I X -\- IX

povir les valeurs de x voisines de o, la fraction qui figure dans le second membre est très petite en valeur absolue, en sorte qu'on commet une faible erreur si, au lieu de calculer le premier membre, on calcule la valeur du poljnome 3 + ^ — 4-^' — 7^^. Si, par exemple, on suppose la valeur absolue x' de x moindre que -j-^-, l'erreur sera moindre que

Si l'on divise 1 par 1 — x par ce procédé, on parvient à l'identité

ou, si l'on veut,

de même

Il n'est pas inutile de remarquer que si, dans une pareille division, on veut obtenir les termes qui, dans le quotient, sont de degré inférieur ou égal k n, on peut, dans le dividende et dans le diviseur, négliger les termes de degré supérieur à n, qui n'interviennent pas dans l'opération ainsi limitée.

Les polynômes A et B étant ordonnés par rapport aux puissances croissantes de x, la division de A par B, elï'ectuée par le procédé

DIVISION DES POLYNOMES. I 55

qu'on vient d'expliquer, ne se termine (on ne peut trouver un reste nul) que s'il existe un polynôme Q tel que l'on ait A = BQ^ réciproquement, s'il existe un tel polynôme Q, on le trouvera nécessairement parle procédé précédent : le même raisonnement qu'au n" ol montre que les termes de ce polynôme doivent s'obtenir l'un après l'autre par le procédé qu'on vient d'indiquer, et cela d'une façon nécessaire : l'opération se terminera quand on sera amené à écrire au quotient un terme dont le degré sera égal à la différence entre les degrés de A et de B : il devra être égal au quotient du dernier terme de A par le dernier terme de B et le reste correspondant doit être nul. Si quelqu'une de ces conditions n'est pas vérifiée, l'opération peut se continuer indéfiniment.

§ 4. — POLYNOMES A PLUSIEURS VARIABLES.

58. Dans tout le cours de ce Chapitre, on a regardé les coefficients du dividende et du diviseur comme des nombres, mais cette supposition n'est pas nécessaire pour effectuer, par exemple, les calculs décrits au n" ol .

Supposons maintenant que A, B soient des polynômes à "plusieurs variables; on dira que le polynôme A est divisible par le polynôme B, s'il existe un polynôme C tel que l'on ait identiquement A = BC, La méthode du n" 51 permet toujours de reconnaître s'il en est ainsi, et de trouver le polynôme C.

Plaçons-nous d'abord dans le cas où A, B sont des polynômes à deux variables .r,jK; rien n'empêche d'ordonner les polynômes A, B suivant les puissances décroissantes de x, et d'imaginer que G soit ordonné de la même façon; les polynômes A, B, G apparaîtront ainsi comme des polynômes en x dont les coefficients seraient des polynômes en^.

Supposons que l'on ait identiquement A = BG; le coefficient de la plus haute puissance de x dans A doit être identiquement égal au produit des coefficients des plus hautes puissances de x dans B et dans G; le coefficient de la plus haute puissance de x dans G s'obtiendra donc en divisant le coefficient de la plus haute puissance de x dans A, par le coefficient de la plus haute puissance de x dans B : on a à diviser l'un par l'autre deux polynômes en y, opération que l'on

l56 CHAPITRE III.

sait faire : la division doit se faire exactement; on obtient ainsi le premier terme de C : c'est le produit du coefficient qu'on vient de calculer par une puissance de x dont l'exposant est la différence des degrés des plus hautes puissances de a: dans A. et dans B. On retranche ensuite de A le produit de B par le premier terme de C, on obtient le reste partiel, sur lequel on raisonne comme sur A. Chaque terme de G se détermine ainsi d'une façon nécessaire; à chaque division partielle, la division du polynôme en y qui constitue le coefficient de la plus haute puissance de x^ par le polynôme en y qui constitue le premier coefficient de B, doit se faire exactement. Enfin l'opération doit se terminer avant que l'on ne trouve un reste dont le degré en x soit inférieur au degré de B, en x. Autrement A n'est pas divisible par B. IDeux polynômes à deux variables étant donnés, on sait reconnaître si le premier est divisible par le second. Du cas de deux variables, on passe successivement au cas de trois, quatre, . . . , variables.

Dans ce qui suit, je ne suppose plus que le polynôme A soit divisible par le polynôme B. Pour simplifier l'écriture, je raisonnerai sur des polynômes à trois variables x^ y, s ; mais les raisonnements s'appliqueront sans difficulté quel que soit le nombre des variables.

Quels que soient les polynômes A, B, en x^ y, s, on peut toujours les ordonner par rapport aux puissances décroissantes de x ; les coefficients des diverses pviissances de x (parmi lesquels on range le terme indépendant de x, le coefficient de ^r") sont des polynômes en y, z] rien n'empêche de faire sur A et B, regardés comme des polynômes en X, les calculs indiqués au n" 51 ; ces calculs conduiront à une relation de la forme A = BQ + R, où Q et R auront la forme de polynômes en X dont les coefficients seraient, en général, des fractions dont les termes sont des polynômes en y, z : les dénominateurs de ces fractions seront, en général, des puissances de ce polynôme en j', z qui est le coefficient de la plus haute puissance de x dans B. Le plus haut degré de x dans R sera inférieur au degré, en x, du polynôme B. La relation A = BQ + R aura lieu quelles que soient la valeur numérique de x et les valeurs numériques de y^ z^ pourvu que ces dernières n'annulent pas le coefficient de la plus haute puissance de X dans B.

Les calculs se simplifient dans un cas auquel je vais maintenant me limiter, celui où le coefficient de la plus haute puissance de x, dans B, au lieu d'être un polynôme enjK, ^, se réduit à une constante numé-

DIVISION DES POLYNOMES. 167

rique. Dans ce cas, les calculs n'introduisent en dénominateur aucun polynôme en y, z et, dans l'identité A = BQ -f- R, à laquelle on parvient, Q et R sont de véritables polynômes en ^, JK, z] les raisonnements du n" 51 s'appliquent sans difficulté pour prouver qu'ils sont les seuls polynômes dont le second soit, en x^ de degré inférieur au degré de B qui satisfassent à cette identité : dans ce cas, la condition pour que A soit divisible par B est évidente : R doit être identiquement nul.

Si, en particulier, on suppose que B soit de la forme x — «, a étant un polynôme en jk, 5, le polynôme R ne devra plus contenir .r, ce sera un polynôme en y^ z et le même raisonnement qu'au n** 53 montre que ce polynôme s'obtient en remplaçant x par a dans A. Si le résultat est identiquement nul en jj^, :;, ..., et seulement dans ce cas, A sera divisible par x — a. Plus particulièrement, la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme A (en x^ y, z) soit divisible par x — y est que le polynôme en i', z, . . ., que l'on obtient en remplaçant x pary dans A, soit identiquement nul.

Supposons que le polynôme A s'annule identiquement quand on remplace x soit par y, soit par z, ou encore quand on remplace y par z. Puisqu'il s'annule quand on remplace x par y, il est divisible par X — y, et l'on peut poser A ^ (^ — j^)A,. en désignant par A, un polynôme en x, y, z dont le produit par x — y est identiquement égal à A; si, dans l'identité précédente, on remplace y par 2, le premier membre est identiquement nul ; le produit de y — :; par le polynôme A, (en x, z) que l'on obtient en remplaçant dans A, y par z est donc identiquement nul ; il faut, pour cela, que A', soit identiquement nul et, par suite, que A, soit divisible par y — z; on peut alors poser A, ^ (j^ — ^) Ao, Ao étant un polynôme en x, y, z. Le raisonnement précédent prouve d'ailleurs que Ao s'annule identiquement quand on remplace :; par x; il en résulte que Ao est divisible par z — X, et que l'on peut poser Ao = ( :; — x) A3 ; des identités

A = {x—y)Ai, Ai = (7 — 5)A2, A2=(5-:r)A3, il résulte qu'on a identiquement

A = (x —y) (y — z) (z — x) Xa; ainsi A est divisible par le produit (x — y) (y — ^) ( ^ — ^)-

l58 CHAPITKE m.

D'une façon générale : si un poljnome à n variables devient identiquement nul quand on suppose que deux quelconques de ces variables soient égales, il est divisible par le produit de toutes les différences entre deux quelconques de ces variables.

EXERCICES

45. Vérifier que, si dans le polynôme x^-'r-x'^ — "ix — i on remplace x par 372 — 2, le polynôme du sixième degré que l'on obtient ainsi est divisible par x^-\- x"*- — IX — I.

Démontrer que si l'on forme la suite des polynômes

dont cbacun s'obtient eu remplaçant dans le précédent x par x"-—!, et que l'on divise ces polynômes par x^-\-x^ — ix — i, les restes se reproduisent périodiquement de trois en trois.

46. Déterminer a: 1° de façon que les deux racines de l'équation a;- — ar + a = o vérifient la condition x'* — -xx^-^ x'^-\- ix -h i — «^ > o ; 2° de façon que la plus grande de ces deux racines vérifie seule cette inégalité.

47. Tout polynôme qui prend des valeurs égales quand on y remplace a? par les nombres inégaux «i, a^, . .., a„ est de la forme

Q(x — ai) (x — a-i) . . . (x — an) -\- ^,

où R est une constante.