En posant

on a identiquement

P„(ir-Hi) = P„(a7)^-P„l(a:-l),

P„(:r-i-i) = p„-,p,(a7)-f-Ps(a7) + ...-^P„(^),

-+- P2(a) P„2(ar) h- . . . + P„(a) Po(:r). 30. Si l'on pose

on a

Déduire de là les égalités

C» = Ai,

c» + c;;zî A, + c;»zi a,-4- . . . + Gr^+2 a^2 = (/> - i) A;,,,

H- Ai+ Aj-t- ... -1- A„2 = (n — i)A„,.

Exprimer Ai, A2, A3 au moyen de n.

Montrer, en supposant que n soit un nombre premier impair, que les nombres entiers Ai, Aj, ..., A,j 2 sont divisibles par n ainsi que An-i + i', dans les mêmes conditions, si x est un nombre entier non divisible par n, x'^—^ — i est divisible par n.

31. En conservant aux lettres Aj, Aj, . . ., A„i la signification de l'exercice précédent et en désignant en général par S,, la somme des /•'*""*' puissances des p premiers nombres naturels, on a

o«-l -I- Al &„2-t- . . . + P^n-2 5 1 +/> A.„i — — •

32. En conservant les mêmes notations que dans l'exercice précédent, montrer que l'on a

n rtn

CîS„,-^ G^S„-2+ . . • + G»i Si 4-/? = (/> + !)

Calculer S2, S3, S4 en partant soit de cette relation, soit de la relation analogue indiquée dans l'exercice précédent.

33. Ordonner, suivant les puissances croissantes ou décroissantes de à", le carré du polynôme \ -k- x -{- x'^ -\- . . . -\- x'K Quel est, dans le développement, le plus grand coefficient numérique ?

34. Trouver un polynomey(a;) tel que l'on ait identiquement, en désignant par/'(a7) la dérivée Aef{x),

On reconnaît aisément que le polynôme y( a;) ne peut être d'un degré supérieur à n. On applique ensuite la méthode des coefficients indéterminés, c'est-à-dire qu'on pose /(a?) = AqH- Aja? -h A2a7*-H . . . -i- A„a7«; en rempla-

POLYNOMES. 1^9

çant ensuite, dans l'équation (i), /(^) et/'(x) par leurs expressions développées, et en écrivant que, dans les deux membres, les coefficients d'une même puissance de x sont égaux, on trouve les relations

Ao — Ai = o, A, — 2A2 = o, ..., A„, — /iA„ = o, A„= ^ ^ ^ — —^, qui permettent de déterminer les coefficients A;), Aj, . . ., A„.