x^ — 'ix^ + x

DIVISION DES POLYNOMES. l45

J'écris la suite des coefficients, en remplaçant par des zéros ceux qui manquent

et je trouve successivement, en appliquant la règle précédente, les coefficients du quotient

et le reste i38x3 — -==407.

En appliquant ce procédé, le reste doit- être égal à la valeur du dividende pour x^=a\ c'est la meilleure manière pour calculer la valeur exacte d'un polynôme pour une valeur donnée de la variable.

Pour reconnaître si un polynôme est divisible par x + «, ou pour faire la division d'un polynôme par x -\- a^ on n'aura qu'à changer a en — a dans les raisonnements ou les calculs qui précèdent.

x'* — a" est toujours divisible par x — a\ le quotient est égal à

x^ + a"^^" — a'^ -\- la"^ n'est pas divisible par x — «, le quotient est le même polynôme qu'on vient d'écrire et le reste est 2a". x"^ — a"^ est divisible par x -\- a quand n est pair et n'est pas divisible quand n est impair; dans les deux cas le quotient est

a;«-i — ax"'--+ a-x'^-^~. . .-i- (— ly^-'^a'^-'^x -i- ( — i)'»-'a«-i,

et, dans le second cas, le reste est — 2 a".

x'^-\- a" est divisible par x -^ a quand n est impair et ne l'est pas quand n est pair; le quotient est, dans les deux cas, le polynôme que l'on vient d'écrire et, dans le second cas, le reste est la'K

Si un polynôme est divisible séparément par les binômes x — a, X — 6, . . ., X — /, où a, b, . . ., / sont des nombres distincts, il est divisible par le produit {x — a)(^x — b) . . . (x — /) de ces binômes.

Il suffit de remarquer que le polynôme s'annule alors pour les nombres différents «, 6, ..., /; dès lors la proposition a été démontrée, sous une forme plus complète, au n" 38.

55, Cas où les coefficients sont entiers. — Le cas où, dans une division, le dividende et le diviseur sont des polynômes à coefficients entiers, offre un intérêt particulier. On a alors à sa disposition un T. ,0

l46 CHAPITRE ni.

théorème qui permet souvent de reconnaître, sans la pousser jusqu'au bout, qu'une division ne peut s'effectuer exactement, et qui est d'ailleurs très utile quand on veut chercher quels sont les polynômes à coefficients entiers qui divisent exactement un polynôme à coefficients entiers. Je vais m'airêter un instant sur ce sujet, où le lemme suivant, relatif à la théorie de la multiplication de deux polynômes, est fondamental :

Le plus grand commun diviseur des coefficients du produit (réduit) de deux polynômes (réduits) P, Q, à coefficients entiers, est égal au produit du plus grand commun diviseur des coefficients du polynôme P et du plus grand commun diviseur des coefficients du polynôme Q.

Dans ce numéro, je désignerai sous le nom àe polynôme primitif, un polynôme à coefficients entiers, dont les coefficients n'ont ])as d'autre commun diviseur que i.

Je commencei'ai par établir la proposition suivante : Le produit de deux polynômes primitifs P, Q est un polynôme primitif.

Supposons, en effet, que les coefficients du produit (réduit) PQ aient un diviseur commun autre que i; ce diviseur aduiettra un diviseur premier a qui divisera aussi tous les termes du produit PQ. Posons

en désignant par P, l'ensemble des termes de P dont les coefficients sont divisibles par a, par Q, l'ensemble des termes de Q dont les coefficients sont divisibles par a; au contraire, aucun terme de Pa, ni de Qo, n'est divisible par a. Il y a certainement des termes dans P^ et dans Qo, car s'il n'y avait pas de termes dans Po, par exemple, c'est que tous les coefficients du polynôme P seraient divisibles par a : le polynôme P ne serait pas primitif.

D'ailleurs, on a identiquement

PQ = r^Q,-^PlQ,^-P,Q,-t-I^.Q,;

tous les coefficients des termes de P)Qi, PjQj. P^Qi sont évidemment divisibles par a; si tous les coefficients du jjroduit réduit PQ sont divisibles par a, c'est qu'il en est de même des coefficients du produit réduit P2Q2> puisque chacun de ces coefficients, augmenté peut-être d'un multiple entier de a, provenant des autres produits partiels, fournit un coefficient de PQ. Or, le coefficient du premier

DIVISION DES POLYXOMES. iSj

terme de P^Qa, ordonné suivant les puissances descendantes de x, est le produit des deux premiers coefficients de P2 et de Q2, ordonnés de même : aucun de ces coefficients n'est divisible par le nombre premier a; leur produit n'est pas divisible par a. Les coefficients du produit PQ ne peuvent être tous divisibles par un nombre premier a, ni, par conséquent, par aucun nombre entier, autre que i. Le produit PQ est primitif.

La proposition générale se déduit immédiatement du cas particulier qu'on vient d'établir.

Soient P, Q deux polynômes à coefficients entiers ; soient p el q les plus grands communs diviseurs respectifs des coefficients de P d'une part, des coefficients de Q d'autre part. En désignant par P' et Q' les deux [polynômes à coefficients entiers que l'on obtient en divisant par p les coefficients de P, par q les coefficients de Q, on aura

V=p?\ q = qQ.', Pq=pgP'Q';

mais les polynômes P' et Q' sont primitifs, puisque, quand on divise un groupe de nombres entiers par leur plus grand commun diviseur, on obtient comme quotients des nombres entiers qui ont i pour plus grand commun diviseur. Le polynôme P'Q', lorsqu'il est réduil, est primitif, comme on vient de le démontrer : les coefficients ont i pour plus grand commun diviseur, les produits par pq de ces coefficients, ou les coefficients du produit réduit PQ ont donc pq pour plus grand commun diviseur.

Voici maintenant quelques conséquences de ce lemnie dans la théorie de la division.

Convenons de dire, pour un instant, qu'un polynôme A, à coefficients entiers, est entièrement divisible par un polynôme B à coefficients entiers, s'il existe un polynôme G, à coefficients entiers, tel que l'on ait identiquement A = BC.

Désignons, en supposant qu'il en soit ainsi, par a, b, c les plus grands communs diviseurs respectifs des coefficients de A, des coefficients de B, des coefficients de C, en sorte qu'on puisse poser

A = aA', B^6B', G = cG',

en désignant par A', B', G des polynômes primitifs; ^identité A = BG entraîne l'identité aA'= bcB'C; le polynôme (réduit) B'C est primitif comme A'; a est le plus grand commun diviseur dçs coefficients

du polynôme aA', bc est le plus grand commun diviseur des coefficients du polynôme /^cB'C qui est identique à «A'; on a donc

a = bc, A'=B'C'.

Ainsi le nombre b divise le nombre a et le polynôme B' divise entièrement le polynôme A'.

Lorsque B est primitif, b est égal à i, B est identique à B' : un polynôme primitif ne peut donc diviser entièrement un polynôme à coefficients entiers, sans diviser entièrement le polynôme primitif que l'on en déduit en divisant tous ses coefficients par leur plus grand commun diviseur.

Lorsque A est primitif, a est égal à i ; les deux nombres naturels b, c, dont le produit est égal à i, sont certainement tous les deux égaux à I . Donc :

Un polynôme primitif ne peut être entièrement divisible par un autre polynôme à coefficients entiers que si ce dernier est primitif. Alors, le quotient, lui aussi, est primitif.

Supposons seulement, en désignant toujours par A et B des polynômes à coefficients entiers, que A soit divisible par B, sans l'être entièrement : le quotient Q sera un polynôme à coefficients rationnels, comme il résulte évidemment de la façon dont se fait la division (' ).

(') Les remarques suivantes, qui ne supposent pas que A soit divisible par B, nous seront utiles :

Désignons par b„ le premier coefficient de B; dans chaque division partielle, on a à diviser par bg soit le premier coefficient de A, soit le premier coefficient dun reste partiel, en sorte qu'il s'introduit, en général, des coefficients fractionnaires dans le quotient : les dénominateurs de ces fractions sont des puissances de b^. De pareils coefficients fractionnaires s'introduisent aussi dans le reste. Mais si, avant de faire la division, on multiplie A par un nombre convenable a, on peut éviter tous les coeflicients fractionnaires, tant dans les restes partiels que dans le quotient et le resle final. Observons d'abord que le nombre de divisions partielles est au plus égal à la différence entre le degré de A et le degré de B, augmentée d'une unité: désignons par p cette différence augmentée de i; multiplions A par b'^ et divisons par B; le premier terme du quotient est entier el divisible par bP~^ : il en est de même de tous les termes du premier reste partiel; le second terme du quotient est entier et divisible par bi^~^ , ainsi que tous les termes du second reste partiel, etc. Le quotient et le reste ont maintenant tous leurs coefficients entiers. On peut donc prendre a = b^; d'ailleurs il peut arriver qu'on atteigne le but en prenant pour a un nombre moindre. Dans tous les cas, les restes partiels, le reste final, le quotient de la division de aA par B sont les produits par a des restes partiels, du reste final, du quotient de la division de A par B, comme il résulte de l'opération même.

DIVISION DES POLYNOMES. l49

En réduisant tous les coefficients au même dénominateur q^ on voit que Q peut se mettre sous la forme — > où Q, désigne un polynôme à coefficients entiers; l'identité A = BQ entraîne gA^BQ, : donc B divise entièrement qK.

Soit maintenant, comme plus haut, a le plus grand commun diviseur des coefficients de A et soit A = <7A'; le polynôme primitif B devant diviser entièrement le polynôme qah! ^ doit diviser entièrement le polynôme primitif A' et, a fortiori^ le polynôme «A' ou A. Donc :

Si un polynôme primitif à coefficients entiers divise un polynôme A à coefficients entiers, les coefficients du quotient doivent être des nombres entiers; si, dans le courant de la division, on est amené à écrire, au quotient, comme coefficient, une fraction irréductible, la division ne peut se faire exactement.

56. Extension de la division. — Revenons au cas général. Quand on a terminé, conformément aux explications données dans le n" 51, la division du polynôme A, de degré «, par le polynôme B, de degré 6, que l'on est parvenu au quotient Q et au reste R, de degré /* << b^ on peut, si l'on veut, continuer l'opération, de la même façon, en introduisant au quotient un terme de degré négatif /• — /', et en suivant toujours la même règle; le nouveau terme du quotient s'obtient en divisant le premier terme de R par le premier terme du diviseur, le nouveau reste partiel s'obtient en retranchant de R le produit du nouveau terme écrit au quotient par le diviseur, etc. On peut continuer et l'on s'arrête quand on veut : Si l'on désigne par Q' l'expression écrite alors au quotient, et par R' l'expression écrite au reste, on a, toujours identiquement, A = BQ'-f-R', en ce sens que, si l'on fait la multiplication et l'addition indiquée au second membre, comme si l'on avait affaire à de véritables polynômes, on retombe sur A.

Cette identité montre, lorsque B se termine par une constante, non nulle, que R' ne peut être identiquement nul : si, en effet, R' était identiquement nul, le produit du dernier terme de B parle dernier terme de Q' serait de degré négatif, et devrait être identique au dernier terme de A. R' n'étant pas nul, on peut continuer l'opération qui, ainsi, ne se termine jamais.

Je laisse au lecteur le soin de démontrer que l'opération ne peut

t5o CHAPITRE m.

se terminer que dans le cas où B est de la forme B'or", B' étant un polynôme qui divise exactement A.

J'ai reproduit ci-dessous une division ainsi continuée.

x^ — ■ix'^-h "ix

X'^-t- IX — — X^'-^^X —

"ix

:>x — 2 — 5^ + i5 — bx~^

3437-' — i3a^— " au moment où elle est ainsi arrêtée, on est parvenu à l'identité

x^— ■2x'^-*- 3x — I = (372 — 3^7+ \){x -+- i-h 5x-^ -{-\3x-^)-ho^x-^ — \ox-^;

je ne veux que faire pressentir ici l'utilité que peuvent présenter de pareils calculs, qui apparaîtra nettement plus tard. De l'exemple qu'on vient de traiter, on peut conclure que, pour toutes les valeurs de X qui n'annulent pas a:- — 3:c + i , on a

x^ — 2x'^-h-+-ix — [ , , „ „ 34 37-1 — 13^~2

x'^ — ix -+- i x'^ — ix -h i

si œ est très grand en valeur absolue, on voit sans peine que la fraction qui figure dans le second membre est très petite en valeur absolue; en sorte que le premier membre aura à peu près la même valeur que l'expression

plus facile à calculer. Si l'on suppose que la valeur absolue de x soit supérieure à 1000, l'erreur sera moindre que