y, le regarder comme un polynôme dont la variable s'appellerait y et appliquer la même règle, pour obtenir la dérivée par rapport à y. De même, pour la dérivée partielle par rapport à ^, .... Au reste, il n'est nullement nécessaire d'ordonner, comme je viens de le dire, le polynôme successivement par rapport à chacune des variables, puisque, en vertu d'une remarque antérieure, on peut appliquer la règle relative à la formation de la dérivée d'un polynôme à une variable sans avoir réduit ce polynôme.

Le polynôme proposé, s'il a trois variables, sera formé d'une somme de monômes dont chacun sera de la forme Xx'^y'^z'^^ a, ^, y étant des nombres entiers, positifs ou nuls : ce terme fournira dans les dérivées partielles, prises respectivement par rapport à :r,j) , r, des termes qui seront respectivement égaux à

pour avoir l'une des dérivées partielles, la dérivée par rapport à x, par exemple, on fera la somme de tous les termes analogues à cL\x'^~^y^z'^^ déduits de chaque monôme.

11 est à peine utile d'observer que si a était nul, si la variable x ne figurait pas effectivement dans le monôme considéré, celui-ci n'introduirait aucun terme dans la dérivée partielle prise par rapport à x.

Les dérivées prises par rapport k x^ y^ z du polynôme f{x, y, z) dont on vient d'expliquer la formation se désignent respectivement

par /;,/;.,/;.

Si l'on a, par exemple,

/(a-, j, 5) = 3 -f- aar -{-y -i- x^ — z-^ 3j*-3, on aura

f^ = i-^^x, fy=i-h (>yz, f^ = — lZ-^ 3^2.

Les dérivées du monôme Ax'^y^z^, qui est du degré a + ^ -h y, sont évidemment du degré a H- ^ -|- v — i , si aucun des exposants a, ^, y n'est nul; si quelqu'un des exposants est nul, une des dérivées

partielles est identiquement nulle; on déduit de là facilement que, si un polynôme est de degré /i, ses dérivées partielles sont au plus de degré ii — i .

La définition des dérivées partielles d'un polynôme à plusieurs variables peut être rattachée à la définition de la dérivée d'un polynôme à une seule variable.

Je continue de raisonner sur un polynôme f[x^y,z) à trois variables x^ y, z. Je suppose que, dans ce polynôme, on remplace x, X, z respectivement par x -\- h, JK + -^i"? ^ + ^1 on peut développer chaque terme, et réduire ensuite le polynôme comme si x, y, z étaient les constantes et h, A", / les variables; c'est-à-dire qu'on réunit ensemble les termes qui contiennent un même monôme en A, /c, 1 : on parvient ainsi à une identité de la forme

où N, P, Q, R, ... sont des polynômes en x, y, z qui ne contiennent pas hj /x, l; les termes non écrits contiendraient des monômes en /<, /■, /qui seraient du deuxième, du troisième, . . . degré. Cette identité, devant avoir lieu quels que soient A, k^ /, a lieu pour /i ^ o, k = o, / =: o, ce qui montre que N n'est autre chose que le polynôme /(x,y,z) lui-même; elle doit avoir lieu, quel que soit A, quand on suppose A" = o, l = o; il en résulte que P est le coefficient de h, dans le développement, ordonné suivant les puissances croissantes de hj du polynôme y(x- + h, y, z) obtenu en remplaçant x par x -+- h, dans le polynôme /(xjy,z) : P est donc, par définition, la dérivée partielle dn polynôme f{x, y, z) prise par rapport à :c ; de même Q et R sont les dérivées partielles du même polynôme prises par rapport à y et à ^.

Ainsi les dérivées partielles d'un polynôme /(x,y,z) sont les coefficients respectifs des termes du premier degré en A, /r, / dans le développement du polynôme en h, k, l obtenu en remplaçant dans f{oc.^ y, z) x, y, z par x ^ h^ y -{- k, z -h L

Si l'on désigne par a, 6, c des nombres quelconques, et si l'on remplace, dans l'identité {\), x,y, z respectivement par a -h x, b+y, c -\- z, on voit apparaître immédiatement la proposition suivante :

Les dérivées partielles du polynôme /(a-\-x, b-\-y, c -\- z) par rapport à x^ y, z s'obtiennent en remplaçant dans les dérivées par-

POLYNOMES. Il3

tielles /;, /;, /i du polynôme f{x, y, z) x, y, ^ par a + ^, 6 + j,

46. Les dérivées partielles /^., /^., f. du polynôme /(^, JK, -) sont dites du premier ordre\ f^^ f'y^ f'^ sont des polynômes en x^ y, z, admettant eux-mêmes des dérivées partielles par rapport k x, y, z : ces dérivées partielles sont dites les dérivées partielles du second ordre de f(x,y, z) : elles engendreront à leur lourdes dérivées partielles du troisième ordre, etc.

Si le polynôme /"(x, y, z) est du degré /i, ses dérivées partielles du premier ordre sont au plus de degré n — i , ses dérivées partielles du second ordre sont au plus du degré n — 2, . . .; ses dérivées partielles du {n — 1^*"»* ordre sont au plus du premier degré; quelques-unes de ces dérivées peuvent d'ailleurs être des constantes ou être identiquement nulles; en tous cas les dérivées partielles du /i''^'"^ ordre sont certainement des constantes, dont quelques-unes peuvent être nulles; les dérivées partielles d'ordre n -f- 1 sont identiquement nulles ainsi que toutes celles d'ordre supérieur à //.

La dérivée partielle f^^ du premier ordre, admet trois dérivées partielles prises respectivement par rapport k x^ y^ z\ on les désigne respectivement par

J XXI J xyi J xz'

Les dérivées partielles de /', prises respectivement par rapport à x^ y, z se désigneront de même par

fil fil f'i

J yxi J yyi J yzi

les dérivées partielles de f'^ par rapport kx^ y^ z se désigneront enfin par

/// fn fn

zxi J zyi J z •

Il semble donc qu'un polynôme à trois variables admette neuf dérivées partielles du deuxième ordre, vingt-sept du troisième, etc. Toutefois, tous les polynômes que l'on obtient ainsi ne sont pas distincts : par exemple, les deux polynômes f" et /" sont identiques.

En d'autres termes, on peut, dans une dérivée seconde, intervertir l'ordre dans lequel on prend les dérivées.

Comme la dérivée d'un polynôme s'obtient en faisant la somme des T. 8

I l4 CHAPITRE II.

dérivées de ses termes, il suffit évidemment de constater la vérité de la proposition énoncée sur un terme Ax^y^z^ du polynôme ou, si l'on veut, sur un polynôme réduit à ce terme.

La dérivée partielle prise par rapport à x est (x.Ax^~*y?zy; la dérivée partielle de ce résultat, par rapport ky, est y.'^Ax'^~*y^~* z^; on serait arrivé évidemment au même résultat en prenant d'abord la dérivée partielle par rapport à y, et la dérivée partielle du résultat par rapport à ^. On a doncf^^—/^^, /L=fl-z^ • • ••

Il n'y a, pour un polynôme en x, y, z, que six dérivées partielles du second ordre, que l'on peut désigner par

Jji-^1 Jy-' J z'^i Jyzi Jzxi Jxyi

en donnant respectivement ày^.,, y^,, fl:, le même sens qu'ày^^., /""., fz^. Si l'on considère, par exemple, le polynôme homogène du second degré à trois variables x, y, z,

o{x^ y^ z) = ax^-+- a y'^-\- a" z- -t- ib yz -\- 'zb' zx -+- ib" xy,

on aura

o'jc='y.{ax -\' b"y-\-b' z),

o'y =^ ^{b" X -\- a' y -k- bz),

(D'- = i{b'x-^ by -h a"z),

(û.fS = la, cpj2 = 'À a', (0-1 = -la",

Oy. = -2b, ^Ijc= 2 b', f^'^y = 2 b".

Une dérivée partielle y>''""<= du polynôme /{^, y, z) sera définie quand on dira par rapport à quelles variables on doit successivement prendre chacune des dérivées : pour que l'on ait affaire à une dérivée ^"^'"''*, il faut que l'on prenne p dérivées; mais peu importe l'ordre dans lequel se prennent ces dérivées, pourvu que l'on prenne toujours le nombre indiqué de fois la dérivée par rapport à x, par rapport à y, etc. Le théorème relatif à la possibilité d'intervertir l'ordre de deux dérivées s'étend en efl'et absolument comme le théorème relatif à l'interversion des facteurs dans un produit. La démonstration comporte les étapes suivantes :

Dans une dérivée partielle quelconque, on peut intervertir l'ordre dans lequel on prend les deux premières dérivées, l'ordre dans lequel on prend les deux dernières, l'ordre dans lequel on prend deux déri-

POLYNOMES. llll

vées consécutives quelconques, l'ordre dans lequel on prend les diverses dérivées.

De cette proposition résulte la notation pour désigner une dérivée p'^'"'^- on la représentera par un symbole tel que

où a, ^, Y sont des entiers positifs ou nuls dont la somme est/?; supposons d'abord qu'aucun des nombres a, ^, v ne soit nul. On devra partir def{x, y, z), prendre la dérivée par rapport à x, la dérivée du résultat par rapport à ce, etc., et ainsi de suite a fois. On forme ainsi successivement les polynômes

/•/ fti fin /( a ) .

on part du dernier, on en prend la dérivée par rapport à y, la dérivée du résultat par rapport k y, etc., et ainsi de suite ^ de fois; on forme ainsi les polynômes

on prend ensuite les dérivées par rapport à z, et l'on forme les polynômes

dont le dernier est celui que l'on cherche.

Si a était nul, le symbole/j.a '.?.y, où l'on devrait alors avoir ^ -h y =^ /?, aurait, par définition, le même sens queya^Y, etc.

47. Cherchons la valeur, pour .r = o, jk ^ o, :; = o, de la dérivée/?'^"^ d'un monôme Ajc^ y^z^j où a, ^, y sont des nombres entiers positifs ou nuls; il est clair que, si l'on doit prendre la dérivée par rapport à x plus de a fois, ou la dérivée par rapport à y plus de |i fois, etc., le résultat sera identiquement nul; si l'on doit prendre la dérivée par rapport à x moins de a fois, il restera dans le résultat un ou plusieurs facteurs x; ce résultat sera donc nul pour x =^ o.

Si donc aucun des nombres a, p, y n'est égal à o, la seule dérivée du monôme Ax'^y^z^ qui ne soit pas nulle pour ^^o, j" = o,;;=o s'obtient en prenant a fois la dérivée par rapport k x, ^ fois la déri-

Il6 CHAPITRE II.

vée par rapport à y, y fois par rapport à 5; sa valeur est a (a — i)...ix ^(P — i). . . i X ^('{ — i). . .1 X A;

si a était nul sans que ^, y le fussent, la dérivée devrait être prise ^ fois par rapport À y, y fois par rapport à z; elle serait

P(P — i)...ix y(y-i)---ix A.

On peut la représenter dans tous les cas, avec les conventions expliquées au n° 43 par le symbole a! [îi! y! A.

Un polynôme réduit ^(^, j^^ ^) est la somme de monômes tels que Ax'^y^zy, tous distincts. Il résulte de la remarque précédente que la dérivée d'ordre a + [3 + y de ce polynôme, que l'on est convenu de représenter par le symbole y^.a"^^T"^^', même dans le cas où l'un des nombres entiers a, [3, y est nul, se réduit pour j; =■ o, y ^ o, z = o àa! [S! y ! A; inversement le coefficient numérique du monôme x'^y^zf qui figure dans le polynôme s'obtient en divisant par a! ^1 y! la dérivée/^.«'p^y'^^' dans laquelle on a remplacé :r, y, z par o.

48. Je vais appliquer cette règle à la recherche des coefficients du développement du polynôme [x -\- y -\- z)"^ n étant un nombre naturel. Ce polynôme en x, y, z est évidemment homogène et du degré n; quand il est développé, il est la somme de termes delà forme x'^y^zy, où a, (3, y sont des entiers positifs ou nuls, dont la somme est égale à n, multipliés par des coefficients numériques que l'on détermine par la règle précédente.

Les dérivées premières de (x + y-'rz)", par rapport à x, y, z, s'obtiennent par la règle d'après laquelle la dérivée de (^ + a)", quand a est une constante, est égale à n (x -\- a)"" ^ . Ces trois dérivées partielles du premier ordre sont égales à n^x-^-y^z)""*, les dérivées secondes sont de même toutes égales à /i(/z — i)(x+y-i-z)"''^^ etc.; toutes les dérivées n"^'""^ sont égales à n(n — ') ('* — 2) . . . 1 ^= n l Le coefficient de x^y^z^ est donc égal à

et le développement du polynôme {^ -}- y -h 3)" est égal à la somme

POLYNOMES.

de tous les monômes distincts de la forme

que Ton peut former en prenant pour a, jB, y des nombres entiers positifs ou nuls dont la somme soit égale à n.

Si, par exemple, n est égal à 2, la somme des nombres a -h ^ + y devant être égale à 2, l'un de ces nombres peut être égal à 2, les deux autres étant nuls; deux des nombres peuvent être égaux à un, l'autre étant nul.

Autrement dit, il peut y avoir, dans le développement, des termes en X-, enj^2 ens-, en jk-, en 5.r, en xjk; il ne peut y en avoir d'autres. Le coefficient numérique des termes en iC-,jK"5^^ est égal à — ; — |-^ = i;

le coefficient numérique des termes en j':?, zx, a:yestégalà , ', ^ = 2.

On a

(x -+- y -+- z)- = X- -h y- -^ z^-+- lyz -\- izx ^ -ixy.

Si l'on suppose n = 3, on reconnaît de même qu'il doit y avoir, dans le développement, des termes enx^^y^, z^ dont le coefficient est I, des termes eny-z^ z-j, x^z, z^x, x-y, y-x dont le coefficient est 3 ; un terme en xyz dont le coefficient est 6. On a donc

{x -\- y-^zY= x^-\- y^-^ z^-\-Zy^z + 'iz^y +'iz^-x -^- 3x^z -hox^y -hSy^x -i-6xyz.

Le lecteur reconnaîtra sans peine que la méthode donnée pour obtenir le développement de (37 + ^+2)'* s'applique au développement de la puissance n'^"^" de la somme d'autant de variables que l'on veut; il pourra aussi retrouver par cette voie la formule

(x -{- y)"- x^ 37"-! jK x'^-^y^ x'^-^y^ y"

1?. ^ TTÏ'^ {n — i)\ i! "^ (n — 2)!-2l ~^ (n — 3) ! 3 ! "^' ' '"*" 'nï

qui résulte d'ailleurs des formules (i) et (2) du n° 43.

49. Enfin, si l'on désigne para, b, c trois nombres quelconques, la même méthode s'applique à trouver le développement du polynôme en x^y^ ^if{^ + .27, 6 + y^ c + :;), obtenu en remplaçant les variables x^ y, z par a -{- x, b -\- y, c -{- z dans le polynôme /(a?, y, z).

Le coefficient du terme en x^y^z"^ s'obtiendra en divisant par

Il8 CHAPITRE II.

a ! ^ ! y ! la valeur pour x ■==. o^ y^o^z = o de la dérivée d'ordre a + ^ H- Y du poljnomey"(a -\- x^ ^ + J'? c -\- z) prise a fois par rapport k x^ '^ fois par rapport à y, y fois par rapport à 5. Or, en vertu d'une remarque antérieurement faite pour les dérivées du premier ordre, et qui s'étend de suite aux dérivées d'ordre quelconque, cette dérivée se déduit de la dérivée y*[,a^"Y^^* en y remplaçant x^ y, z respectivement par a -\- x^ b -{- y, c -{- z. Sa valeur pour x = o, y ^ o, z = o s'obtiendra donc en remplaçant, dans cette même expression Xi*^ff^^'' ^"5 JS ^ para, 6, c; on convient de représenter le résultat

par le symbole

Avec cette notation, on voit que le coefficient du terme en x^y^z^ s'écrit

a ! p ! Y ! et le terme lui-même peut s'écrire

le développement cherché est la somme de tous les termes distincts de cette forme qui ne sont pas identiquement nuls.

11 est clair que l'on n'aura pas à écrire de termes pour lesquels a + ^ + y dépasse le degré n du polynôme /(x, y, z).

La règle précédente ne s'applique pas au terme indépendant de x, y, z, mais on sait déjà que ce terme, qui peut s'obtenir simplement en remplaçant :r,j)^, z paro dans /'(a -{- x, b -h y, c -^ z) eslf(a,b^c).

11 est naturel de grouper ensemble tous les termes qui ont le même degré /?^ 71 en ^, j^, z : ces termes sont de la forme (i), en supposant a + ^ -\-y = p.

En supposant/? = i , leur ensemble est

oùy^, f'/^, y^ désignent les valeurs àe/^,/L /^ quand on y remplacer, y, z respectivement par <7, b, c, c'est, à part la différence des notalions, une observation qui a déjà été faite au n° 4-0 ; l'ensemble des termes du second degré est

î(^^/>+ JKViW -'/c^+ "^y^fbc-^ -i-^xfca^ -^xyflh).

POLYNOMES. 119

O" fa'^i fUi fc^i f'bci fcai fab représentent respectivement les valeurs des dérivées secondes /i'.,, j^",, /!',, /^^, fl^, f^^. quand on j remplace a?, y, z par a, b, c; cet ensemble pourrait s'écrire symboliquement

à la condition de remplacer, dans le développement de ce carré, effectué par la règle donnée dans le numéro précédent,

{Ja) 1 \Jl)) 1 \Jc) 1 J bjct JcJat Jajb

par

/«') y^^i yt'i J bc-: Jcai Jah-

Cette observation est générale, comme on le reconnaît en se reportant à la règle pour obtenir le développement de la puissance /?'^"'^ d'une somme de trois termes; l'ensemble des termes du yo'^""^ degré en X, y, z peut s'écrire symboliquement

JT(^fL+j/b+^/c)'\

en supposant que l'on a d'abord effectué le développement de la puissance /?'*'"''', puis que l'on y a remplacé le terme

(/^)^(/^)P(/-.)r où a -t- |3 + y est égal à p, par

on est enfin parvenu à la formule symbolique

(2) /(a + 37, b -^ y, c -h z) = f(a, b, c ) -h xfl,-h jr/;^^ z/;,

■^"i~b ^^s'a-^yft'-^^fcy

' {^ra+yju^fcy

' {^fa-^yf'b+^f'cr-

Cette formule, avec des modifications insignifiantes, s'applique à des polynômes à autant de variables que l'on veut.

Si on l'applique, par exemple, au polynôme du second degré à deux variables

dans lequel on a

f!,= i(kx + By + D) /;=9.(Ba,--+-Gj'+E),

on aura, symboliquement,

f^a+x,b-^y) ==f{a, b) -+- xfL-\- yfL + \{xfl,-r yfi)\ et, d'une façon explicite,

f{a-^x,h-^y)=^f{a,b)^xf^^yfi-^\(x^fl.-\-ixyf:,„-^y'^fl.) = /(«, ^;) + 2a?(Aa + B6 -i- D) + aj'CBa -+- G6 -H E) -f- A ips f- .^ B 37/ -1- G 72 ;

on voit, par cette formule, que l'ensemble des termes du second degré est Je même dans le polynôme

/(a + 37, 6-i-jK) = A(a7-Ha)2-H2B(a7-4-a)(jK + 6)-hC(j'-f-6)2 -4-2D(a7+a)-H2E(jK+ ^') + F,

que dans le polynôme y"(^, y) : cela était aisé à prévoir, les termes du second degré dans le développement def(a-i-x, b -\- y) proviennent des termes du second degré de /{^, y)- Or, quand on développe A(a7 H- a)-, le seul terme du second degré est évidemment Ax^; quand on développe 2B (x -+- a) (y -{- b) , le seul terme du second degré est zBxy, etc. Ce résultat est général : si /(x,y, z) est un polynôme du degré «, l'ensemble des termes du degré n dans le développement du polynôme y*(a -\- x, b -\- y, c -{- z) est identique à l'ensemble des termes du degré n âansf(x,y, z).

La formule (2) s'applique sans modification à un polynôme homogène du /i>«'"« degré.

Je vais l'appliquer au polynôme homogène du second degré

(f(x, y, z)= ax^-+- a'y^-h a"z^-h ubyz ■+- -xb' zx -f- ih" xy,

POLYNOMES. 121

en j remplaçant toutefois les lettres a, 6, c par ^o? JKo- ^o et en remplaçant X, y, z par kx, ky, kz : elle donne alors pour l'expression

de o{x^-\- kx^yt^^ ky^ z^-\-kz)

-»- - ( ^' ?x3 + JK^ c?^j -4- ^-^ ?;3 -t- 2 JK5 o^.^3^ -+- 2 2:1; G,^,r„ -^ 2 ^^K <?.,^.„ ) ,

OU cp^^, ç^^, . . ., ^'x^y^ désignent ce que deviennent les dérivées partielles ix^ iy^ • • •' i'xy quand on y remplace x, y, z par ^0, y^, ^o-

On adonné au n" 41 les valeurs de ces dérivées; en remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs, on obtient l'identité

( ? (^0 + ^--z-, j-o -^- ^y^ -0 + kz )

au reste, que l'ensemble des termes du second degré en x^y^ z dans le développement de cp(a7o+A.r, J^o+^y? ^0 + ^3)7 soit égal à k'^o[x^ y, z), c'est ce qu'on pouvait prévoir par le raisonnement utilisé à la fin du précédent numéro.

L'identité (i) a lieu quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres x^, y^, Zo, x, y, z : supposons qu'on prenne x^ =.r,yo^JK, Zo = z. Le premier membreo[:p(i + k),y(i + A), 5(1 + A")] s'obtient en remplaçant, dans le polynôme homogène '^(x, y, z), x, y, z par 37(1 H- A), y(i-\-k), z(i-\-k); chacun des monômes qui constituent Z)(x,y, z) se trouve alors multiplié par(i + A")-, en sorte que le premier membre de notre identité n'est autre chose que o {^jy-, z) (i + k)^ ; elle devient donc

<fi:v, j, z)(i-~ ky-r= o(x, y, z)-\- k(xtf'j.+ ro'y-^ z<fi)^k'-<^{x, y,z);

cette dernière identité doit avoir lieu quel que soit le nombre A; si donc on ordonne suivant les puissances de k, les coefficients d'une même puissance de k doivent être les mêmes dans les deux membres. La comparaison des termes indépendants de k et des termes en An'apprend rien : la comparaison des termes en A" donne l'identité

(2) io{x,y,z)=x^'^-\-y'^'y.-hz<f'.,

qui se vérifie immédiatement en remplaçant ç^, cp^, cp^ par leurs expressions développées.

Le même mode de raisonnement s'applique à un polynôme homogène y(^, jj^, 5) de degré n et conduit, comme le lecteur n'aura aucune peine à le voir, à l'identité symbolique

(3) {ocf^ ^yf>^-fLy>^ n{n~ i){n 2) . . . (n — /? + i)f{x, y. z),

où p est l'un quelconque des nombres 1, 2, .. ., n. En particulier, pour y? = I , on obtient l'identité suivante, qui est une généralisation immédiate de l'identité (2),

( 4 ) a?/; + yf'y -h z/: = nf( X, y,z).

En raison de l'importance de cette identité, j'en indique une autre démonstration :

Elle se vérifie de suite en prenant pour j\x^y^ z) un monôme du degré /?, S.x^y'^zy>^ dont les dérivées sont respectivement

en sorte que le premier membre se réduit à

(a-f- j3-4-Y)Aa-ajp5T;

comme un polynôme homogène f[x^y, z) est la somme de pareils monômes la proposition est évidente.

Le lecteur reconnaîtra sans peine que si un polynôme /(^, y, z) vérifie l'identité (4) il est homogène et de degré n] il suffit, pour cela, de décomposer le polynôme en groupes homogènes.

Revenons à l'identité (i) relative à un polynôme homogène du second degré ; le premier membre s'obtient en remplaçant dans

X, y, z par

Xq-{- kx, yo-^ ky, Zq-\- kz,

ou, ce qui revient au même, par

ou encore, en multipliant chacun des monômes qui constituent

POLYNOMES. I?.3

(s{j!:, y, z) par A- et en y remplaçant ensuite x, jj^, z par

^"0 To -^0

en d'autres termes, le premier membre peut s'écrire

•^0 ., , yo

mais en vertu de l'identité (i) elle-même, dans laquelle on remplace k

par I , jc, j)', ^ par Xf„ j-'o, ^o el x^, y^, ^o par or, y, z, on a

= ^{x,y,z)-\- -j^ix^^'^-^ yody-^ Zao'.)-+- -j-^o{xo, yo, Zq):

l'identité (i) peut donc s'écrire sous la forme

k^^{x,y, z) + A'(a:o(pi -+- J'oÇj-f- -So<F;)-+- ?(^o,ro) -^^o)

On en conclut, en comparant les termes en A", que l'on a identiquement, quels que soient x, j^, 5, Xo,jKo> ^o?

Ce résultat, qui a une grande importance en Géométrie analytique, se vérifie d'ailleurs immédiatement en remplaçant tp^, o' , ç^ par leurs expressions explicites ; le premier membre devient alors

iX(^{ax -{- b" y -!- b' z)-\- iy^(^b" x -\- a' y + bz)-\- iz^(b' x^ by ■+• ci" z); il peut s'écrire

laxQX -+- T-a'yoy h- ïa"zoZ -+- 2b( jo-s + -SoJ')

H- -^b^zox -+- xoz)-+- '2b"{xoy -\-yox);

sous cette forme, on reconnaît de suite que ce polynôme en x^y, z, ^01 y a-) ^0 reste le même quand on échange les lettres x, y, z et x^^ ya, Zq. Cette même forme, d'ailleurs, met de suite en évidence l'identité (2), en supposant Xo =rz x, y^ =y, Zq =^ z.

L'identité (5) est spéciale aux polynômes homogènes du second degré; elle est toutefois un cas particulier d'identités concernant les polynômes homogènes du n^"'"^ degré, qui se démontrent par la même méthode qui nous a conduits à l'identité (5) et que je me contente de transcrire. On a pour les valeurs i, 2, ..., n — i du nombre/?

où les puissances ont le caractère symbolique sur lequel on a insisté à plusieurs reprises.

On a encore

EXERCICES