Ordonner suivant les puissances de a; le polynôme

f{x) = {i -h ax) (i -h a^- t) {i -\- a^ x). . .{i-ha'^x). En changeant 37 en ax dans cette égalité, on trouve aisément la relation

/ (x) (i -\- a'i-^-^ x) =/{ax)(i-+-ax'),

qui doit avoir lieu quel que soit x.

En remplaçant dans cette égalité/(:F) et /(ax) par

Aq-K A,a7 -;-. ..-t- A/iar", Ao-i- Aja^r -h. . .-h A„a«.r'«,

égalant, dans les deux membres, les coefficients de xP, on trouve une relation entre A/, et A^-i, d'où, en tenant compte de l'égalité Ao=i, on tire aisément

^-ii:!-^ ( I — a" )( I — a«-i )•••([ — «"-'P ^ • ) '' {i — a){i — a')...{i — aP)

La définition même du polynôme /{x) montre que Xp doit pouvoir se mettre sous la forme d'un polynôme entier en a.