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le ])remier membre de l'inégalité précédente est, en effet, plus grand que la fraction qu'on veut évaluer, puisque l'on a remplacé le numé-

DIVISION DES POLYNOMES. l5l

rateur par un nombre plus grand, le dénominateur par un nombre plus pelit.

Lorsque l'on effectue une division sur les polynômes A, B ordonnés suivant les puissances décroissantes de a?, d'après le procédé que l'on a d'abord expliqué au n° ol et dont on vient de montrer comment il pouvait être poursuivi, on peut s'arrêter quand on veut, soit avant d'être parvenu au reste proprement dit, soit quand on a fini l'opération au sens du n" 51, soit après l'avoir poursuivie, lorsque la division ne peut se faire exactement : dans tous les cas on parvient, au moment où l'on s'arrête, à une identité de la forme A = BQ'+R', où les expressions Q' et R' qui figurent respectivement à la place du quotient et du reste sont, soit de véritables polynômes, soit de ces expressions analogues à des polynômes qui contiennent des termes de degré négatif : Q' et R' sont aussi ordonnés suivant les puissances descendantes de x. Dans le cas où l'opération peut se poursuivre indéfiniment, on peut toujours s'arranger pour que le degré du premier terme de R' soit inférieur à tel nombre entier o, positif, nul ou négatif que l'on voudra, inférieur toutefois au degré a de A : imaginons qu'on s'arrête dès que cette circonstance se présente.

Soit toujours b le degré de B. Dans le reste partiel qui précédait R', le premier terme était, par hypothèse, au moins de degré p ; le dernier terme de Q' a été obtenu en divisant par le premier terme de B le premier terme de ce reste partiel : le dernier terme de Q' est donc au moins de degré p — b : en résumé, si l'on se donne le nombre entier p -< «, on peut trouver un polynôme ou une expression analogue R' dont le premier terme soit de degré inférieur à o et un polynôme ou une expression analogue Q' dont le dernier terme soit au moins de degré p — 6, tels que l'on ait identiquement A ^ BQ' + R'.

D'un autre côté, si l'on cherche à déterminer des expressions Q' et R' qui satisfassent à ces diverses conditions, le raisonnement du n** ol montre que les termes de Q' s'obtiennent les uns après les autres d'une façon nécessaire. Cela est évident pour le premier terme de Q' dont le produit par le premier terme de B, étant de degré supérieur à p — 6h-6 = p, ne peut se réduire avec aucun terme de R' et doit par conséquent reproduire le premier terme de A ; c'est à ce cas qu'on est toujours ramené par le raisonnement du n° 51, que l'introduction de termes à degré négatif n'infirme en rien. Q' est donc entièrement déterminé, ainsi que R'= A — BQ'.

l52 CHAPITRE III.

Il est aisé de voir que la proposition subsiste quand A est divisible par B, pourvu que l'on ait « ^ p ^ b.

Enfin, on voit encore que la division peut se faire de la même façon quand A et B, au lieu d'être des polynômes ('), sont des expressions contenant des termes de degré négatif. La proposition qu'on vient de démontrer subsiste, en regardant alors «, b comme les degrés, d'ailleurs positifs ou négatifs, des premiers termes des expressions A, B que l'on suppose toujours ordonnées suivant les puissances descendantes de X.