AS S

-jT = Qh- -^x"'+^ = Co4- Ci^r -f- c^x^--^. . .+ -^x"-^K

Pour les valeurs de x suffisamment voisines de o, la fraclion ration-

S nelle t,» dont le dénominateur ne s'annule pas pour ^ = o, reste

moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe. Pour ces valeurs le second membre a donc cette forme qui ne diffère que par le dernier terme d'un polynôme de degré /î + i , sur laquelle on a apppelé l'attention au n" 32 (' ) ; pour ^ = o le dernier membre est égal à Cq ; pour les valeurs de x voisines de o, il est voisin de Cq ; pour x =^o^ au point de vue de la variation, il se comporte comme le premier des termes c,ic, Co^-, c^x^^ . . . , c,iX'^ qui n'a pas un coefficient nid. On a d'ailleurs

a^bn— a^bi

]^a fraction rationnelle proposée est continue pour ^ r:= o, c'est-àdire qu'elle reste aussi voisine qu'on veut de la valeur j^ qu'elle

prend pour x = o, pourvu que x reste suffisamment voisin de o. Les polynômes Co, Co-)- c, x, Cq-\- c^x ^ c^x-^ . . . fournissent des

expressions approchées de la fraction — > et l'on a le moyen de calculer une limite de l'erreur que l'on commet en substituant l'une d'elles à la fraction.

Si l'on considère, par exemple, la fraction

on voit d'abord que le dénominateur n'est pas nul si l'on suppose

(') Il résulte de la noie du n° 32 que la fraction — ne peut se mcUi-e sous cette foime que d'une seule façon, quand on se donne le nombre n.

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l65

x\ << l/^; si l'on suppose x plus petit que 0,1 en valeur absolue,

la fraction

— 2 -f- 5 ar — -icr-

I — -ix'^ ■+- X*

sera moindre que — ::<Co, en valeur absolue; 1 erreur

^ I — 0,02 — o,ooi '

commise en remplaçant la fraction proposée par i — x -i- 2X- sera moindre que o,oo3. Pour x = Oj cette fraction est égale à i, elle est décroissante, puisque — x est décroissant.

Si l'on considère la portion correspondante à de petites abscisses

de la courbe définie par l'équation r = r> on reconnaît

qu'elle passe par le point de l'axe des y dont l'oi^donnée est i , et que

la tangente en ce point a pour équation y ^ i — x (comme on le voit

sans peine par un raisonnement analogue à celui du n^Sl); la courbe est

au-dessus de sa tangente; dans le voisinage du point de contact, elle se

confond presque avec la parabole définie parl'équationj>^= i — x-{- ix'^.

A Le cas où le numérateur de la fraction -jj s'annule pour x = o, sans

que le dénominateur s'annule, est compris dans ce qui précède; il convient de remarquer alors que la fraction est nulle pour x ^ o, et que c'est le monôme obtenu en divisant le premier terme de A par le premier terme de B qui renseigne sur le signe de la fraction, pour les petites valeurs de .r, et sur le sens de la variation.

Ainsi la fraction — — — se comporte, pour x très petit en valeur

absolue, comme -.r^; elle est croissante pour ^ = o, du même signe que x^ pour les valeurs de x voisines de o.

Les polynômes 5.3;-, -x- — — x'' ^ ... sont des expressions approchées de cette fraction.

60. Examinons maintenant le cas où le dénominateur B s'annule pour a: = o, et supposons d'abord que le numérateur ne s'annule pas.

En posant comme plus haut A = rto+«)-2; + «2-2^" + ---7 (^o devra être supposé différent de o. Au contraire, B commencera par un terme contenant une certaine puissance de x que l'on pourra mettre en facteur; en d'autres termes, on pourra mettre B sous la forme B = B'x'',

l66 CHAPITRE IV.

OÙ B'=: ^0 + h^x -{- b^x- -\- . . . est un polynôme en x qui ne s'annule

pas pour ^ = o.

Je suppose qu'on fasse la division de A par B' en s'arrêtant dès que

le reste est divisible par x''; la partie écrite au quotient sera alors un

polynôme de degré /' — i au plus, et l'on parviendra à une identité

de la forme

A = B'Q-+-Sa7'-,

où Q = Co+ c, ^ + C2^- + . . . + c,,:r'~* est un polynôme en x, dans lequel le premier terme Co=: 7-^ n'est pas nul, et où S est un polynôme en ^; on en conclura

(r) — = 7T7 = Co H Cl -t- Cl -(-. . .-t- C,.i r- 777

' B M X'- X'- ir'-' x'---^ X B

(on parviendrait d'ailleurs tout aussi bien à cette identité en faisant directement la division de A par B, quitte à introduire des termes de degré négatif, on s'arrête alors dès que le premier terme du reste est de degré nul ou positif).

L'égalité précédente suppose que x ne soit pas nul; il est d'ailleurs clair que la fraction proposée n'a pas de sens pour x = o; on se propose seulement de reconnaître comment elle se comporte pour des

valeurs de x voisines de o; dans ces conditions, B' n'est pas nul, et,

pourvu que x reste suffisamment près de o, la fraction rationnelle -^y

dont le dénominateur n'est pas nul pour .27 = o, reste aussi voisine qu'on le veut de la valeur qu'elle prend pour x =^0. Si l'on pose — =:=;;, l'expression

Co — : -+- Cl — -- -\-...-\- c,—i — X' :r'"i X

prend la forme

P(z) = CoZ'--{-CiZ'--^-{-. ..+ C,.-lZ.

C'est un polynôme en z, de degré ;*, ordonné suivant les puissances descendantes de z et ne contenant pas de terme constant.

Quand X est petit en valeur absolue, jz est grand en valeur absolue ; il en est de même du polynôme P(^), lequel est alors du signe de

Cfl . .A

son premier terme Co^''= — ; il en est de même de la fraction -r:- ^ X' r>

Pourvu que z soit assez grand, en valeur absolue, ou, ce qui revient au même, pourvu que x soit suffisamment voisin de o, la valeur absolue de P(-z) est aussi grande qu'on le veut. Il en est de même de

la fraction — ; c'est ce qu'on exprime en disant que cette fraction

devient infinie quand x tend vers o (on dit aussi, plus brièvement, qu'elle est infinie pour x = o).

Quant au signe, tout dépend de la parité de r et du signe de Co-

Supposons /• impair; si Cq est positif, la fraction est négative pour X négatif, positive pour x positif; on dit que, x croissant, elle passe, pour :r = o, de — 00 à -j- 00. Si Cq est négatif, elle passe, au contraire, de + 00 à — 00.

Lorsque r est pair, la fraction, pour des valeurs de x voisines de o, est du signe de Co, que x soit positif ou négatif. On dit qu'elle passe par H- 00 ou — oo suivant que Co est positif ou négatif.

Considérons, par exemple, la fraction

ou la courbe définie par l'équation y = — — —

Lorsque x est très petit en valeur absolue, y est très grand en valeur absolue ; le point de coordonnées x, y est très près de l'axe des j-, très

Fig. 19- Y

loin de l'axe des x\ la courbe, quand x est voisin de o, offre une disposition analogue à celle qu'indique la figure. Elle présente deux branches infinies, dont on dit qu'elles sont asymptotes à l'axe des^,

l68 CHAPITHE IV.

l'une vers le bas, à gauche de l'axe des y, l'autre vers le haut, à droite : en disant qu'une branche de courbe est infinie, on entend qu'elle comporte des points dont l'une des coordonnées, au moins, est aussi grande qu'on le veut, en valeur absolue; en disant qu'une branche infinie est asymptote à une droite, on entend que ses points se rapprochent autant que l'on veut de cette droite, pourvu que leurs coordonnées, ou l'une au moins de leurs coordonnées, soient suffisamment grandes en valeur absolue.

On aura une disposition analogue, dans le cas général, pour les

valeurs de x voisines de o, si r est impair et si Cq est positif; si /' est impair et Cq négatif, la disposition sera celle de la figure ci-dessus.

FiiT. 22.

Si r est pair, on aura l'une ou l'autre des dispositions ci-dessus, suivant que Co est positif ou négatif.

6 1 . Revenons au cas général et à l'égalité ( i ) du numéro précédent ;

la difi'érence

— Co -- — Cl — — — ... — C,.i -

S €St éffale à la fraction rationnelle vr, ' dont le dénominateur ne s'annule

pas pour :r = o et qui, ainsi, est une fonction continue de x pour a;^o. La différence précédente n'a pas, par elle-même, de sens pour ^ = o, mais il suffît de lui attribuer, pour x = o, la valeur que prend,

S pour ^ = o, la fraction ^> pour qu'elle devienne une fonction continue de X, pour x = o.

Ainsi, dans l'exemple traité un peu plus haut, la différence

égale (sauf pour .r = o) à la fraction — '- — > tend vers 2 quand x tend

vers o; si, pour x = o, on lui attribue la valeur 2, elle devient, pour jc = o, une fonction continue de x.

En écrivant

X^{l — x) X'^ vP* X I X

on a décomposé le premier membre en deux parties, dont l'une, le polynôme en - sans terme constant

est la partie de la fraction qui devient infinie quand x tend vers o, dont l'autre partie, dans les mêmes conditions, reste bornée et tend vers 2. Il est clair que cette partie de la fraction rationnelle qui devient ainsi infinie est la plus importante à considérer pour les valeurs de x voisines de o; en en substituant la valeur à celle de la fraction, on ne commet qu'une faible erreur relative, et c'est pour cela que j'ai supposé la division de A par B' arrêtée au moment où l'on avait obtenu cette partie. On peut, d'ailleurs, si cela est utile, pousser la division plus loin, de manière à obtenir des expressions de plus en plus rap-

prochées de la fraction. Je n'insiste pas sur ce sujet, qui a été suffisamment éclairci.

Les explications qui précèdent permettent d'énoncer la proposition suivante :

Si, dans la fraction rationnelle j-» le numérateur est différent

de o pour .37 = 0, tandis que le dénominateur s'annule pour x^=^o, en sorte quil soit divisible par x'' [et non par une puissance de x plus élevée), cette fraction devient infinie quand x tend vers o. // existe un polynôme en z, P(^), de degré r, ne contenant pas de

terme constant, tel que l'expression ( le polynôme en -U P(-j soit

la partie de la fraction ^ qui devient infinie quand x tend vers o :

la différence — — P ( ~ ) s'approche indéfiniment d'un nombre fixe ( ' ) ,

quand x tend vers o, nombre auquel on donne souvent le nom de

Ivraie valeur, pour x = o, de la différence ^ — PI — )- En attribuant

sa vraie valeur, pour x = o, k cette différence, elle devient une fonction continue de .r, pour x =^ o.

Le polynôme P(5), défini plus haut, est le seul polynôme en 3 sans

terme constant, tel que la différence ^c — ^ ( ~ ) ^'^ste bornée quand x

tend vers o : si, en effet, un autre polynôme P'(^z), sans terme constant, jouissait de la même propriété, la différence

resterait aussi bornée quand x tendrait vers o, ou quand ^ deviendrait infini; or cela est impossible si les deux polynômes P'(s) et P{z) ne sont pas identiques.

(^) Il suffit, pour plusieurs raisonnements qui suivent, d'observer que celte différence reste bornée quand a; tend vers o, c'est-à-dire qu'il y a un nombre positif auquel elle reste inférieure, en valeur absolue, pour toutes les valeurs de x, autres que o, qui sont suffisamment voisines de o. Il est à peine utile de dire que, lorsque deux fonctions de x restent bornées, dans certaines conditions, il en est de même de leur somme, de leur dillérence, de leur produit, et que les mots « reste bornée » s'opposent à l'expression « devient infinie ».

62. Considérons enfin le cas où le numérateur et le dénominateur de la fraction rationnelle -^ s'annulent pour ^ == o ; on pourra alors poser A ^ A'ic^, B = B'x'', en désignant par q, r des nombres naturels, par A', B' des polynômes en x qui ne s'annulent pas pour x = o. La fraction ^ n'a pas de sens pour x := o; pour les autres valeurs de X, elle est égale à

A'xi-'' A' A'

suivant que l'on a ^ > r, ^ = /•, ^ < /■. On est ramené aux cas précédemment étudiés : dans les deux premiers cas, la fraction ^ a une vraie valeiw pour x =: o (nulle si q est plus grand que r), dont elle s'approche indéfiniment quand x tend vers o ; en lui attribuant, pour X ^= o, cette vraie valeur, elle devient une fonction continue de x, pour X = o. Dans le troisième cas, la fraction augmente indéfiniment en valeur absolue, quand :r tend vers o; il existe un polynôme P(5) de degré ;■ — ^, sans terme constant, tel que f*( - ) soit la partie de la fraction qui devient infinie pour ^ = o, en entendant les choses comme on a fait plus haut.

63. Supposons maintenant que Ton veuille étudier la fraction ^

pour les valeurs voisines du nombre Xq ; on remplacera dans les polynômes A, B, J7 par x„-\- A, et l'on ordonnera suivant les puissances ascendantes de A. On est ramené à étudier une fraction rationnelle en h pour les valeurs de h ^ x — Xo qui sont voisines de o. Les résultats suivants deviennent évidents.

Si X(, n'est pas racine de B, la fraction ^t pour les valeurs de x voisines de ^„, restera voisine de la valeur qu'elle prend pour:r = a:o; elle sera une fonction continue de x, pour x = x^. Les méthodes précédentes permettent de reconnaître si elle est croissante ou décroissante pour X = Xo^ si elle passe par un maximum ou un minimum, quel est son signe quand x est voisin de Xo ', elles permettent aussi de trouver des polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de h ou de X — Xq, qui la représentent d'une façon très approchée, pourvu que x soit suffisamment voisin de Xq.

Si Xq est une racine de B, d'ordre de multiplicité r, et si Xq n'est

172 CIIAPITHE IV.

pas racine de A, la fraction devient infinie pour x = a7o, et il existe un polynôme P(5) de degré ;•, sans terme constant, tel que la différence

tende vers une valeur finie quand x tend vers x^ ; il n'existe d'ailleurs qu'un seul polynôme, sans terme constant, qui jouisse de cette propriété.

Si Xq est en même temps racine d'ordre de multiplicité q pour le numérateur A, les choses se passent de la même façon lorsque q est plus petit que /', si ce n'est que le polynôme P(-s) n'est plus que du degré r — q. Si ^ est égal à r, la fraction, quand x tend vers o, tend vers une valeur différente de o; si </ est plus grand que r, elle tend vers o. On peut, dans les différents cas, reconnaître son signe, le sens de sa variation, on peut en former des expressions approchées, etc.

64. Supposons enfin qu'on veuille étudier la fraction lorsque x est très grand en valeur absolue. Appelons n et p les degrés respectifs des deux polynômes A et B et écrivons la fraction, en ordonnant ces polynômes suivant les puissances descendantes de x^

on changera x Q.vi-1 et l'on aura

ou, suivant que l'on aura n <CPi n=p, n >/»,

pO+plS + P222^..

ao-f- a,^ 4- a2^2|. ,

Po-i-?l^-+-P252 + ..

«0+ ciiZ -¥- a,zî-l-. .

;"-/^(Po^-^l.s-^|i2--^-..•)'

on est ramené à des cas déjà étudiés, puisque, lorsque ;r est très grand en valeur absolue, z est très voisin de o.

On voit de suite que, si le degré du dénominateur de la fraction proposée (en x) est supérieur au degré du numérateur, la fraction tend vers o quand x augmente indéfiniment ; sa vraie valeur est o pour

X infini. Son siffne est le signe de -J^ zP~" ou de 7- — Si le deerré

du numérateur est égal au degré du dénominateur, la fraction s'approche de ^ quand x augmente indéfiniment en valeur absolue; la

vraie valeur de la fraction est le rapport des coefficients des termes du plus haut degré ; enfin, quand le degré du numérateur l'emporte sur le degré du dénominateur, la fraction augmente indéfiniment, en valeur absolue, quand ;r augmente indéfiniment, en valeur absolue;

elle est du signe de ^x'^'P.

Dans ce dernier cas, il convient d'elTectuer la division du numérateur par le dénominateur au sens du n" 51 ; on a alors A ^ BQ + R, R étant un polynôme de degré moindre que B; on peut écrire encore

p et, d'après ce qu'on vient de dire, tt tend vers o quand x augmente

indéfiniment, en sorte que le polynôme Q, pour x très grand, est une

expression approchée de p-- C'est le seul polynôme dont la différence

avec ^ tende vers o quand x augmente indéfiniment en valeur absolue.

Considérons, par exemple, la fraction

et la courbe définie par cette équation, y s'obtient en ajoutant à

x'^ -\- X — I la quantité — — qui est, en valeur absolue, très petite

pour X très grand, qui est, d'ailleurs, du même signe que x. La courbe, quand x est très grand, en valeur absolue, est très voisine de la parabole dont l'équation est y =^ x--\- x — 1 , un peu au-dessus-

pour X positif, un peu au-dessous pour x négatif; on dit que la courbe est asymptote à la parabole. Je laisse au lecteur le soin de la construire.

On obtiendrait une droite pour asymptote si le degré du numérateur était égal, ou supérieur d'une unité^ au degré du dénominateur.

65. Décomposition en éléments simples. — Considérons une fraction rationnelle de la forme

iyx ~ ayj-^x — b)^...{x—l)^''

où le numérateur /"(a?) est un polynôme quelconque, pouvant même se réduire à une constante, où a, 6, .. ., / sont des nombres distincts et a, [3, . . ., X des nombres naturels; en sorte que a est une racine du dénominateur d'ordre de multiplicité a^ b une racine d'ordre de multiplicité p, etc. Pour abréger, je désignerai le dénominateur par oix). Quoique cela ne soit pas indispensable, je supposerai, afin de simplifier un peu ce qui suit, qu'aucun des nombres a, Z>, ..., / n'annule f{x).

On a vu qu'à la racine a de ^{x), par exemple, correspondait un polynôme en z, sans terme constant, qui, lorsqu'on y regarde z

comme égal à , constitue la partie de la fraction qui de\ient

infinie quand x s'approche de a, la différence entre la fraction et ce polynôme restant bornée : il est le seul à jouir de cette propriété. Ce polynôme est de degré a si l'on suppose que a n'est pas racine

de f{x) : après qu'on y a remplacé z par , il est de la forme

Ao Al A^i

OÙ Ao, A,, . . ., Aa i sont des constantes que l'on a appris à calculer, et dont la première Ao n'est pas nulle; je désignerai cette expression

par P„ ( ) • C'est la partie de la fraction qui devient infinie quand

\ tX/ CL I

X s'approche de a.

Aux autres racines Z>, c, . . ., / de ^ correspondent de même des

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l-^S

expressions

obtenues en remplaçant z par j, , • • -, dans des poly-

nomes Vh[z)^ Pc(5), ..., P/(-^), dont les degrés sont respectivement ^, V, .. ., X, et qui. tous, manquent de termes constants. Chacune de ces expressions est la partie de la fraction rationnelle donnée qui devient infinie quand x s'approche de la racine de o[x) qui lui correspond.

Si le numérateur f{x) est de degré supérieur ou égal au degré a + ,3 +. . .+ A de o(^), il existe un polynôme E(a^), la partie entière de la fraction rationnelle, que l'on obtient en prenant le quotient de la division de f{x) par o{x)^ dont la valeur, quand x augmente indéfiniment, s'approche autant qu'on le veut de la valeur de la fraction proposée : c'est le seul polynôme qui jouisse de cette propriété. Quand le degré de f{x) est inférieur au degré de 9(^), ce polynôme E(.r) doit être regardé comme identiquement nul.

Mon objet est maintenant de montrer que la fraction proposée est égale, pour toutes les valeurs de x, à

f(x) • Cette forme de la fraction'^ — -, si l'on en admet pour un instant la

légitimité, met bien en évidence la façon dont elle se comporte quand x s'approche d'une des valeurs a, b, ..., l qui annulent son dénominateur, ou lorsque x devient infini. Lorsque x^ par exemple,

s'approche de «, les parties autres que P^ ( ) restent bornées.

Lorsque x augmente indéfiniment, c'est la partie E(x) qui devient infinie; les autres parties deviennent nulles ou, plutôt, tendent vers o. Il est bien clair, par ce qui précède, que la fraction proposée ne peut être mise sous une pareille forme que d'une seule façon.

On va établir la légitimité de ce mode de décomposition en expliquant en même temps le procédé le plus pratique pour le réaliser.

Je rappelle d'abord que, pour obtenir P^ ( h on procède

ryô CHAPiTRiî IV.

comme il suit : en posanL x ^ a -\- h et

on a

f{x) f(x) fia-^h)

^{x) {X — a)acpi(a-) h^^i(a ^ h)

On effectue la division de f(a -+- h) par o, (a + h), en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de h et en s'arrêtant dès que le reste est divisible par h'^; l'opération même conduit à une identité de la forme

f(a-hh) , , , , . , h^K(h)

^ -L = Ao-+- Ai/i-h...-h Aa-iA«-i-l 7 -,

oi{a -T- h) (pi(a-f-//)

OÙ R(/i) est un poljnome en //; en divisant les deux membres par A", on obtient (* )

f(a-+-h) Ao , Al , Aa-i , R(A)

/iatpi(a-t-/i) /^a Aa-i *" h Oi(a-Jnh)

En remettant dans cette identité œ — a à la place de h et en désignant par/', (^) ce que devient R(A), on obtient

(I) /(^) ^ ^^» I ^^1 , ... 1 Ag^l ^ A(X)

X — a / 'fi (^ j

f ( x) On opère sur la fraction"^* , \ > relativement à la i^acine b de o, (^), ^ cpi(a7) ' ^ ^'

f(x) comme on a opéré sur la fraction -~ — relativement à la racine «

f ( x) de ^{x)i c'est-à-dire qu'on cherche la partie de -^ qui devient

infinie quand x s'approche de b : c'est certainement P^;, ( j-jr

puisque, la différence — P^ ( j j restant bornée quand x s'ap-

(') On peut tout aussi bien parvenir à cette dei-niére identité en effectuant la division de f{a-i-/i) par A"», (a + /t), les deux pol3'nornes étant ordonnés par rapport aux puissances croissantes de /* : on introduit alors au quotient des puissances négatives de h, et l'on s'arrête dès que le reste commence par un terme en h dont l'exposant est égal ou supérieur à a.

proche de 6, il en est de même, en vertu de l'identité (i), de la différence

Or il n'y a qu'an seul polynôme en — j-, sans terme constant, dont

la différence avec , puisse rester bornée quand 5? s'approche de b.

Le calcul de la partie de ,\ qui devient infinie quand x s'ap-

proche de ^, conduira donc à une identité analogue à l'identité (i)

Ul(j7) \a- b) ^2(^)

On continue de la même façon; on détermine la partie de'^-^ — qui

devient infinie quand x s'approche de c; c'est P^ ( )> etc.

Finalement, en supposant qu'il j ait /• nombres «, ^, ..., /, on

arrive à une fraction , ' ' . ,-.. » dont le dénominateur n'aura plus

(x — ly- ' ^

qu'une seule racine distincte : on la traitera de la même façon; mais les calculs sont ici particulièrement simples : on ordonne fr{x) suivant les puissances de :r — l; les premiers termes, de degré inférieur

à X, donneront en divisant par [x — /)^ les termes de P/ ( \ , les

termes suivants, s'il y en a, divisés par (x — /)^, fourniront un polynôme en X, que je désignerai par E(^), et l'on obtiendra l'identité

en ajoutant membre à membre les identités (i), (2), . , ,, (3), on arrive à l'identité

En vertu d'une remarque déjà faite, le polynôme ^{x) ne peut différer de la partie entière de la fraction proposée, puisque la différence entre , et E(.r) tend vers o quand x devient infini. T. 12

Si le degré de f{x) est égal ou supérieur à celui de o{x)^ il est commode de commencer par déterminer cette partie entière E(a7) en divisant, au sens du n*' 51, f{x) par o(^), ce qui conduit, en désignant par F(^) le reste, à l'identité

on opère ensuite, pour trouver P^ ( y P^ ( ^j> ••• sur la

fraction ) [■> plus simple que la fraction •— — - : le résultat est le même, toujours pour la même raison; la différence

restant bornée quand x s'approche de a, il en est de même de la diffé-

¥{x) p / I \ rence — — r — F^ h

Mettre la fraction rationnelle — —^ sous la forme (4), c'est ce qu'on

appelle la décomposer en éléments simples : ces éléments simples sont, d'une part, les termes du poljnome E(;r) et, d'autre part, les

ternies des parties fractionnaires P^ | j? P^ ( r )' •••; à

chacun de ces termes, formé d'une fraction dont le numérateur est ime constante et le dénominateur une puissance de x — a, x — b, . . ., on donne le nom àe fraction simple. La puissance la plus élevée à laquelle est élevé chacun de ces binômes est l'ordre de multiplicité de la racine correspondante dans cp(:r), à supposer, comme on l'a fait, que cette racine n'annule pasy(j;). Si l'on supprime cette restriction et si a, par exemple, était une racine def(x), d'ordre de multiplicité a'<^a, la partie de la fraction qui devient infinie quand x s'ap-

A proche de a commencerait par un terme de la forme rr—r-.y au

lieu de commencer par un terme de la forme ; — ; et, lors même

qu'on n'aurait pas supprimé d'abord le facteur commun à f{x) et à cD(;r), les calculs pourraient s'effectuer de la façon même que l'on a expliquée.

DES FRACTIONS RATIOXNELLKS. 179

Soit, par exemple, à effectuer la décomposition de la fraction

On a ici a ^ o, è = i, c = 2, a = 3, p = 2, y = 1. Il n'y a pas de partie entière. Pour déterminer la partie Po ( - )> qu' devient infinie pour a; = o, on

doit diviser, en ordonnant suivant les puissances croissantes, i — x''- -^ x'^ par — 2 -i- 5 a? — i^x^-h x^; on s'arrête dés que le reste est divisible par x^ et l'on parvient ainsi à l'identité

—-(37 — ^ix -h i3ar2)

'l-^JX ^X'^-\-X^ 2 4 ^ — 24-537 4X^-\-X^

ou, en divisant par x^,

I — x--{- x^ II 5i i3i

On va maintenant, en partant de la fraction qui figure à la fin du second membre, déterminer la partie Pj [ j, qui devient infinie pour 37 = 1.

Faisons abstraction, pour un instant, du facteur -; on pose, dans la fraction

37 = I H- A, et l'on ordonne par rapport aux puissances croissantes de h, elle

devient

■ — ^T-TTi — '

on effectue la division, en s'arrétant dès que le reste est divisible par h^; on parvient ainsi à l'identité

— i-f-/i —i-hh'

en divisant par h^, remettant 37 — i à la place de h et multipliant par -, on

trouve