Montrer que le polynôme
yz"' -f- zx'^ -+- xy" — y'^^x — z" x — x"^y,
oh n est un nombre naturel, est divisible par le produit {y — z){z — x) {x — y)\ trouver le quotient pour n = -i, /i = 3.
5o. Montrer que le polynôme ,ï'-i-jK'-+- 2* — oxyz est divisible par x -+-y-h z. Trouver le quotient.
Le polynôme proposé peut-il s'annuler pour des valeurs de x, y, z qui ne vérifient pas la condition x -i- y -^ z =^ o'f
56. Si les deux polynômes /"(iP, /), g{,x^ y) deviennent identiques à un facteur constant près quand on y remplace y par ax ■+■ 6, il existe une constante k et un polynôme h{x, y) tels que l'on ait identiquement
/(^, y) — f'^ffi^, y)^(r — ax — b) h(x, y).
57. Diviser i par (i — x)^ en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de X et en s'arrétant, au quotient, au terme en x'K
58. Effectuer la division de i — abx^ par i — ( a + b)x -\- abx^ en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x et on s'arrétant, au quotient, au terme en x"^.
On trouve, pour le quotient,
i-i- (a -i- b)x -r- {a--{- b^)X'-^ . . . -i- (a" -h b"-)x'^ et, pour le reste,
DIVISION DES POLYNOMES. l6l
59. Effectuer la division de i — x^ par i — 2.r cosO -+- a^' en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x et en s'arrêtant au quotient, au ternie en x"^.
On trouve, pour le quotient,
\ -+- 'IX cos6 -^ IX- cosaO -+-... -t- 2 ar» cos/i6
et, pour le reste,
■2a;"-*"i cos(/i + i)0 — ix"-^- cos/iO.
Montrer que l'on a
1 A r . sin(rt 4- ')6 Y -+- cos 0 •+- cos 2 0-+-...-;- cùs n 0 = ; — =
' sin^O
60. Effectuer la division de cosa — a7COs(a — 6) par i — ix co?<^ -\- x^ en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x et en s'arrêtant, au quotient, au ternie en x".
On trouve, pour le quotient,
cosa -+- X cos (a -H G) -f- x^ cos (a -i- 26) -h — -ha;" cos (a H- nO)
et, pour le reste,
a7«+-' cos[a-j-(n-M)OJ — x''-"^^- cos(a -i- /i6).
Déduire de là des expressions simples de
cosa -+- cos(a + G) -{- cos(a -{- 2G) + ...-+- cos(a -h «G),
cosa — cos (a -+- 6) -+- cos (a -t- 2G) — . . . -f- ( — i)" cos (a -t- nO), sin a -+■ sin (a -h 6) -f- sin (a -h 2O) -t- . . . + sin (a + «G),
sin a — sin (a -+- 0) -i- sin (a + aQj — . . . -f- ( — i)" sin (a -f- nG).
^ 1. — ÉTUDE D'UNE FRACTION RATIONNELLE EN x POUR LES VALEURS DE x VOISINES D'UNE VALEUR DONNÉE.
59. On appelle fraction rationnelle en x une fraction dont les deux termes sont deux polynômes en.r. La valeur d'une telle fraction pour X = x^) n'est définie que si x^ n'annule pas le dénominateur.
Si X() n'annule pas le dénominateur, et si l'on donne à x des valeurs très voisines de a^o, le numérateur et le dénominateur prendront, comme on l'a vu au Chapitre II, des valeurs très voisines de celles qu'ils pi^ennent pour x = x^,] or, en général, quand les deux termes d'une fraction varient très peu, la valeur de la fraction varie très peu; on prévoit qu'une fraction rationnelle doit être une fonction continue de x pour les valeurs qui n'annulent pas le dénominateur. Il convient d'ailleurs de préciser ceci, afin d'éviter sûrement les valeurs exceptionnelles : on j parviendra en faisant pour les fractions rationnelles la même étude qu'on a faite pour les polynômes; on y gagnera d'ailleurs le moyen d'avoir des expressions approchées de la fraction, de reconnaître si elle est croissante ou décroissante, etc.
Supposons d'abord qu'il s'agisse de valeurs de x voisines de o; on ordonnera le numérateur et le dénominateur suivant les puissances, ascendantes de x.
Si le dénominateur de la fraction n'est pas nul ponr x ^ o, la valeur de la fraction, quand x est suffisamment voisin de o, reste moindre, en valeur absolue, qu'un nombre positif fixe qu'il est facile d'évaluer. C'est ce qu'on exprime brièvement en disant que la fraction reste bornée pour les valeurs de x qui sont voisines de o.
Considérons par exemple la fraction
