i-3.r — ôar^ — '-jX

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l63

On choisira un nombre positif a plus petit que la valeur absolue du premier terme — 3 du dénominateur; puis on déterminera un nombre positif p tel que la condition [ x | << [3 entraîne l'inégalité

Le dénominateur ne pourra pas s'annuler et sera plus grand, en valeur absolue, que 3 — a; le numérateur sera plus petit, en valeur absolue, que 2 + 3a + 5a''-t- ^a'*, et la valeur de la fraction plus petite, en valeur absolue, que

pourvu que x soit moindre que |3, en valeur absolue.

Si, par exemple, on prend a = 2, on pourra prendre j3 = — et être

sûr que la fraction, pourvu que x soit moindre en valeur absolue que

— j sera certainement moindre en valeur absolue que ] I ^

6 Ao 112

II 1 1-* i i*

Ceci posé, si l'on veut étudier, pour les valeurs voisines de o, une

fraction rationnelle -j^j dont les deux termes sont des polynômes

ordonnés suivant les puissances ascendantes de x,

A = ao -+- «1 a; -+- «2 ■2^' + • • • 1 B = b^-h biX -F- ^2^:2-1-. . .,

dans le second desquels on suppose essentiellement que b^ ne soit pas nul, on effectuera la division de A par B, au sens du n'' 57; on trouvera un quotient

Q = Cq -+- Cl vT -r- Cj^?- -i- . . .

ordonné par rapport aux puissances croissantes de x et un reste R dans lequel on pourra mettre en facteur une certaine puissance de x, ^"■'■' par exemple, et que l'on pourra écrire sous la forme Sa;"+', en désignant par S un polynôme. Q sera d'un degré au plus égal à 11 et l'on

l64 CHAPITRE IV.

aura

A = BQ-f- Sar«+',

puis, pour toutes les valeurs de x qui n'annulent pas B,