Soit a un nombre positif moindre que i, on a

Soient A la plus grande des valeurs absolues des coefficients du polynôme f{x), x' la valeur absolue de x^ B un nombre positif quelconque : la

valeur absolue de/(ip) est moindre que ;■} si x est moindre que i ; elle

est moindre que B, si l'on a a7'<

La valeur absolue de x^f{x) est moindre que B si l'on a

19. Pour quelles valeurs de x la courbe (G), définie par l'équation (n° 31) jK = 3 — :>.x ~\- \ x'^ -^ S x^ -^ x'* , est-elle au-dessus ou au-dessous de la tangente au point de la courbe située

POLYNOMES. ia5

sur l'axe des y, au-dessus ou au-dessous de la parabole définie par l'équation

Déterminer la tangente à la courbe (G) aux points d'abscisses i et 4-

20. Déterminer un nombre positif a tel que, si la valeur absolue de x est supérieure à a, la valeur absolue du polynôme 3 — -ix -h ^x^ — 5x^-^ x'* soit plus grande que looo.

21. Si un polynôme /(a:) a tous ses coefficients positifs, sa valeur augmente avec celle de x, quand x est positif. Sil ne contient que des termes de degré impair, sa valeur augmente avec celle de x^ quel que soitar; s'il ne contient que des termes de degré pair sa valeur diminue quand x augmente en restant négatif.

Si le nombre A est positif, la valeur de l'expression {x -\- A)« — x'^ ^Jugraente avec celle de x quand x est positif.

22. Si un polynôme f{x)^ de degré n, est positif ainsi que ses n dérivées, pour a? = a, sa valeur va en croissant avec celle de x, quand x est plus grand que a : cette valeur, quand x est plus grand que a, reste donc toujours positive.

23. Il est souvent commode d'introduire en avant des coefficients d'un polynôme de degré n les coefficients numériques C", Cj, . . . , GJJ de la puissance n'""" d'un binôme ; d'écrire, par exemple, les polynômes du deuxième et du troisième degré sous les formes

ax^ -h ^bx -h c, ax^ -H 3 bx^ -\-'icx -i- d, et le polynôme du /i'^""* degré sous la forme

f{x) = «0^"-+- Gïa,a:«-'-+- Cla-iX'^'^-^ ... -I- C,^a„,

où ao, ai, . . . , an sont des constantes.

Montrer que l'on a, en désignant pary'/'^(a7) la dérivée/)'^"* de/{x),

f(p)(x) -^ ^—^ = C],(aoX^-P-{- C'}-PaiX'^-P--i -h C'i'P a.îX'^-P-^ -^ . . . ^ G',lzf,a,t-p).

24. En conservant les notations de l'exercice précédent, soit a la plus grande des valeurs absolues des constantes ao, ai, ..., a„; soient a;' et h' les valeurs absolues de x et de /t, on a

\f{x) 1 < aix'-^ i)«, iZ^ll £ C;;a(^'-f- !)«-/',

\f(x-hh)~f(x)\^a[(x'-i-h'-\-i)'^—(x'-^iyq.

Si l'on suppose que la valeur absolue de x reste inférieure au nombre positif A, le second membre de la dernière inégalité est plus petit que

a[( A M- A'-Hi)«— (A -m)"J.

Dans les mêmes conditions on aura, en désignant par s un nombre positif quelconque,

si l'on a

23. Soit a la plus grande des valeurs absolues des constantes «i, «21 . • », «n dans le polynôme

on a, pour toutes les valeurs positives de a:,

f{x) ^(rt -I- \)x'^ — a{x -h i)";

le polynôme y*( a;) est positif pour toutes les valeurs de x qui vérifient l'inégalité

va -h I — y/a