Calculer les valeurs que prend le polynôme

i6a"S — -jox^-i- 5x

quand on y remplace x par une des racines de sa dérivée.

49. Effectuer la division du polynôme nx'^ — {n -h i)x''-t- i, où n désigne un nombre naturel, par (x — i)*.

50. Soient A, B, G, P des polynômes; si l'on divise P par A (au sens du

DIVISION DliS POLYNOMES. iSg

n" 5i), puis le quotient par B, puis le quotient par C, on trouvera le même quotient final qu'en divisant P par le produit ABC.

51. Montrer que si P = x"--{- «i j?"-' + . . . -i- a,j est un polynôme donné de degré rt, on peut mettre, et cela d'une seule façon, un polynôme quelconque /(a?) sous la forme Ao-i- A] P + AîP^-f- . . ,, où Ao, Ai, A2, . . . sont des polynômes en X de degré moindre que n. En supposant que le polynomey(a7) ait été mis sous cette forme, quel est le quotient et quel est le reste de la division dey(.r) par P ?

Pour obtenir les polynômes Aq, Ai, A*, , on peut procéder comme il

suit : partant de l'identité

(1^ 37" = — aia?«-i — a-ix'^-^ — ... — «„-+- P,

on en conclut, en multipliant par x et en remplaçant, dans le second membre, x"^ par le second membre de l'identité (1),

a?«+i = {af — a2)a7«->-}-(aia2— a3)a"«-2-i- ... -1- Pa? ;

multipliant encore par x et remplaçant toujours iF", dans le second membre, par — a^x"-^ — a^^x"^-^ — . . . , . . . , on voit qu'on obtient aisément les expressions de x"^ 37"+', x'^^'^^ — , puis de/(a:) sous la forme désirée. Les calculs se simplifient si l'on veut seulement avoir le reste de la division de f{x) par P ; on remplace alors partout P par o; les calculs sont indiqués ci-dessous en supposant P = 372 — x ■+- 1, f{x) = x^ — ix^-\- "i x'* ^ x^ -\- x^ — 1 ; le signe ^ veut dire que les deux, membres que séparent ce signe sont identiques, à un multiple près de P.

37^^37 I, 37"»^ I, 37*^ — 37, 37» ss 37 -+- 1 , 37« ^ I ,

52. Déterminer les coefficients Ai, Aj, A3, . . . d'un polynôme

f{X) = 37"-+- Ai37«-1-1- A2 37«-2-f- . . . -f- A„

qui soit exactement divisible par sa dérivée.

Le quotient ne peut être que du premier degré; on peut le mettre sous la

forme —(37-1- a): l'identité n

nf{x) = {x-^a)f'{x) permet ensuite de trouver les coefficients Aj, Aj, ... : on trouve ainsi

53. On se donne la suite des nombres «oi «ii «21 •••• Montrer qu'un poly-

!6o CHAPITRE ni.

nome donné /(a;) peut se mettre, et cela d'une seule façon, sous la forme

Ao-l-Ai(ar— ao)-+-A2(a7 — aj)(:r— a,)+. . .-h A,i(a7 — a„)(a; — ai), . .{x — a,i-\)-,

où Ao, Aj, , . ., A„ désignent des constantes et ji le degré de f{x) : Ao est le reste de la division def(x) par x — ao ; siyi(a:') est le quotient de cette division. Al est le reste de la division de fi(x) par x — ai, etc Ceci ne suppose pas que les nombres ai, a.2, aa, . . . soient distincts.

Si l'on se donne les nombres distincts ao, ai, a^, . . ., a„, on peut calculer Ao, Al, ..., An sachant que le polynôme y(ar) est au plus du degré n et connaissant les valeurs qu'il prend pour x = ao, x = ai^ ..., ^ = a„. En supposant /> < n, les coefficients Ao, Ai, ..., A,, ne dépendent que de ao, ai, ..., ap et des valeurs correspondantes du polynôme.

Trouver un polynôme de degré au plus égal à 3 qui prenne la même valeur

que v^ pour x = o, x=-,x^-)X=::i.