DE LA VARIABLE

o7. Deux polynômes A et B étant donnés, au lieu de les ordonner par rapport aux puissances décroissantes de la variable, et de les diviser d'après la règle du n° 51, étendue, si l'on veut, comme on vient de l'expliquer, on peut les ordonner par rapport aux puissances croissantes de la variable et faire la division de manière à obtenir les quotients et les restes partiels ordonnés par rapport aux puissances croissantes de x.

Pour simplifier un peu, je supposerai que le premier terme de B soit une constante.

Le premier terme qu'on écrit au quotient s'obtient en divisant le premier terme de A par le premier terme de B ; on retranche ensuite de A le produit par B du terme écrit au quotient; on obtient ainsi le premier reste partiel, dont le premier terme est de degré supérieur au degré du premier terme de A; le premier terme de ce reste partiel, divisé par le premier terme de B, fournit le second terme qu'on écrit au quotient; on retranche ensuite du reste partiel le produit par B du second terme écrit au quotient; on obtient ainsi le second reste

(') En se bornant au cas où A, B sont des polynômes, on peut procéder un peu autrement, de façon à éviter, dans le courant de l'opération, les termes à exposants négatifs. On multiplie d'abord A par a;"*, m étant un nombre naturel arbitraii-e, puis on fait la division par B du polynôme kx"* par la règle ordinaire, de manière à parvenir à l'identité

Aa7'»=r BQj+Ri,

où R, commence par un terme de degré inférieur au degré deB; on divise ensuite chaque terme de Q, et de R, par x"*. L'analogie avec l'opération d'arithmétique qui consiste à réduire en fraction décimale une fraction ordinaire est évidente.

DIVISION DES POLYNOMES. t53

partiel, et l'on continue de la même façon, aussi longtemps qu'on le veut, pourvu toutefois qu'on ne rencontre pas de reste nul.

Les degrés des premiers termes des restes partiels vont en augmentant à chaque fois d'une unité au moins, ainsi que les degrés des termes que l'on écrit successivement au quotient : au moment où l'on arrête l'opération, on a, en désignant par Q le polynôme écrit au quotient, par R le polynôme écrit au reste, l'identité A = BQ + R; dans le cas ou l'opération ne se termine pas, on peut s'arranger pour que le degré du premier terme de R dépasse tel nombre entier p que l'on voudra; imaginons, en supposant toutefois p supérieur au degré a du premier terme de A, que l'on s'arrête dès que cette circonstance se présente ; alors le degré du premier terme du reste partiel qui précédait R était inférieur ou égal à p, il en est donc de même du dernier terme de Q obtenu en divisant le premier terme de ce reste partiel par le premier terme de B, qui est une constante.

On peut donc alors, si l'on se donne le nombre entier p ^ a, trouver deux polynômes Q, R tels que le premier terme de R soit de degré supérieur à p, que le dernier terme de Q soit de degré inférieur ou égal à p, tels enfin que l'on ait identiquement A= BQ -f- R. Si l'on se propose maintenant de déterminer les polynômes Q, R satisfaisant à ces diverses conditions, on reconnaît que le problème n'admet qu'une solution : il suffit de reprendre, comme tout à l'heure, le raisonnement du n" 51, mais en faisant porter ce raisonnement sur les termes du plus bas degré au lieu de le faire porter sur les termes du plus haut degré, on voit que les termes de Q se déterminent les uns après les autres, d'une façon nécessaire.

On a reproduit ci-dessous une division eff'ectuée de la façon qu'on vient d'expliquer.

3 — IX -\- x^ — x^ I I — x-k-ix^

^x- — ^x^-{-'èx'*

-i- 'JX^ — '/X'*->r \\X^

l5i CHAPITRE III.

Au moment où l'on s'est arrêté, le polynôme écrit au quotient est 3 + ^ — 4-2^" — 7-2^^ et le reste /\x + 14^7^; on a l'identité

3 — y. a: -h x^ — x^ = (i ~ X -\- ix-) (i -h x — .\t^ — ■; x^ ) -h x'* -h \ \ x'\

On en conclut, par exemple, que pour toutes les valeurs de x, qui n'annulent pas le dlvisevir, on a